第一章典型方程和定解条件

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 数学与物理的关系数学与物理的关系数理不分家数理不分家 数学物理方程：数学物理方程：数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门分支学科中出现的一些偏微分方程分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等有时也包括积分方程、微分方程等)，它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数

2、学物理方程的研究对象。方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。用数学方程来描述一定的物理现象用数学方程来描述一定的物理现象 特殊函数特殊函数在求解某些类型的数理方程时，采用分离变量法所得到的方程的解在求解某些类型的数理方程时，采用分离变量法所得到的方程的解是某种特殊函数，例如贝塞尔是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德函数、勒让德(Legendre)函函数等。其中有些特殊函数我们在数等。其中有些特殊函数我们在“微积分微积分”课程中已经学习并且研究课程中已经学习并且研究过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中的应用问题。过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中

3、的应用问题。 课程的内容：课程的内容：三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 参考书目：参考书目：*数学物理方法数学物理方法，梁昆淼著，人民教育出版社，梁昆淼著，人民教育出版社*数学物理方法数学物理方法，邵惠民著，科学出版社，邵惠民著，科学出版社*数学物理方程数学物理方程, 戴嘉尊著，东南大学出版社戴嘉尊著，东南大学出版社数学物理方程发展数学物理方程发展历史简介历史简介偏微分方程诞生于偏微分方程诞生于18世纪，世纪，19、20世纪是其迅速发展时期世纪是其迅速发展时期： 17世纪微积分产生后，人们

4、开始把力学中的一些问题和规律世纪微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律归结为偏微分方程进行研究。归结为偏微分方程进行研究。1747年，法国数学家、物理学家年，法国数学家、物理学家达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了它的解法：它的解法：22222( , )( , )u x tu x tatx弦振动弦振动方程方程 1752年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉斯斯(Laplace)的出色工作，称为的出色工作，称为Laplace方程：方程：2222220uuuxyzL

5、aplaceLaplace方程方程 19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶(Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定物体内部各点的温度如何随时间变化。确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种对这种热流动问题颇感兴趣，热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研究年向巴黎科学院提交用数学研究热传导的论文并创立了分离变量法：热传导的论文并创立了分离变量法：222( , )( , )u x tu x tatx热传导热传导方程方程一、一、 基本方程的

6、建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、 定解条件的推导定解条件的推导三、三、 定解问题的概念定解问题的概念一、一、 基本方程的建立基本方程的建立例例1、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦本身的张力和重力影响。如下图所示，我们研究弦作微小横向本身的张力和重力影响。如下图所示，我们研究弦作微小横向运动时，弦上各点的运动规律运动时，弦上各点的运动规律。简化假设： gds M M ds x T u xdx x T (1)柔软：弦上的任

7、意一点的张力沿弦的切线方向；柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲线线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。均匀：质量是均匀的，线密度为常数。 (2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；轴的方向运动； 微小：微小： 振幅极小，振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。张力与水平方向的夹角很小。24cos112!4!cos

8、1 gds M M ds x T u xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscos0TT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：则TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )d

9、dux tu x tTgxxxt其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx 一维波动方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自由项22222uuatx-齐次方程齐次方程弦振动方程弦振动方程忽略重力作用： Fds M M ds x T u xdx x T ( , ),F x t如果弦在振动方向上还受一外力作用，设单位长度所受的外力为则仿照前面的推导，有2222 uuTdxFdxdxxt2222 uuTFxt22222 , ,uuaftxTaTFfF其中为振动在弦上的传播速度， 为线密度， 为单位弦

10、长在振动方向上所张力为受的外力。一维非齐次波动方程一维非齐次波动方程弦的受迫振动弦的受迫振动(1) (1) 首先确定所要研究的物理量首先确定所要研究的物理量(,)ux t(2) (2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用( (抓住主要抓住主要影响，忽略次要影响影响，忽略次要影响) )，这种相互作用在一个短时间段里如何，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量影响物理量u数学物理方程的导出步骤为：数学物理方程的导出步骤为：(3) (3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数学物理方程。学物

11、理方程。例例2、杆的纵振动、杆的纵振动考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动，假设在垂直杆长考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动，假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况（位移）完全相同。方向的任一截面上各点的振动情况（位移）完全相同。( , )xxtu x t 如图，取杆长方向为 轴方向，垂直于杆长方向的各截面均用平行位置 标记；在任一时刻 ，此截面相对于平衡位置的位移为, x xx在杆中隔离一小段(d ),分析受力情况( , )(, ).xP x t SxdxP xdx t SPx截面 ：受到弹(应)力; 截面：受到弹力,为单位面积所受的弹力，沿 轴方向牛顿运动定律：22 (, )( ,

