信号分析与处理第4章汇编

1、信号分析与处理信号分析与处理2第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 随着计算机技术的飞速发展，传统上以连续时间信号处理技术为随着计算机技术的飞速发展，传统上以连续时间信号处理技术为原理的设备或系统逐渐被以离散时间信号处理技术为原理的设备或系原理的设备或系统逐渐被以离散时间信号处理技术为原理的设备或系统取代，而且还可以利用离散时间信号处理技术实现原来连续时间系统取代，而且还可以利用离散时间信号处理技术实现原来连续时间系统不可能实现的功能。统不可能实现的功能。 数字信号处理是用数值计算的方法对信号进行处理的一门科学。数字信号处理是用数值计

2、算的方法对信号进行处理的一门科学。为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。 离散时间信号的分析也像连续时间信号的分析一样，包括时域分离散时间信号的分析也像连续时间信号的分析一样，包括时域分析、频域分析和复频域分析。在时域内分析信号是将离散时间信号表析、频域分析和复频域分析。在时域内分析信号是将离散时

3、间信号表示成单位脉冲信号的加权和。在复频域分析信号则是将离散时间信号示成单位脉冲信号的加权和。在复频域分析信号则是将离散时间信号表示为复指数信号（这里）的加权和，从而引入了表示为复指数信号（这里）的加权和，从而引入了Z变换。在频域内变换。在频域内分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散信号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换信号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换DTFT和周期信号的离散傅里叶级数和周期信号的离散傅里叶级数DFS。信号分析与处理信号分析与处理3第第4章章 离散时间信号的分

4、析离散时间信号的分析4.1 4.1 连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样 用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。问题是：数字处理方法。问题是：采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频谱？如何将数字信号恢复为模拟信号？谱？如何将数字信号恢复为模拟

5、信号？本节主要从理论上回答这两本节主要从理论上回答这两个问题，介绍采样定理和采样恢复。个问题，介绍采样定理和采样恢复。 4.1.1 采样定理采样定理 1. 周期单位冲激串的傅里叶变换周期单位冲激串的傅里叶变换 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为合上一次，每次合上的时间为T，在电，在电子开关输出端得到其采样信号（实际采样）。当电子开关闭合时子开关输出端得到其采样信号（实际采样）。当电子开关闭合时间非常短时，就可以认为它是冲激函数（理想采样）。间非常短时，就

6、可以认为它是冲激函数（理想采样）。信号分析与处理信号分析与处理4第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 实际采样时，电子开关的作用可以等效成一宽度为实际采样时，电子开关的作用可以等效成一宽度为，周期为周期为T的矩的矩形脉冲串形脉冲串p(t)。 理想采样时，理想采样时， 0，电子开关的作用可以等效成单位冲激函数串电子开关的作用可以等效成单位冲激函数串p (t)。设采样周期为设采样周期为T，单位冲激函数串为，单位冲激函数串为 nnTttp)()( p(t)是周期函数，可以表示成傅立叶级数，即是周期函数，可以表示成傅立叶级数，即 ktkkPtp0je)( T20 称为采样角频率，单位是弧度

7、称为采样角频率，单位是弧度/秒秒信号分析与处理信号分析与处理5第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析TttTTTtk1de )(122j0 tnTtTttpTPtkTTtTTkde )(1de )(10jn22j22 即即 ktkTtp0je1)( ,2, 0000 k T1上式表明，单位冲激上式表明，单位冲激函数函数串的串的傅里叶傅里叶级数中，只包含位于级数中，只包含位于处的频率分量，每个频率分量的大小相等且都等于处的频率分量，每个频率分量的大小相等且都等于信号分析与处理信号分析与处理6第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析tt0jj001ede )(221)(2F )(

8、2Fe0j0 ktk 故有：故有：e1F)(F)(0j ktkTtpP 为求为求p(t)的傅里叶变换的傅里叶变换，先考查一个傅立叶反变换：，先考查一个傅立叶反变换：p(t)的的傅里叶傅里叶变换为变换为 kktkkTT)(2e F10j0 kk)(00 信号分析与处理信号分析与处理7第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析p(t)的的傅里叶傅里叶级数级数pk及及傅里叶傅里叶变换变换P()如图如图4-1 (b)和和(c)所示。单位冲所示。单位冲激激函数函数串的串的傅里叶傅里叶变换是强度等于变换是强度等于0的的冲激串冲激串。 图图4-1 单位冲激函数串的傅里叶级数与傅里叶变换单位冲激函数串的

