线段的垂直平分线和角平分线的复习

1、线段的垂直平分线和角平分线的复习A AC CB B 如图如图,在一个三角形的小岛上，小动在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？距离相等呢？线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线线段垂直平分线 角平分角平分线线判定判定尺规作

2、图尺规作图定义定义性质性质三角形三边垂三角形三边垂直平分线和角直平分线和角平分线的性质平分线的性质线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两的点到这条线段两个端点距离相等个端点距离相等. .到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .ACBPMN符号语言符号语言：符号语言：符号语言：MNAB,AC=BC,MNAB,AC=BC,P P是是MNMN上任意一点上任意一点PA=PBPA=PBPA=P

3、B(PA=PB(已知已知),),点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .温馨提示温馨提示:证明点在直线上证明点在直线上(或直线或直线经过某一点经过某一点)的根据之一的根据之一.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABCPabc 三角形三条边的三角形三条边的垂直平分线相交于一垂直平分线相交于一点点, ,并且这一点到三个并且这一点到三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。如图如图, ,在在ABCABC中中, ,直线直线c,a,bc,a,b分别是分别是AB,AB, BC,ACBC,AC

4、的垂直平分线的垂直平分线直线直线c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P, 且且PA=PB=PCPA=PB=PC三条边的垂直平分线的性质定理三条边的垂直平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 线段的垂直平分线线段的垂直平分线三角形三角形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习关于三角形三边垂直平分线的定理关于三角形三边垂直平分线的定理 三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三

5、角形，则交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：符号语言符号语言：符号语言：符号语言：证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之

6、一. .证明一个点是否在角平分线上，证明一个点是否在角平分线上，从而推出两个角相等从而推出两个角相等. .线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习BADOPE PD=PE PDOA , PEOB点点P 在在AOB 的平分线上的平分线上 角平分线角平分线温馨提示温馨提示: OP 是是AOB 的平分线的平分线 PDOA , PEOBPD=PE 三个内角平分线的性质定理三个内角平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 角平分线角平分线三角形三角形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等ABCBNDFMEP线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线

7、复习ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P，PDAB, PEBC, PFAC，垂足分垂足分别是别是E、D、F .PD=PE=PF练习练习 下列过程是否正确？下列过程是否正确？ ABOPED 点点P在在AOB的平分线上的平分线上. PD=PE,（在一个角的内部且到角的两（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的边距离相等的点，在这个角的平分线上）平分线上）. 错误错误.AB=AC，APBC.（和一条线段两个端点距离相等的点，（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）.P错误错误.过一个点不能过一个点不能确定一条直线确定一条直线

8、.线段的垂直平分线和角平分线的复习【例【例1 1】：如图，在：如图，在ABC中，中， BC=12,AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点H.求求AFH的周长。的周长。在在ABC中，中， AFH的周长为的周长为12,AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的的垂直平分线交垂直平分线交BC边于点边于点H.求求BC长为长为_。在在ABC中，中， AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边边于点于点H.若若B=35， C=25,则则FAH=_.121260线段垂直平分线与

9、角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析例例2如图如图1，在，在ABC中，中，BC8cm，AB的垂直的垂直平分线交平分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周的周长等于长等于18cm，则，则AC的长等于（）的长等于（）A6cm B8cmC10cmD12cm线段的垂直平分线和角平分线的复习3、如图，、如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点 E，如果，如果EBC的周长是的周长是24cm，那么，那么BC= 4、 如图，如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交AC于点于点E

10、，如果，如果BC=8cm，那么，那么EBC的周长是的周长是 _ 5、如图，、如图，AB=AC,AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交交AC于点于点E，如果，如果A=28 度，度， 那么那么EBC是是_ 线段的垂直平分线和角平分线的复习6.如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂直平分的垂直平分线交线交BC于于D，CAD DAB=1 2，则则B= . 36线段的垂直平分线和角平分线的复习7.(2004四川四川)如图，已知点如图，已知点C是是AOB平分线上一点，平分线上一点，点点P、P分别在边分别在边OA、OB上。如果要得到上。如果要得到PO=OP ，需，需要添加以

11、下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号的序号 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ;PC=PC ;PP OC或或或或线段的垂直平分线和角平分线的复习8.如图如图4-4-3所示，直线所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有等，则可供选择的地址有( ) A1处处 B.2处处 C.3处处 D. 4处处D图图4-4-3线段的垂直平分线和角平分线的复习 9、(2004河北省河北省)如图是一