12、 ) .udmP xdx tP x t St22 (, )( , ) .udmP xdx tP x t St22, dmdx SuPtx，则若杆的密度为 (, )( , )( , ),( ,)()()( , ).uxdxu xdx tu x tduu x tdxxuux xdxdxxxu x txx点处的位移 因此小段的伸长 压缩 为，相对伸长 压缩 为，即 点处的应变为又HookeEYoung,uPxuPEx若略去垂直杆长方向的变形，根据定律，弹(应)力 与应变成正比：为杆的模量,故2222,uExut22222,.uuEaatx（其中）例例3 3、热传导方程、热传导方程热传导现象：当导热介

13、质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。问题问题：在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体， 研究物体内部温度的分布规律。简化假设：均匀：物体的密度为常数各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数所要研究的物理量： 温度 ),(tzyxu热场MSSVn傅里叶实验定律：在dt时间内沿法线方向通过dS流入V的热量为：dd duQkS tn211dS dttSuQktnk0为热传导系数，与介质材料有关。从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式2222222dScos( , )cos( , )cos( , )dSSVVuuuukkn xn yn zSnxyzuuukdVkudVxy

14、z212dttVkudV t 热场MSSVn流入的热量：tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(122流入的热量导致V内的温度发生变化 温度发生变化需要的热量为VttucVttdd21 21ddttVtVtuc能量守恒定律能量守恒定律21QQ 22112d dd dttttVVuku V tcV tt tucuk22ukutc22au（齐次）热传导方程2ukuFct22cF,kakcFfcuauft其中温度传导系数 , 热传导系数， 比热， 密度热源功率密度， 热源密度 。 2221112d dd dd dttttttVVVu

15、ku V tF V tcV tt F x,y,z,t如果介质内部有热源，设单位时间内单位体积介质中产生的热量为，由能量守恒定律有非齐次热传导方程2( , , , )uDuf x y z tt扩散方程 ( , , , )( , , , )u x y z tDf x y z t其中的代表分子浓度， 是扩散率，是单位时间内在单位体积中该分子的产率。稳定问题在一定条件下，物体的温度达到稳定，即不随时间变化时，则温度分布满足2 Poisson)Fufk 位势(，方程0,f 特别，如果 则2, Laplace 0u方程 三种典型的数学物理方程三种典型的数学物理方程同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊

16、性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件A、 弦振动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态初位移初速度2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 弦振动方程的边界条件(1)固

17、定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：|0 x au( , )0u a t sin00 x auTTx或：(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。0 x aux(3)弹性支承端：在在x=a端受到弹性系数为端受到弹性系数为k 的弹簧支承的弹簧支承Hook0e,x ax ax auuuxaTkux表示弹性支承的应变，由定设弹性支律知：弦在处张力应等承原来的位置则于，即x ax auTkux 或0,/x auuTxk 第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V 的边界)(1) 边界S上的温度为已知函数f(x,y,z,t)

18、|suf(f是定义在边界S上的函数)(2) 绝热状态(即在S上的热量流速为零)或流速已知 0()ssuufnn 或 (3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交单位时间内物体单位表面积与周围介质交换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 热交换系数； 周围介质的温度1k1u11,SSkuuunk 第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件边界条件边界条件第一类边界条件|suf给出边界上各点的函数值: sufn给出边界上各点函数的法向微分值: 1SSuuun给出边界上各

19、点的函数值与法向微分值之间的线性关系: 第二类边界条件第三类边界条件注意：无论哪类边界条件，只要数学表达式中右端项为零， 我们就称其为齐次边界条件，反之，称非齐次的。三、定解问题的概念三、定解问题的概念1 1、定解问题、定解问题把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。2222200, -, 0,( ), -, ( ), -ttuuax ttxuxxuxxt 22222000, 0, 0,0, 0, 0,( ), ( ), 0.xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt2、定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：定解问题的解是否只有一个；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。如果定解问题如果定解问题存在唯一且稳定的解存在唯一且稳定的解，则称问题是，则称问题是适定的。适定的。3 3、偏微分方程的解、偏微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