9、傅里叶级数与傅里叶变换 2、理想采样信号的频谱、理想采样信号的频谱 理想理想采采样如图样如图4-2所示，所示，p(t)为单位冲激函数串，为单位冲激函数串，x(t)为连续时间信号，为连续时间信号，它们的乘积它们的乘积xs(t)= x(t) p(t)称为称为x(t)的的采采样信号，样信号，xs(t)中各冲激强度构中各冲激强度构成的序列则为成的序列则为x(t)在在t=nT时刻的样本时刻的样本xa(nT) 。 nsnTttxtptxtx)()()()()( 信号分析与处理信号分析与处理8第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析图图4-2 理想采样理想采样 信号分析与处理信号分析与处理9第第4章

10、章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析对式（对式（4-2）两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理）两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理 )(*)(21)()(F)(S PXtptxX STSSS22Tf 为为采采样间隔，样间隔，采采样角频率为样角频率为 kkXT)(1SS d)()(21 PX d )(2)(21s kSkTX d )()(1s kSkXT信号分析与处理信号分析与处理10第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，以采样角上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，以采样角频率频率s为间隔而重复，或者说采样信号的频谱是原模

11、拟信号的频谱以为间隔而重复，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s=2fs为周期，进行周期性延拓而成的。为周期，进行周期性延拓而成的。采样信号（离散信号）的采样信号（离散信号）的频谱是频谱是的周期函数，包含原模拟信号的频谱。的周期函数，包含原模拟信号的频谱。图图4-3 采样信号的频谱采样信号的频谱 3. 采样定理采样定理 信号分析与处理信号分析与处理11第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析由上左图可以看出：当由上左图可以看出：当 s/2/2M时，时，这种情况下采样信号的频谱这种情况下采样信号的频谱完整的保留了的频谱，完整的保留了的频谱，不会发生频谱重叠。不会发生频谱重叠。当当

12、s/2/22M的条件，这种情况下的条件，这种情况下X()在延拓的过程中在延拓的过程中加权系数不为恒定值，而是加权系数不为恒定值，而是逐渐衰减，逐渐衰减，如图如图4-8所示。但这种情况所示。但这种情况下也能够无失真地恢复原信号下也能够无失真地恢复原信号x(t)。 信号分析与处理信号分析与处理18第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析4.1.4 离散时间信号的表示形式离散时间信号的表示形式 1. 直接表示法直接表示法 离散时间信号是在时间上不连续的离散时间信号是在时间上不连续的“序列序列”。若在时间上均匀间隔为。若在时间上均匀间隔为TS，则以函数，则以函数x(nTS)来表示此离散时间信号

13、，来表示此离散时间信号，n取整数，计算机在处取整数，计算机在处理信号时，只需要清楚是第几个数据，而并不必知道准确的时间，理信号时，只需要清楚是第几个数据，而并不必知道准确的时间，因此，可以认为，一个离散时间信号是一组序列值的集合因此，可以认为，一个离散时间信号是一组序列值的集合x(n)。为。为书写方便，以书写方便，以x(n)表示序列，不再加注外面的花括号。表示序列，不再加注外面的花括号。 x(n)可以写成一般闭合形式的表达式，例如可以写成一般闭合形式的表达式，例如 (-1), 3 ( )0, nnnx nn为其他也可逐个列出也可逐个列出x(n)的序列值，例如对上面的序列也可以写成的序列值，例如

14、对上面的序列也可以写成 0( )3, 2,1, 0, 1,2, 3nx n信号分析与处理信号分析与处理19第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析还可以用图形表示，上面序列的图形表示如图还可以用图形表示，上面序列的图形表示如图4-10所示。所示。 图图4-10 序列的图形表示序列的图形表示 2. 单位样值序列加权和表示单位样值序列加权和表示 单位样值序列用单位样值序列用(n)表示，定义为表示，定义为 10( )00nnn信号分析与处理信号分析与处理20第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析序列序列(n)在在n=0处的值为处的值为1，在其余，在其余n处的值为零，见图处的值为零，

15、见图4-11。单位样。单位样值序列值序列(n)在离散时间系统中的角色与连续时间系统中冲激信号在离散时间系统中的角色与连续时间系统中冲激信号(t)的类同，二者都为基本信号。的类同，二者都为基本信号。 右移右移m点的单位样值序列（点的单位样值序列（如图如图4-12所示）所示）为为 1()0nmnmnm图图4-11 单位样值序列单位样值序列 图图4-12 右移右移m点的单位样值序列点的单位样值序列 信号分析与处理信号分析与处理21第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析序列序列x(n)在在n=m处的样本可用单位样值序列表示为处的样本可用单位样值序列表示为 ( ) ()( ) ()x nnmx

