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文档简介
实数知识点梳理一
一・实数的组成
正整数
f整数零
(有理数蟠驾再限小数或循环小数
I分数鳖?
实数«।负分数J
,无理数正无理数无限不循环小数
尢埋型〔负无理数
实数又可分为正实数,零,负实数
2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与
实数---对应
二•相反数、绝对值、倒数
1.相反数:只有符号不同的两个数回味相反数。数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零.性
质:互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值:表示点到原点的距离,数2的绝对值为
3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1/a.O没
有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0,;绝对值是它本身的数是非负数(0和
正数);倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。土麴a
的平方根记作一
(a>=0)
特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是
零。
开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。数a
的立方根用后表示。
任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负
的立方根,零的立方根是零。
开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。
正确理解R、-石、士&、址iv_
a
V?=\\(«>0)场=aWJ-"
几个性质:、、、
四-实数的运算
1.有理数的加法法则:
a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值
较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与
零相加等于原数。
2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
a-bb)
3.乘法法则:
a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何
数都得零.
b)儿个不为0的有理数相乘,积得符号由负因数的个数决定,当负
因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正
c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0
4.有理数除法法则:
a)两个有理数相除(除数不为0)同号得正,异号得负,并把绝对
值相除。0除以任何非0实数都得0。
b)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中,a叫底数,n叫指数
a)正数的任何次辱都是正数;负数的偶次幕是正数,奇次事是负数;
0的任何次事都是0
b)a°=l(a不等于0)
6.有理数的运算顺序:
a)同级运算,先左后右
b)混合运算,先算括号内的,再乘方、开方,接着算乘除,最后是
加减
五-实数大小比较的方法
1)数轴法:数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2)比差法:若a-b>0则a>b;若a-b<0贝!Ja<b;若a-b=0则a=b
3)比商法:A.两个数均为正数时,a/b>l则a>b;a/b<l则a<bB.
两个数均为负数时,a/b>l则a<b;a/b〈l则a>bC.一正一负
时,正数,负数
4)平方法:a、b均为正数时,若a2>b2,则有a>b;均为负数时相
反
5)倒数法:两个实数,倒数大的反而小(不论正负)
代数知识点梳理
第一章数与式
一、数的分类
正整数
整数零正有理数
r正实数
有理数负整数正无理数
实数'正分数或实数《零
分数《负有理数
负分数负实数
正无理数负无理数
无理数
负无理数
其中:有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数;无理数即无限不循环小数。
二、数轴
(1)三要素:原点、正方向、单位长度。
(2)实数<数轴上的点。
(3)利用数轴可比较数的大小,理解实数及其相反数、绝对值等概念。
三、绝对值
(1)几何定义:数轴上,表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做同。
a(。〉0)
(2)代数定义:何=<0伍=0)
-CI(a<0)
四、相反数、倒数
(1)a、b互为相反数<=>a+b—0(或a=b)
(2)a、b互为倒数oa,b—1(或a=—)。
b
五、几个非负数
(1)时20;
(2)a2>0;
(3)Va>0(心0)o
(4)若几个非负数之和为0,则这几个非负数也分别为0.
