概率论课件第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性

1、4.2 4.2 随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性上一节我们由大数定理可得上一节我们由大数定理可得, ,在贝努里试验中在贝努里试验中, ,事件发生的频率稳定于概率事件发生的频率稳定于概率, ,即即,?自 然 想 到 的 是 随 机 变 量 序 列 是 否 依这 种 方 式 能 稳 定 于 一 个 随 机 变 量 呢.这就是我们要讲的依概率收敛问题1limPnPnnlim|1lim|0)nnnnPP1 1 依概率收敛依概率收敛定义：设定义：设 是随机变量序列是随机变量序列, ,若存在随机若存在随机变量变量 ( (或常数或常数),),对于任意对于任意0, ,有有n则称随机变量序列则称

2、随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 , ,记记n)P(或Plimnnn为为 ,( , )( , ),(,)( , )kkkkab f x ya bff a b 例1:设依概率收敛于依概率收敛于在点连续 则依概率收敛于( , )( , ),f x ya b证明:因在点连续 故对02220,()()xayb当时有|( , )( , )|f x yf a b于是于是|(,)( , )|kkff a b 222()()ab2222()()22kkab|22kkab故有故有0|(,)( , ) |kkPff a b|22kkPaPb由于由于lim |2kkPalim |02kkPb所以所以|(,)(

3、 , )|0kkPff a b 在上面所讲的收敛概念中在上面所讲的收敛概念中, ,尚未直接涉尚未直接涉及到随机变量序列的分布函数列及到随机变量序列的分布函数列Fn(x)和和随机变量的分布函数随机变量的分布函数F(x)之间的关系之间的关系, ,而分而分布函数又完整地刻划了随机变量的统计规布函数又完整地刻划了随机变量的统计规律律, ,因此有必要讨论因此有必要讨论Fn(x)与与F(x)之间的关之间的关系系. .2. .依分布收敛依分布收敛定义定义: :设设F(x), F1(x), F2(x),是一列分布函数是一列分布函数, ,如果对如果对F(x)的每个连续点的每个连续点x x, ,都有都有F(x)(

4、x)Flimnn则称分布函数列则称分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数弱收敛于分布函数F(x),并记作并记作)(nF(x)(x)FWn 如果随机变量序列如果随机变量序列 的分布函数列的分布函数列Fn(x)弱收敛于随机变量弱收敛于随机变量 的分布函数的分布函数F(x),则称则称 依分布收敛于依分布收敛于 , ,并记作并记作 n n()Lnn 3. .二种收敛的关系二种收敛的关系 依概率收敛依概率收敛依分布收敛依分布收敛 其逆不真其逆不真定理定理: :若随机变量序列若随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 , ,则则 依分布收敛于依分布收敛于 . . nn证明证明: :设随机变量序列设随机变量序列

5、 和随机变量和随机变量 的分布函数分别为的分布函数分别为Fn(x)和和F(x),对任意的对任意的x,yR有有 n,nnyxyxy,nnxxy( )lim( )nnF yF x( )( ),nnF yF xPxy,yx如果由依概率收敛的定义可得,|0nnPxyPxy()n 同理,由,nzxz,nnnxxzxz( )( ),nnF xF zPxz有,xz如果由依概率收敛的定义可得,|0nnPxzPzx()n lim( )( )nxFxF z ( )lim( )lim( )( )nnxxF yFxFxF z lim( )( )nxF xF x,( ),yx zxxF x令由 为的连续点 有时当zx

6、y例例2:2:抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币, ,有两个可能结果有两个可能结果 1 1= =出现正面出现正面,2 2= =出现反面出现反面, ,于是有于是有P1=P2=1/2令令121,( )1, 1, 111, 2/11, 0)(xxxxF则随机变量则随机变量 的分布函数为的分布函数为lim( )( )nnF xF x显然有YXLn( )( ),( )( )( ).F x 若令则与有相同的分布函数( )( ),( )( )( )( ).nnnF xF x 再令则与有相同的分布函数但对任意的但对任意的00有有|nPCnnPcPc1()()nnF CF C 由于由于Fn(x)弱收敛于弱收敛

7、于F(x),并注意到并注意到F(x)的表达式只在的表达式只在C点不连续点不连续, ,从而从而lim |0nnPCnC即有依概率收敛于弱收敛的判断方法弱收敛的判断方法由于此定理表明了分布函数与特征函数的由于此定理表明了分布函数与特征函数的一一对应关系有连续性一一对应关系有连续性, ,因此该定理称为因此该定理称为特征函数的连续性定理特征函数的连续性定理. .这个定理的证明只涉及到数学分析的这个定理的证明只涉及到数学分析的一些结果但证明较冗长，证明略一些结果但证明较冗长，证明略. .定理：分布函数序列定理：分布函数序列 弱收敛于分布函弱收敛于分布函数数 的充要条件是：的充要条件是： 的特征函数序的特

8、征函数序列列 收敛于收敛于 的特征函数的特征函数 .)(tn)(xFn)(xFn)(xF)(xF)(t:)Poisson例3若服从普哇松(证明221lim2txPxedt证明证明:( )exp (1)itte的特征函数为( ),gt设的特征函数为则t)iexpt(t)gti1eexpti有,Rt )1(! 21exp2ottititieti1lim2)1(2lim22tot22)(limtetg) 1 , 0(limNY11 |1li mnknkPan辛钦辛钦,( )nt证明:同分布 它们有相同的特征函数这个相同的特征函数记为定理定理( (辛钦大数定律辛钦大数定律):):设设 是相互是相互独立同分布的的随机变量序列独立同分布的的随机变量序列, ,若有若有数学期望数学期望 ( (k=1,2,),),则对于任意给定的则对于任意给定的0, ,恒有恒有kEak辛钦大数定律证明辛钦大数定律证明(0)()kaEi)()0()0()(tott1( )iato t ( )nnttn11( )ntiaonn11nnkkn记|1limnnPa 有有,Rt iatnnnenatiatn)1(1lim)(lim课堂练习课堂练习设随机变量序列设随机变量序列 依分布收敛于随机量依分布收敛于随机量 ，随机变量序列随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于0 ,则则 依依概率收敛于概率收敛于0.nnnnv小结小