16、 mnm考虑所有样点，序列考虑所有样点，序列x(n)可表示为可表示为 ( )( ) ()mx nx mnm上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，序列序列 3( ) 3210123nx n也可表示为也可表示为 ( )3 (3)2 (2)(1)(1)2 (2)3 (3)x nnnnnnn信号分析与处理信号分析与处理22第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，

17、也可以通过一种称为微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变变换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。 4.2 4.2 离散时间信号的离散时间信号的z z域分析域分析 4.2.1 z变换的定义变换的定义 1. 抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换 取样信号取样信号xS(t)可写成可写成连续时间信号连续时间信号x (t)乘以冲激序列乘以冲激序列 ，即，即( )( )( )( )()() ()SSTSSSnnxtx ttx ttnTx nTtnT取上式的双边拉氏变换，考虑到取上式的双边拉氏变换，考虑到 ( )STt ()s

18、nsTSLtnTe( )( )()snsTSSSkXsL xtx nT e得得信号分析与处理信号分析与处理23第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 nnznxnxzX)()()(2. 双边双边z变换：变换：上式是复变量上式是复变量z的函数。的函数。3. 单边单边z变换：变换： 0)()()(nnznxnxzXssTze1lnSszT( )( )SXsX z令令，或，或，则，则这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z的变换式，即的变换式，即 ( )()( )sTsnnSz ennX zx nTzx n z当定义式中当定义式中n的取值范围为的取值范

19、围为 n0时时,双边双边z变换的定义式就变成了单边变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。变换的定义式了。信号分析与处理信号分析与处理24第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析1.z1.z变换存在的条件变换存在的条件z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即 nnnxz)(时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是序列，它是序列x(n)的的z变变换存在的换存在的充分必要条件充分必要条件。 2. z2. z变换的收敛域变换的收敛域 满足存在条件的所有满足存在条件的所有z值组成

20、的集合称为值组成的集合称为z变换的收敛域。变换的收敛域。简记为简记为ROC（Region of Convergence）。）。 若若x(n)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 21|z|rr 4.2.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 信号分析与处理信号分析与处理25第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析21,|z|rrrrrej 得得由由 例例4-1 试根据试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。 1(0)

21、,( )(0)0,nnax nn(1) (2) 20,(0)( ), (0)nnx nan解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为变换为 1| 111101( )( )1aznnnnnzXzx n za zazzaX1(z)的的ROC为为 |az 1|1az，即，即110122| 1110( )( )1()11()11nnnnnnnaznnXzx n za zazza za zza 信号分析与处理信号分析与处理26第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析X2(z)的的ROC为为 ，即，即1|1za|az 要描述一个序列的要描述一个序列的Z

22、变换，必须包括变换，必须包括Z变换的表达式和变换的表达式和Z变换的收敛变换的收敛域域ROC两个部分。两个部分。 由上例可以看出，由上例可以看出，同一个同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列变换函数，收敛域不同，其对应的序列是不相同的是不相同的。信号分析与处理信号分析与处理27第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 1. 有限长序列有限长序列 其其它它0,),()(21nnnnxnx 21z)(z)(ZnnnnnxXnx有限长序列的有限长序列的z变换，其收敛域可以直观分析。变换，其收敛域可以直观分析。如果有限长序列如果有限长序列x(n)为

23、有界序列，为有界序列，为为有有限限值值。有有限限项项的的和和只只要要可可知知由由 21|z)(|,|z|,|z)(|nnnnnnnxnx信号分析与处理信号分析与处理28第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析可以看出因果序列的收敛域包括可以看出因果序列的收敛域包括z=点。点。n10， n20时，时， 0zn10时，时， 00时，时， 0z;,|z| ,01 则则收收敛敛域域不不包包括括时时当当-nn。即即收收敛敛域域不不包包括括时时当当00,z,|z| ,02 -nn因此因此具体有限长序列的收敛域表示如下：具体有限长序列的收敛域表示如下：信号分析与处理信号分析与处理29第第4章章 离散