六、
(1)an叫做a的n次幕,其中,。叫底数,n叫指数。
(2)若x2=a(a20),则x叫做a的平方根,记做土瓦;算术平方根记做
(3)若x3=a,则x叫做a的立方根,记做〃\因此(后了=。
(4)算术平方根性质:
①(\[a)2—a(a20);
②7^=14;
③=(心0,匕/0);
[a_4a
④匕=不(心0,b>0)o
七、
关系互逆互逆互逆互逆互逆
运算加减乘除乘方开方平方开平方立方开立方
结果和差积商方根二次嘉平方根三次塞立方根
八、运算顺序:
1.同级:左一右
2.不同级:高一低(先乘方和开方,再乘除,最后加减)
3.有括号:里一外(先去小括号、再去中括号、最后去大括号)
九、运算律:
运算律加法乘法
交换律a+b=b+aab=ba
结合律(a+b)+c=Q+(b+c)(ab)c=Q(bc)
分配律[a+b]c=ac+bc
十、运算法则
①加法法则:
结果符号绝对值
两数就卜、
同号取原号相加
异号取“大”号相减
②减法法则:a—匕=。+(—h)
③乘法法则:
结果符号绝对值
两数疝嬴、
同号得正相乘
异号得负
④除法法则:a+b=aX-或
b
结果符号绝对值
两数温、
同号得正相除
异号得负
H—\a>0
①(・Q)2n+1=-Q2n+1
②(・Q)2n=Q2n
十二、有理式
'赦弋J单项式,次数、系数)
(1)有理式E[多项式(次数、项数)
分式
(2)乘法公式
平方差:(a+b)(a-b)=a2—b2
2
完全平方:(a±b)2=02±2ab+/7
(3)分式的基本性质:
aaxm/ET、工八、a+m八八、,,八
—=----(用于通分)=-----(用于约分)(mWO)
bhxmh-i-m
十三、整数指数籍
(1)零指数基Q"=1(aWO);负指数第a-n=5QWO,“为正整数);
(2)累的乘方:@aman=am+n(a>0,m、〃为整数);
②(Qm)n=amn(Q>0,m、n为整数);
③(ab)n=anbn(a>0,b>0,〃为整数)。
第二章方程与不等式
一、一元一次方程
(1)一元一次方程:变形后可化为ax=b(QWO)的形式,它的解为x=-。
a
(2)解一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。
二、一元二次方程
(1)一元二次方程:变形后可化为ax2+bx+c=0(aWO)的形式,
它的根为x—4ac(b2-4ac20),(即求根公
2a
式)。
(2)解二次方程的常用解法:①求根公式法;②因式分解法;③配方法。
(3)根的判别式:/=匕2—4QC
当。2—4ac>0时,方程有两个不等实数根;
当人一4ac=0时,方程有两个相等实数根;
当62-4ac<0时,方程没有实数根。
(4)韦达定理:形如x2+px+q=0,当p2一4qe0时,设这个方程的两实数
根为Xi、X2,则有Xi+X2=p,x>x?=qo
三、分式方程
(1)分式方程:分母中含未知数的有理方程。
(2)解分式方程的实质:去分母(两边乘方程中各分式的最简公分母),转化为整式方程
来解。
(3)注意:有时会产生增根,必须验根。
四、二元一次方程组
(1)基本思路:通过“消元”,转化为一元一次方程来解。
(2)常用解法:①代入消元法;②加减消元法。
(3)以二元一次方程组的解为坐标的点组成的图象是一条直线。
五、(1)不等式:用不等号(>,<,2,W,W)表示不等关系的式子。
(2)不等式基本性质:
①如果a>b,那么a+c>b+c,a一c>b一c;
Hh
②如果Q>b,并且。>0,那么QC>bc,->-;
cc
Hh
③如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,—<—。
cc
(3)解一元一次不等式的•般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;
⑤系数化为1(此步骤要注意不等号可能变方向)。
六、一元一次不等式组的解集:(设a<b)
①不等式组『,"'的解集是x>b;
[x>b
②不等式组的解集是x<a;
\x<h
③不等式组的解集是。<X<b-,
[x<b
④不等式组无解。
\x>h
平面直角坐标系知识点梳理
1.定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角
坐标系。
要求:画平面直角坐标系时,轴、y轴上的单位长度通常应相同,但在实际应用中,有
时会遇到取相同的单位长度有困难的情况,这时可灵活规定单位长度,但必须注意的是,
同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。
2.各个象限内点的特征:
第一象限:(+,+)点P(X,y)贝IIx>0,y>0;
第二象限:(一,+)点P(x,y),则x<0,y>0;
第三象限:(一,一)点P(x,y),则x<0,y<0;
第四象限:(+,一)点P(x,y)则x>0,y<0;
四个象限的特点:第一象限(正,正)第二象限(负,正),第三象限(负,负),
第四象限(正,负)
在x轴上:(x,0)点P(X,y),则y=0:
在x轴的正半轴:(+,0)点P(x,y),贝Ux>0,y=0;
在x轴的负半轴:(一,0)点P(x,y),贝Ijx<o,y=0;
在y轴匕(0,y)点P(x,y),则x=0;
在y轴的正半轴:(0,+)点P(x,y),则x=0,y>0;
在y轴的负半轴:(0,-)点P(x,y),则x=0,y<0;
坐标原点:(0,0)点P(x,y),则x=0,y=0;
3.点到坐标轴的距离:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|,
到y轴的距离为|x|。
到坐标原点的距离为“+/(由勾股定理可得)
例2:已知:A(4,3),,C(3,0),求三角形ABC的面积.