12、个经过改造的台球桌面的示如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是射），那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋号袋 B.2号袋号袋 C.3号袋号袋 D.4号袋号袋B线段的垂直平分线和角平分线的复习例题例题1 已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂

13、直平分线上的垂直平分线上. 分析：（分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？）从已知条件你能想到什么定理？ （3）能得到什么结论）能得到什么结论? （4）用什么定理来证明结论）用什么定理来证明结论? （2）缺少了什么）缺少了什么?怎么办？怎么办？ G角平分线上的点到另一边的垂线段角平分线上的点到另一边的垂线段.添加辅助线添加辅助线.添辅助线的目的添辅助线的目的是什么？是什么？构造角平分线的构造角平分线的基本图形基本图形. 【例【例1 1】已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA， PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在

14、在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. 证明：过点证明：过点P作作PGAB，垂足为点，垂足为点G .GAP平分平分BAD,PEAD(已知已知)， PGAB(已作已作) ，PEPG（角平分线上的点到角两边（角平分线上的点到角两边 的距离相等）的距离相等）同理：同理：PGPF. PEPF(等量代换等量代换). 点点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例2 2】已知：如图，已知：如图，AP、BP分

15、别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. （1）若把上图中的）若把上图中的DA、CB延长相交于点延长相交于点O，点，点P还落还落 在什么特殊的位置上？为什么？在什么特殊的位置上？为什么？ GG由角平分线的逆定理可得点由角平分线的逆定理可得点P在在BOA的角平分线上的角平分线上. （2）OEOF吗？为什么？吗？为什么？ 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题例题3 已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分

16、线与AC的垂直平分线交于的垂直平分线交于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 分析：（分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段，）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ （2）怎样来理解这个条件）怎样来理解这个条件? 求证：求证：ADEC. （3）怎样来证明结论）怎样来证明结论? 12点点N在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上. 怎样来利用这个条件怎样来利用这个条件? 添加辅助线添加辅助线. 添辅助线的目的添辅助线的目的是什么？是什么？构造垂直平分线构造垂直平分线的基本图形的基本图形.同时构造了全等同时构造了全等三角形三角形.H.L

17、线段的垂直平分线和角平分线的复习例题例题3 已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分线与AC的垂直平分线交于的垂直平分线交于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 证明：联结证明：联结AN、CN. 求证：求证：ADEC. BN平分平分ABC， DNAB, ENBC（已知），（已知）， NDNE（角平分线上的点（角平分线上的点到角两边的距离相等），到角两边的距离相等）， 且且1=2=90（垂直的定义）（垂直的定义） . 12点点N在在AC的垂直平分线的垂直平分线(已知已知) ，NANC（线段垂直平分线（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个上的任意一点到这条线

18、段两个端点的距离相等端点的距离相等 ）. 在在RtADN和和RtCEN中，中，DNEN (已证已证)， ANNC (已证已证). RtAND RtCEN（H.L） ADEC(全等三角形对应全等三角形对应边相等边相等). 线段的垂直平分线和角平分线的复习垂直平分线垂直平分线 - -点向两端连线段点向两端连线段当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习规律总结规律总结角平分线角平分线 - -

19、 点向两边作垂线段点向两边作垂线段1.1.全等运用的干扰全等运用的干扰角平分线定理及垂直平分线的性质定理都是不用全等，角平分线定理及垂直平分线的性质定理都是不用全等，而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍一遍. .2.2.证线段的垂直平分线时，往往只得出一个点到一条线段证线段的垂直平分线时，往往只得出一个点到一条线段的两个端点距离相等，就下结论的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是过这一点的直线是这条线段的垂直平分线，实际上由直线公理：这条线段的垂直平分线，实际上由直线公理：“两点确定两点确定一条直线一条直线”，还要再找出一个这样

20、的点，还要再找出一个这样的点. .共需两点共需两点1.1.下列命题中正确的命题有（下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；经过线段中点的直线只有一条；点点P P在线段在线段ABAB外且外且PAPA= =PBPB，过，过P P的直线的直线MNMN是线段是线段ABAB的中垂线；的中垂线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. .A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个A线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习达标测试达标测试2.2.如图，如图，P PC COAOA于点于点C C，P PD DOBOB于点于点D D，1122，下列结论不正确的是（，下列结论不正确的是（ ）A.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODA.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODOP OP DBACOPD21初级目标初级目标 3. 3.如图所示，点如图所示，点P P是是CABCAB的平分线的平分线ADAD上