24、时间信号的分析离散时间信号的分析2. 右边序列右边序列 右边序列是在右边序列是在nn1时，时， 序列值不全为零，序列值不全为零， 而而nn1时，时， 序列值全为零的序列。其序列值全为零的序列。其z变换为变换为 01z)(z)(z)(z)11nnnnnnnnnxnxnxX(1) 第一项为有限长序列，第一项为有限长序列， 设设n1-1， 其收敛域为其收敛域为0|z|。 (2) 第二项为因果序列，第二项为因果序列， 其收敛域为其收敛域为r10，级数在以原点为中心，级数在以原点为中心， Rx-为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。 (3) 两项共同的收敛域为两项共同的收敛

25、域为r1 |z|。 如果如果n10，收敛域为，收敛域为r1 n2， 序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。 左边序列的左边序列的z变换表示为变换表示为 2201z)(z)(z)(z)nnnnnnnnnxnxnxX信号分析与处理信号分析与处理31第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析(1) 如果如果n20，第二项为有限长序列，其收敛域为，第二项为有限长序列，其收敛域为0z。第一项为。第一项为z的正幂，根据级数收敛的阿贝尔定理，存在一最大收敛半径的正幂，根据级数收敛的阿贝尔定理，存在一最大收敛半径r2 ，级数，级数在在|z| r2 的圆内收敛的圆内收敛,取上述两项的共同区域，得收敛域为

26、取上述两项的共同区域，得收敛域为0|z| r2 。(2) 如果如果n20, z=0点收敛，点收敛， z=点不收敛，点不收敛， 其收敛域是在某一圆其收敛域是在某一圆(半径半径为为r2)的圆内，的圆内， 收敛域为收敛域为0|z| r2 。 根据根值法求左边序列的根据根值法求左边序列的r2 ： 2z)(z)nnnnxX若令若令m= -n 22z)(z)()(nnnnmmnxmxzX2| )(-|lim/1|z|z1,|)z(-|limrnxnxnnnnn 的收敛域的收敛域可得可得由由变为变为n信号分析与处理信号分析与处理32第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析4. 双边序列双边序列 一个

27、双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列一个双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列之和，之和， 其其z变换表示为变换表示为 01z)(z)(z)(z)nnnnnnnxnxnxXX(z)的收敛域是第一项收敛域的收敛域是第一项收敛域(左边序列，左边序列，|z|r2)和第二项收敛域和第二项收敛域(因果序列，因果序列， r1 r1 ， 其收敛域为其收敛域为r1 |z| r2 ，这是一个环状域。如果，这是一个环状域。如果r2 r1 ， 两个收敛域没有公共两个收敛域没有公共区域，区域， X(z)没有收敛域，没有收敛域， 因此，因此，X(z)不存在。不存在。 4.2.3 常用序列及其常用序列及其Z变换

28、变换 1. 1. 单位脉冲序列单位脉冲序列(n)（也称为单位采样序列）（也称为单位采样序列） 单位脉冲序列，特点是仅在单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为时取值为1，其它均为零。它类，其它均为零。它类似于模拟信号中的单位冲激函数似于模拟信号中的单位冲激函数(t) ，但不同的是，但不同的是(t)在在t = 0时，取时，取值无穷大，值无穷大，t 0时取值为零，对时间时取值为零，对时间t的积分为的积分为1，即，即 0001)(nnn， 信号分析与处理信号分析与处理33第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析(a)单位脉冲序列；单位脉冲序列； (b)单位冲激信号单位冲激信号 1d)(0, 0

29、)(tttt 由由(n)作为激励（输入）产生的响应（输出），称为作为激励（输入）产生的响应（输出），称为单位脉冲响应单位脉冲响应：)()(nTnh 根据双边根据双边Z变换的定义式变换的定义式 1zz)()(Z0 nnnn 信号分析与处理信号分析与处理34第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析2. 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列(n) 0001)(nnn， (n)与与(n)的关系的关系: :(n) = (n) (n-1) 0)()(mmnn 图图4-13 单位阶跃序列单位阶跃序列 反因果阶跃序列反因果阶跃序列(-n-1)如图如图4-14所示。所示。 图图4-14 反因果阶跃序列反因果阶

30、跃序列 单位阶跃序列单位阶跃序列(n)如图如图4-13所示。所示。信号分析与处理信号分析与处理35第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析单位阶跃序列单位阶跃序列(n)的的z变换：变换：1zzz11zz)()(Z100 nnnnnn ) 1|(|z 显然不论显然不论n为何值为何值(n0) ，都有，都有(n)=1，因总有一个且只有一个，因总有一个且只有一个m = n，使，使(n-m) =1。令令n m = k，m=0时，时，k=n； m = 时，时，k= -，得，得 nkmkmnn)()()(0 显然不论显然不论n为何值为何值(n0) ，都有，都有(n)=1，因其中，只有一项，因其中，只