例3:已知:A(l+2a,4a-5),且点A到两坐标轴的距离相等,求A点坐标.
4.中点与两点间的距离:
已知点A(x”y1),B(x2,y2)
两点AB距图为:AB=-元2)'+(Ni-乃厂
中点P的坐标为:(4产,咤区)
例4:已知:A(4,3).8(U),C(3,0),求三角形ABC的面积.
例题5:如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是。(0,0),
A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线1经过点M(2,
3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线1的函数表达式是
5.点的对称:
点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,—n),
关于y轴的对称点坐标是(一m,n)
关于原点的对称点坐标是(一m,-n)
例题6:点A(-l,2)关于y轴的对称点坐标是;点A关于原点的对称
点的坐标是。点A关于x轴对称的点的坐标为
例7:在平面直角坐标系中,已知:A(l,2),8(4,4),在x轴上确定点C,使得
AC+BC最小.
6.平行线:
平行于x轴的直线上的点的特征:纵坐标相等;如直线PQ,P(m,〃)Q(p,〃)
平行于y轴的直线上的点的特征:横坐标相等;如直线PQ,P(〃?,〃)Q(〃?,p)
例8:已知点A(加一5,1),点B(4,m+1),且直线AB〃y轴,则机的值为多少?
7.象限角的平分线:
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等,可记作:
点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b,a)
第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数,可记作:
点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(一b,-a)
例9:在平面直角坐标系中,已知点尸(x,y)横、纵坐标相等,在平面直角坐标系中表示
出点P的位置.
y
A
例10:在平面直角坐标系中,已知点P(x,y)横、纵坐标互为相反数,在平面直角坐标
系中表示出点尸的位置.
y
A
例11:在平面直角坐标系中,已知点P(x,y)横、纵坐标满足y=|x-l|,在平面直角坐
标系中表示出点P的位置.
8.点的平移:
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,
V);
将点(x,y)向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x-a,y);
将点(x,y)向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b);
将点(x,y)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y—b)«
注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,
从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
平移口诀:"左+右一、上+下一"
例题12:将点P(-3,2)向下平移3个单位,向左平移2个单位后得到点Q(x,y),
贝Uxy=________
答案(-5,-1)
第三章函数
一、函数
(1)定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,对于x的每一个值,y都有唯一的值
与之对应,那么就说x是自变量,y是因变量,此时,也称y是x的函数。
(2)本质:----对应关系或多一对应关系。
有序实数对<..砥>平面直角坐标系上的点
(3)表示方法:解析法、列表法、图象法。
(4)自变量取值范围:
对于实际问题,自变量取值必须使实际问题有意义;
对于纯数学问题,自变量取值必须保证函数关系式有意义:
①分式中,分母w0;
②二次根式中,被开方数,0;
③整式中,自变量取全体实数;
④混合运算式中,自变量取各解集的公共部份。
二、正比例函数与反比例函数
两函数的异同点
正比例函数反比例函数
定义y=kx(k为常数,kWO)y=±(k为常数,k#O)
X
自变量取值范围全体实数x羊0
图象•直线双曲线
k<04
71^
k>0
k>0
关于原点对称
性质①过原点不过原点
性质②k>0,过第一、三象限(如上图)
k<0,过第二、四象限(如左上图)
增减性k>0y随x的增大而增在每个象限内,y随x的增大而减小
大
k<0y随X的增大而减在每个象限内,y随x的增大而增大
小
二、一次函数(图象为直线)
