两条直线所成的角

1、两条直线所成的角一、教学目标（一）知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式 解题（二）能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法； 通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力（三）学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯二、教材分析1重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况 作定量的研究两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得 到，教学时要讲请 l 1、l 2的公式的推导方法及这一公式的应用2，难点：公式的记忆与应用3疑点：推导 l1、l

2、 2的角公式时的构图的分类依据三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程（一）引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样 根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题（二）1 1到l 2的角正切两条直线 l 1 和 l 2 相交构成四个角，它们是两对对顶角为了区别这些角， 我们把直线 l 1 依逆时针方向旋转到与 l 2重合时所转的角，叫做 l 1 到 l 2的角图 1-27中，直线I 1到12的角是9 1,12到11的角是9 2（ 9 1+ 9 2=180 ）.l1 到 l 2 的角有三个要点：始边、终边和旋转方向现在我们来求斜率分别为 k

3、i、k2的两条直线11到12的角，设已知直线的方程 分别是11 : y=kix+bi I 2 : y=k2x+b2如果 1+ki k2=0，那么 9 =90,下面研究1+kik2工0的情形.由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究 9与11和I2的倾角的关系入手考虑问题.设I 1、丨2的倾斜角分别是a 1和a 2(图1-32)，甲图的特征是I 1到I 2的角 是11、I 2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是I 1到I 2的角是I 1、I 2与x 轴围成的三角形的外角.tg a 1=k1 , tg a 2=k2 .T9 =a 2- a 1(图 1-32),或 9 = n -( a

4、1 - a 2)= n +( a 2- a 1),tg 9 =tg( a 2- a 1).或 tg 9 =tg n ( a 2- a 1)=tg( a 2- a 1).可得1 + tgCL atgCl ieq x(g 1-32上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆.（三）夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角，简称夹角）就可以了，这时可以用 下面的公式（四）例题3例1求直线I】： y-2x+3； 13： y = x-的夹鼠解：ki=-2，k2=1.=3. 0 =arctg3 71 34

5、本例题用来熟悉夹角公式.例 2 已知直线 li:Aix+Biy+Ci=O 和丨2：A2x+B2y+C2=0（Bi 工 0、E2工0、AiA2+BiB2工0） , l i到l 2的角是0，求证：证明：设两条直线li、12的斜率分别为ki、k2，则ala3 +b】b【这个例题用来熟悉直线l 1到12的角.例3等腰三角形一腰所在的直线I 1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线I 2 的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在直线13的方程.解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另 一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关.设I 1、丨2、I 3的斜率

6、分别是kl、k2、k3， I 1到I 2的角是0 1，I 2到I 3的角因为I 1、|2、|3所围成的三角形是等腰三角形，所以0 1= 0 2.k, +1tg 0 2=tg 0 1 =-3 .解得k3=2.因为13经过点(-2 , 0)，斜率为2,写出点斜式为y=2x-(-2),即 2x-y+4=0 .这就是直线1 3的方程.讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要 为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角.(五)课后小结(1) 11到1 2的角的概念及1 1与12夹角的概念；(2) 11到I 2的角的正切公式；(3) 11与1 2的夹角的正切公式；等腰三角形中，一腰

7、所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到 另一腰所在直线的角.五、布置作业1.(教材第32页，1. 8练习第1题)求下列直线I 1到1 2的角与12到1 1的 角:1(IJlp y =-x + 2t 12： y =+ 7,(2)1 j： x -y = 5, lj: x +2y - 3 = 0.解二二k厂3,设嗨呱的角为齢，则1 - 2_一3 0 1=45jr 3.到h的角 a -(2)k】 = h k厂丄輒到J的角为X则k2-k-2_Itg 6 = jt=： -3*12 到 l 1 的角 0 2=n - 0 i=arctg3 .2. (教材第32页，1. 8练习第2题)求下列直线的夹角：

8、1(1) y = 3y-L y = -x+4 (2) K-y = 5? y = 4.(3) 5x-3y = 9, 6x+10y+7 = 0, 解：(l)k严 3, k2 二；. ki k2=-1 ,I i与l 2的夹角是90.(2)ki=1,k 2=0.两直线的夹角为45 .53 =亍 k2心丁 IT 7|1与I 2的夹角是90.3. (习题三第10题)已知直线I经过点P(2, 1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o,求直线I的方程.解：己知直线的斜率k严；，i殳所求直线的斜率Mr依题意有:77解之有k?=-三或対=-,所以直线方程为37y-l=-s!y-l=-(x-2).即 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0 .4.等腰三角形一腰所在的直线11的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l 2的方程是x