31、有一项(0) =1，其余项其余项(k) =0。信号分析与处理信号分析与处理36第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析对应的反因果序列对应的反因果序列的的Z变换为变换为 1zz)1()1(Znnnnnn 令令m=-n代入上式，得代入上式，得 1)(z1zz)1(Z0101 mmmmmmn 1zz11zz11 信号分析与处理信号分析与处理37第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析3. 3. 矩形序列矩形序列RN (n) nNnnRN其其它它，01-01)(上式中上式中N称为矩形序列的长度。当称为矩形序列的长度。当N=4=4时，时，R( (n) )的波形如图所示。的波形如图所示。

32、矩形序列常用来表示序号的取值范围，如矩形序列常用来表示序号的取值范围，如)()4sin()(8nRnnx 70),4sin()( nnnx可以写成：可以写成： 10)()()()(NmNmnNnnnR 矩形序列可用单位阶跃序列表示，矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：如下式：信号分析与处理信号分析与处理38第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析矩形序列矩形序列RN (n)的的Z变换为变换为 1101( )(0 |)1NNnNnzZ Rnzzz 4. 指数序列指数序列 (1) (1) 实指数序列实指数序列)()(nuanxn ， a为实数为实数 如果如果|a|1， x(n)的幅度随的

33、幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。的增大而增大，则称为发散序列。单边实指数序列的单边实指数序列的Z变换为变换为 100Z( )()nnnnnnana zaz|)|(|az 信号分析与处理信号分析与处理39第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析式中式中0 为数字角频率，当为数字角频率，当=0=0时，称为虚指数序列时，称为虚指数序列，虚指数序列，虚指数序列是以是以2为周期的周期序列为周期的周期序列:(2) (2) 复指数序列复指数序列nnx)j(0e)( )sin()cos(e)(00j0njnnxn 1e2j k M=0,=0,1,1,2, 2, n0je 因因cos(2cos(2

34、k)=1)=1，sin(2sin(2k)=0, 故故MnnnMnx2jj)2j(eee)(00 )2sin(j)2cos(e0jMnMnn k=0,=0,1,1,2, 2, 单边虚指数序列的单边虚指数序列的Z变换变换: 00jnjzZ eze|)|(|az 信号分析与处理信号分析与处理40第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析)sin()(nnx 式中式中称为正弦序列的数称为正弦序列的数字角频率，单位是弧度。如果字角频率，单位是弧度。如果正弦序列是由模拟信号采样得正弦序列是由模拟信号采样得到的，那么到的，那么5. 5. 正弦序列正弦序列)sin()sin(| )sin(| )()(n

35、nTttxnxnTtnTta 因此，数字角频率因此，数字角频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系为之间的关系为 T 式中，式中，T为采样周期。可以看出，数字角频率为采样周期。可以看出，数字角频率与模拟角频率与模拟角频率之间之间为线性关系。正弦序列的为线性关系。正弦序列的Z变换参看例变换参看例4-3。 信号分析与处理信号分析与处理41第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析)sin()(0 nAnx正弦序列是周期序列的条件正弦序列是周期序列的条件)(sin)(sin)(000 NnANnANnx需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定

36、是周期序列。周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数定义为：如果存在一个最小的正整数N，使序列，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列，则序列x(n)是周期序列，周期为是周期序列，周期为N。设任意正弦序列为设任意正弦序列为 显然，满足显然，满足 0N=2 k时，时，x(n) = x(n+N)，正弦序列为正弦序列为周期序列，周期序列，N、k为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：2/0 =N/k为有为有理数（整数和分数）。理数（整数和分数）。 信号分析与处理信号分析与处理42第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析1）当）当2/0为整

37、数时，为整数时，k=1，正弦序列是以，正弦序列是以2/0为周期的周期序为周期的周期序列。例如列。例如sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，该正弦序列周期为，该正弦序列周期为16。2）当）当2/0为分数时，设为分数时，设2/0 =N/k，式中，式中N、k是互为素数（意是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。为周期的周期序列。例如例如sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于由于2/0= 14/3为有理数，故它的周为有理数，故它的周期为期为N= 14。3）当）当2/0是无理数（不循环的无限小数），任何整数是无理数（