(1)定义式:y=kx+b(k、b为常数,kWO);自变量取全体实数。
k>0k<0
①k>0,过第一、三象限,y随x的增大而增大;
k<0,过第二、四象限,y随x的增大而减小。
②b=0,图象过(0,0);
b>0,图象与轴的交点(0,b)在x轴上方;
b<0,图象与y轴的交点(0,b)在x轴下方。
三、二次函数(图象为抛物线)
(1)自变量取全体实数
一般式:y=ax2+bx+c[a,b、c为常数,aWO),其中(0,c)为抛物线与y轴的交点;
顶点式:y=a(x—h)2+k(a、h、k为常数,aWO),其中(h,k)为抛物线顶点;
零点式:y—a(x~xi)(x~(a、Xi、X2为常数,aWO)其中(xi,0)、(X2,0)
为抛物线与x轴的交点。xi、X2=一"±"2一4竺-4ac20)
2a
(2)性质:
h
①对称轴:x=——或x=6;
2a
de上zb4ac-h2、一八,、
②顶点:(———,-------)或(h,k);
2a4a
③最值:当X=-2时,y有最大(小)值,为小
2a4a
或当x=6时,y有最大(小)值,为k;
④
抛物线a>0a<0
开口方向向上向下
y
图象
rr
k
\.
1
h1V
增减性当xv-2时,y随x的增大而减小当XV一二b时,y随X的增大而增大
2a2a
当x>一2时,y随X的增大而增大当x>—2时,y随x的增大而减小
2a2a
第四章统计
一、基本概念
(1)普查与抽样调查、总体与个体
(2)样本与样本容量(无单位)
注明:当样本在总体中合适或具有典型性时,才可从局部结论推广到整体;
不同抽样数据有差异。
(3)频数与频率
频数
频率注:频数之和=总次数;频率之和=1。
总次数
二、基本计算公式
(1)刻画一组数据的集中程度
①平均数;
算术平均数:X=—(X1+X2+…+X/7)
n
加权平均数:[=.%+♦=+•・・+/%,(其中Wj为权重,W1+W2+…+WA可以
w1+w2+…+%
为1)
*力+/'+...+项上,(其中力为频数,fl+f2+...+fk=n)
fl+fz++fk
②中位数;
③众数(可以不是数字)。
(2)刻画一组数据的离散或波动程度
①极差;
极差=最大值一最小值
②方差;
S2=—[(X1—x)+(X2—X)H-------F(xn-X)')]
n
③标准差。
s=JF(标准差比方差常用)
三、统计图表
(1)统计表格(其中频数分布表格较常用)
(2)统计图形
①条形统计图;②折线统计图;③扇形统计图;④频数分布直方图:⑤频数折线图…
第五章概率
一、必然事件、不可能事件、不确定事件
P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0;0<P(不确定事件)<1。
二、求概率
(1)用模拟实验的方法估计算概率
(2)用树状图和列表法计算概率
注意:等可能性与游戏规则的公平性;不放回与有放回情形。
不等式知识点大全一
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.
考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,
并会简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|
§06.不等式知识要点
1.不等式的基本概念
(1)不等(等)号的定义:a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.
(2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
(3)同向不等式与异向不等式.
(4)同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)a>bob<a(对称性)
(2)a>h,h>c=>a>c(传递性)
(3)a>b=a+c〉b+c(力口法单调性)
(4)a>b,c>da+c>b+d(同向不等式相加)
(5)a>b,c<da-c>b-d(异向不等式相减)
(6)a.>h,c>0ac>he
(7)a>byc<0ac<be(乘法单调性)
(8)a>b>0,c>d>0=>ac>bd(同向不等式相乘)
(9)a>b>0,0<c<T>2(异向不等式相除)
cd
(10)a>b,ab>0=>—<—(倒数关系)
ab
(IDa>b>0=a">b"("eZ,且(平方法则)
(12)a>/>>0n爪>^(“eZ,且">1)(开方法则)
3.儿个重要不等式
(1)若aeR,则|。色0,0220
(2)若a、beR+,则”2+62±2"(或<?+£>2221a昨2")(当仅当a=b时取等号)
(3)如果a力都是正数,那么疝4土土(当仅当a=b时取等号)
2
极值定理:若x,y€R+,x+y=S,xy=P,则:
①如果P是定值那么当x可时,S的值最小;
②如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等.
⑷若a、庆ceR,,则”如2腻(当仅当a=b=C时取等号)
3
⑸若帅>0,则(当仅当a=b时取等号)
ah
22
(6)。>0时/ox<-〃或X>Q;\x\<a<=>x<a<^>-a<x<a
(7)若a、bwR,则||a|-16|凶a±b国a|+1b|
4.几个著名不等式
(1)平均不等式:如果a,b都是正数,那么2,嬴,a+叱比^(当仅当a=b
-1-
ab
时取等号)即:平方平均2算术平均2儿何平均2调和平均(Q、b为正数):
特别地,ab<()2<^^-(当a=b时•,(色3)2=色*=")
2222
“2+[+Y>("+;+[(a,b,cwR,a=b=c时取等)
平均不等式:a;+诙+...+《:2—(/+牝+..・+a4)~
n
注:例如:(ac+W)2<(6i2+Z?2)(c2+J2).
常用不等式的放缩法:①_1一二_=_^Y3Y—^=—L_L(〃22)
nn+\n(n+1)n'n(n—1)M—1n
②Jn+l--Jn--r="―IY—Y—r=_]i--------=4n--1(">1)
J〃+Jn+1y/n+y/n-\
(2)柯西不等式:若生,<«2,。3,…,册eR,々也也…,2eR;则,,,,,,
(6Z|/?|+a2b2+为与+…+a"b”)2V(a;+a:+a;+…+a:)(bj++b;+…b:)
当且仅当"""…=4■时取等号
仇%打踵
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点X”X2(X尸匕),有
Xi+Xj/(x,)+/(x,).f(Xt+X2s/(x,)+/(x2)
J22J22
则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例①一元一次不等式ax〉b解的讨论;
②一元二次不等式aV+bx+cXKaWO)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
gW八年」g(r)[g(x)=O
(3)无理不等式:转化为有理不等式求解
/(.v)ao
=>定义域
J(x)>g(x)
77Cr)>S(x)«|g(x)20或素;fM>o
②g(6zo
fM<[g(x)]2
(4).指数不等式:转化为代数不等式
afM>asM(a>1)<=>f(x)>g(x);a,M>如《>(0<a<1)of(x)<g(x)
afw>h(a>0,/?>0)<»f(x)\ga>\gh
(5)对数不等式:转化为代数不等式
7«>0[/(%)>0
log„f{x}>log„g(x)(a>1)=<g(x)>0;log(,/(x)>log”g(x)(0<a<1)<=>-g(x)>0
,f(x)>g(x)[/(x)<g(x)
(6)含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值;②应用数形思想;
③应用化归思想等价转化
I/(X)|<g(x)o{§(/)<y(x)<g(x)
"(x)|>g(x)og(x)<0(〃x),g(x)不同时为。)或{盟Ug(x)骑(x)>g(x)
注:常用不等式的解法举例(X为正数):
①X(1—X)2=;.2X(1-幻(1-X)4;($3=(
类彳以于〉=5亩%©052%=411犬(1-5泊2幻,③|x+4=|x|+|1|(x与1同号,故取等)42
XXX
分式方程知识点复习总结大全
17.1分式及其基本性质
1.分式的概念
A
形如3①、8是整式,且B中含有字母,BWO)的式子,叫做分式,其中4叫做分
式的分子,B叫做分式的分母
整式和分式统称有理式,即有有理式|整式,分式.
2.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
与分数类似,根据分式的基本性,可以对分式进行约分和通分.
分析分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,首先要找出
分子与分母的公因式.
分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的
同分母的分式.通分的关键是确定儿个分式的公分母,通常取各分母所有因式的
最高次累的积作为公分母(叫做最简公分母).