38、不循环的无限小数），任何整数k都不能使都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 信号分析与处理信号分析与处理43第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析1.1.线性线性 4.2.4 Z变换的性质变换的性质 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边用于双边z变换。变换。 设设 X(z)=Z x(n), Rx-|z|Rx+ Y(z)=Z y(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=ax(n)+by(n) 则则 M(z)=Z m(n)=Z ax(n)+by(n

39、) =aX(z)+bY(z), R m-|z|R m+ Rm+=min Rx+, Ry+ Rm-=max Rx-, Ry-其收敛域是其收敛域是X(z) 与与Y(z)收敛域的公共部分。收敛域的公共部分。信号分析与处理信号分析与处理44第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析例例4-2 求序列求序列( )(1)nnanan的的Z变换。变换。 解解 ( )nzZ anza11(1)nnnaZ ana zza| |za收敛域收敛域( )(1)1nnzaZ ananzaza可见，线性叠加后序列可见，线性叠加后序列Z变换的收敛域可能扩大，本例扩展到全变换的收敛域可能扩大，本例扩展到全z平面。平面。

40、 信号分析与处理信号分析与处理45第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析10( )cos() ( )x nnn20( )sin() ( )x nnn例例4-3 求单边余弦序列求单边余弦序列和单边正弦序列和单边正弦序列的的Z变换。变换。 解解 余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为 00jj01cos() ( )ee( )2nnnnn 00jj01sin() ( )ee( )2nnnnnj 由于复指数序列的由于复指数序列的Z变换为变换为 00jje( )enznz00jje( )enznz 信号分析与处理信号分析与处理46第第4章章 离散时间信号的

41、分析离散时间信号的分析则余弦序列的则余弦序列的Z变换为变换为 1)cos(2)cos(ee21)(0202jj00zzzzzzzzzX即即 20020cos()cos() ( )2cos()1zznnzz同理可求出正弦序列的同理可求出正弦序列的Z变换为变换为 0020sin()sin() ( )2cos()1znnzz信号分析与处理信号分析与处理47第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析2.2.移位（移序）特性移位（移序）特性 设设X(z)=Zx(n)， r1 |z| r2 则则Zx(n-n0)= z-n0 X(z)，r1 |z| r2证明：证明： nnnnxnnxz)()-(Z00

42、(z)zzz) (000Xnxnnnnnnn 利用此性质，可以把时域的差分方程变换为利用此性质，可以把时域的差分方程变换为z域的代数方程，可以大域的代数方程，可以大大简化计算。大简化计算。 信号分析与处理信号分析与处理48第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析( )1n( )n(1)n例例4-4 已知已知，利用移位性质求，利用移位性质求和和的的Z变换。变换。 解解 样值序列样值序列与阶跃序列的关系为与阶跃序列的关系为 ( )( )(1)nnn( )1n1(1) ( )nz Zn对上式两边取对上式两边取Z变换，由于变换，由于，故，故 1(1) ( )1zZn则则 11 ( )11zZn

43、zz根据移位性质根据移位性质 11 (1) ( )1Znz Znz信号分析与处理信号分析与处理49第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析3. z域微分性质域微分性质 （序列乘以（序列乘以n）(z)dzdz)(ZXnnx 则则若若 X(z)=Zx(n), r1 |z| r2， r1 |z| r2111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT nx ndX zZT nx nzdz 信号分析与处理信号分析与处理50第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析( )Z( )nzX zanz

44、a( )nnan22dZ( )( )d()()naaznanzX zzzzaza ( )nnan( )( )r nnn2Z ( )(1)zr nz例例4-5 已知已知，求序列，求序列的的Z变换。变换。解解 利用利用z域微分性质可得域微分性质可得当当a=1时，时，即为斜变序列即为斜变序列，因此，因此信号分析与处理信号分析与处理51第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析4. z域尺度变换域尺度变换设设 X(z)=Z x(n), r1|z| r2证明：证明：)()(ZazXnxan |a| r1|z| |a| r2则则)()()()(ZazXaznxznxanxannnnnn |a| r1

45、|z| |a| r2信号分析与处理信号分析与处理52第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析5. 时域卷积定理时域卷积定理 设设 w(n)=x(n)*h(n) X(z)=Zx(n), R x-|z| R x+ H(z)=Zh(n) R h-|z| R h+则则 W(z)=Zw(n)=X(z)H(z)， Rw- |z |r1，即，即x(n)是右边序列是右边序列(因果序列因果序列)， X(z)应展成应展成z的负幂级数，的负幂级数，则则N(z)和和D(z)要按照要按照z的降幂（或的降幂（或z-1的升幂）次序进行的升幂）次序进行排列。排列。 如果收敛域是如果收敛域是|z|2和和|z|2，是因果