§17.2分式的运算
1.分式的乘除法
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分
式,应该通过约分进行化简.
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
2.分式的加减法
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.
§17.3可化为一元一次方程的分式方程
概念:方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.
在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了
分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解
分式方程时必须进行检验
10030
例2解方程:xx-7.
解方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得
100(x-7)=30x.
解这个整式方程,得
x=10.
检验:把x=10代入x(x-7),得
10X(10-7)W0
所以,x=10是原方程的解.
§17.4零指数幕与负整指数幕
任何不等于零的数的零次第都等于1
任何不等于零的数的一n(n为正整数)次幕,等于这个数的n次幕的倒数.
知识要点总结注意问题题型
分式的概念及有意义的A分母分式已知%2—4
3的形式且B中有字母
条件
B4x+2
-才有意义
B
当X为何值时,分式有意义?
兀不是分式
当X为何值时,分式无意义?
分式值为0的条件分子等于0,分母不等于0二者必须同时满当X为何值时,分式的值为零?
足,缺一不可
(4)当x=-3时,分式的值是
多少?
分式的基本性质不改变分式的值,使下列各式的
AA»MA^MMwO/wO,且
B一B»M一B+M分子或分母中最高次项的系数都
均表示的是正微ac/八、
——=——(c。0)
是整式2b2bc')
分式的符号法则AA分式约分
A-A-AA,B或勺二者同
万一金-"
B确定公因式
—A-A-AA
或—---------=—时改变其中两个
B-BB-B
的符号,分式的值
不变
约分把分式中的分子、分母的公因约分是一个恒等确定最简公分母
式约去的变形过程叫约分变形。找最大公因
通分
式是关键
通分把几个异分母分式分别化为通分前后分式的
与原分式相等的同分母分式值不变;找最简公
的变形过程叫通分。分母是通分的关
键
知识要点方法题型
公因式找公因式的方法:确定公因式并约分:
(1)分子分母是单项式时,先找分子分母系
数的最大公约数,再找相同字母的最低次第,i-3a354c
它们的积就是公因式(1)---------
12ab3
(2)分子分母是多项式时,先把多项式因式
分解,再按(1)中的方法找公因式-4ab+4b2
⑵22
最简公分母找最简公分母到方法(分母均为单项式)确定最简公分母并通分:
1、各分母系数的最小公倍数。
15
2、各分母所含所有因式或字母的最高次豪。(1)--,
3、所得的系数与各字母(或因式)的最高次3x12盯
幕的积(其中系数都取正数)
找最简公分母到方法(分母均为多项式)1X
1、先把分母因式分解。
(2—x)2Y-4
2、各分母系数的最小公倍数。
3、各分母所含所有因式的最高次幕。
4、所得的系数与各字母(或因式)的最高次
事的积(其中系数都取正数)(2)
小结
一、知识结构
二、注意事项
1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中,
要注意不断地与分数情形进行类比,以加深对新知识的理解.
2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为
整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验.学习时,要理解增根产生
的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验.
3.由于引进了零指数基与负整指数基,绝对值较小的数也可以用科学记数
法来表示.
一次函数知识点梳理三
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个
确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为
因变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对
应
3,定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解
析式
6、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的
横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:指点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为
纵坐标,描出表格中数值对应的各点):第三步:连线(按照横坐标由小到大的
顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与
函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关
系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
A.一次函数
1、一次函数的定义
一般地,形如)'=履+,(k,。是常数,且的函数,叫做一次函数,其中x
是自变量。当匕=°时,一次函数)'=履,又叫做正比例函数。
⑴-次函数的解析式的形式是丫=履+',要判断一个函数是否是一次函数,就是判
断是否能化成以上形式.
⑵当6=0,%#0时,)'=履仍是一次函数.
⑶当6=0,%=。时・,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
2、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k*0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k〉0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;
当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:y=kx(k是常数,kWO)
⑵必过点:(0,0)、(1,k)
⑶走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
(4)增减性:k〉0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,kwO),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx
+1)即丫=1«,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=k
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