46、序列。，是因果序列。将将X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的降幂排列，用长除法有的降幂排列，用长除法有 1231211-23-23-234 515351 325 51510 1510154530 zzzzzzzzzzzzzz34 3530zz信号分析与处理信号分析与处理59第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析则则 123( )51535X zzzzn=1( )5, 15, 35,x n（2）收敛域）收敛域|z|1，是反因果序列。，是反因果序列。 将将X(z)的分子和分母按的分子和分母按z的升幂排列，即的升幂排列，即 1325)(121zzzzX信号分析与处理信号分析与处理60第

47、第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 835 875 8358105435 415435 415445 215 z 25 215 25 2155z 5 132835415 25 323222111232zzzzzzzzzzzzzzzz信号分析与处理信号分析与处理61第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析则则 23325153535155( )248842X zzzzzzz135 15 5( ),842nx n 利用幂级数展开法求解逆利用幂级数展开法求解逆Z变换，方法比较直观和简单，但有时难以变换，方法比较直观和简单，但有时难以归纳出归纳出x(n)的闭式解。的闭式解。 信号分

48、析与处理信号分析与处理62第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析2.2.部分分式展开法部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆Z变换。变换。01110111z.zzz.zz(z)(z)(z)aaabbbbABXNNNMMMM 设设x(n)的的z变换变换X(z)是有理函数，分母多项式是是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是阶，分子多项式是M阶，将阶，将X(z)展成一些简单的展成一些简单的逆变换已知的部分分式的和，逆变换已知的部分分式的和，通过查表求通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列得各部分的逆变

49、换，再相加即得到原序列x(n)。设。设X(z)只有只有N个一阶极个一阶极点，可展成下式点，可展成下式 NmmmAAX10zzz(z)信号分析与处理信号分析与处理63第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 NmmmNNAAAAAX10110zzzzz.zzzz(z) 观察上式，观察上式，X(z)/z在在z=0的极点留数就是系数的极点留数就是系数A0，即，即0z0| z(z)z0 ,z(z)Res XXAX(z)/z在在z=zm的极点留数就是系数的极点留数就是系数Am ， 即即mXXAmmmzz| z(z)z(zz,z(z)Res 求出求出Am系数系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求

50、得后，很容易示求得x(n)序列。序列。取逆变换得取逆变换得 Nmnmnznx0)()()( 信号分析与处理信号分析与处理64第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析变变换换。的的逆逆求求zz06. 0z5 . 01z6 . 0(z)212 X解解 先把先把X(z)写成写成z的正幂形式的正幂形式 3 . 0z2 . 0zz)3 . 0)(z2 . 0z(z6 . 0z(z)210 AAAX例例4.910| z(z)z0 ,z(z)Res0z0 XXA30| z(z)2 . 0(z2 . 0 ,z(z)Res2 . 0z1 XXA06. 0z5 . 0z6 . 0z06. 0z5 . 01

51、z6 . 0(z)2212 X信号分析与处理信号分析与处理65第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析3 . 0zz202 . 0zz3010(z) X20| z(z)3 . 0(z3 . 0 ,z(z)Res3 . 0z2 XXA取逆变换得取逆变换得 ( )10 ( )30(0.2)( )20(0.3)( )nnx nnnn信号分析与处理信号分析与处理66第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析 通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普拉斯通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散信号的变换和离散信号的z变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可

52、以变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可以互相转换。本节通过它们之间的关系引出离散时间信号的傅里叶分互相转换。本节通过它们之间的关系引出离散时间信号的傅里叶分析。析。4.3 4.3 离散信号的傅里叶分析离散信号的傅里叶分析4.3.1 离散信号的离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系一、一、s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系对模拟信号对模拟信号x(t)以抽样间隔以抽样间隔TS进行冲激抽样得到抽样信号进行冲激抽样得到抽样信号xS(t)= x(nTS)，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量 ssTze即即 ( )( ) |sTsSz e

53、XsX z1ln( )( )|SSszTX zXs或或 上式分别给出了序列上式分别给出了序列x(n)的的Z变换变换X(z)与冲激采样信号与冲激采样信号xS(t)的拉普拉的拉普拉斯变换斯变换XS(s)之间的变换关系。之间的变换关系。 信号分析与处理信号分析与处理67第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析ssTzesj()sssssTjTTj TjzeeeeressTreST 2SST考察复变量考察复变量这是一个这是一个s域到域到z域的变换。复变量（直角坐标形式）域的变换。复变量（直角坐标形式）经变换后也是一个复变量经变换后也是一个复变量(极坐标形式极坐标形式)其中其中，。重复频率为。重

54、复频率为由此可得由此可得sz平面有如下的映射关系：平面有如下的映射关系：1、s平面的整个虚轴映射到平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；平面的是单位圆；s平面的右半平面映平面的右半平面映射到射到z平面是单位圆的圆外；平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平面是单位圆平面是单位圆的圆内。的圆内。 信号分析与处理信号分析与处理68第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析2、s平面的整个实轴映射到平面的整个实轴映射到z平面的是正实轴；平面的是正实轴；s平面平行于实轴平面平行于实轴（=0是常数）的直线映射到是常数）的直线映射到z平面是始于原点的辐射线，当平面是始于原点

55、的辐射线，当 ), 3, 1(20kkS时，平行于实轴的直线映射到时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。平面的是负实轴。 je3、由于、由于是以是以2为周期的周期函数，为周期的周期函数， s平面与平面与z平面的映射平面的映射2SST的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z平面上。因此，平面上。因此，s平面和平面和z平面的映射关系不是单值的。平面的映射关系不是单值的。 关系相当于把关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为平面分割成无穷多条宽度为二、二、Z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系 单位圆上的单位圆上的z变换对应于离散时间

56、信号的傅里叶变换。因此，若一个变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包含单位圆。平面的收敛域应包含单位圆。 信号分析与处理信号分析与处理69第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析4.3.2 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT) 一、离散时间傅里叶变换的定义一、离散时间傅里叶变换的定义 把把Z变换和反变换重写如下：变换和反变换重写如下： nnnxnxXz)()(z)dzz(z)j21)(1 ncXnx当当z只在只在z平面的单位圆上取值平面的单位圆上取值 ，即，即jez时，可以得到时

57、，可以得到 离散时间序列离散时间序列x(n)的傅里叶变换，即的傅里叶变换，即DTFT（Discrete Time Fourier Transformation）和傅里叶反变换，即）和傅里叶反变换，即IDTFT。 nnnxXjje)()(e信号分析与处理信号分析与处理70第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析Xnxnde)(e21)(jj X(ej)又可以写成又可以写成)(| )(|)(jjjeeXeXX(ej)表示序列表示序列x(n)的频域特性，又称为的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，的频谱。其中，|X(ej)|称为幅度频谱，称为幅度频谱，()称为相位频谱，二者都是称为相位频谱

58、，二者都是的连续函数。的连续函数。 由于由于ej是变量是变量以以2为周期的周期性函数，因此为周期的周期性函数，因此X(ej)也是以也是以2为周期的周期性函数，即为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随的频谱都是随周期变化的。周期变化的。 =0与与=2点为信号的直流分量，点为信号的直流分量，=对应信号的最高频率。对应信号的最高频率。信号分析与处理信号分析与处理71第第4章章 离散时间信号的分析离散时间信号的分析( )( )nx nan例例4-10 求求的离散时间的离散时间傅里叶傅里叶变换，其中变换，其中|a|1。解解 根据式（根据式（4-42）可求出离散时间单边指数信号的傅里叶变换为）可求出离

59、散时间单边指数信号的傅里叶变换为 j0j0je11)e(e)(aaaeXnnnnnj显然，要使上式成立，必须有显然，要使上式成立，必须有|a|1。 图图4-16(a)和和(b)给出了给出了a=0.8时时X(ej)的幅度频谱和相位频谱。由于频的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出谱的周期性，一般只需要给出0 2或或-区间的频谱，如图区间的频谱，如图4.16(c)和和(d)所示。所示。 例例4-11 求序列求序列x(n)=(n)的的傅里叶傅里叶变换。变换。 解解 由定义式得由定义式得 jj()( )e( )e1jnnnX enn信号分析与处理信号分析与处理72第第4章章 离散时间信

60、号的分析离散时间信号的分析例例4-12 求序列求序列x(n)=1的的傅里叶傅里叶变换。变换。解解 显然，对显然，对x(n)=1的信号不满足绝对可和的条件，但可以仿照连续的信号不满足绝对可和的条件，但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的傅里傅里叶叶变换是以变换是以2为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数 kjkeX)2(2)(利用逆变换公式得利用逆变换公式得 j1( )2 ()ed12nx n 例例4-13 若若5( )( )( )(5)x nR nnn求此序列的傅里