刚体转动补充例题

1、1m2mrR例例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、半径为半径为 R，小圆盘质量为，小圆盘质量为 m2、半径为、半径为 r，两圆盘都用力两圆盘都用力 F F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：解：以以 m1、 m2 为研为研究对象，它们有共同究对象，它们有共同的角加速度，只有的角加速度，只有 F F、F F 产生力矩。产生力矩。)(21JJFrFR由圆盘的转动惯量：由圆盘的转动惯量：习题课习题课 / / 例例1 121121RmJ22221rmJ21JJFrFR2221)(2rmR

2、mrRFMmrRF FF F习题课习题课 / / 例例1 1例例3：质量为质量为 m、长为、长为 l 的细杆一端固定的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至在地面的轴上可自由转动，问当细杆摆至与水平面与水平面 60 角和水平位置时的角加速度角和水平位置时的角加速度为多大。为多大。lm,解：解：由转动定律由转动定律JMg gm231cos2mllmglg2cos3习题课习题课 / / 例例3 3gl43 60时gl23 0时lg2cos3lm,g gm习题课习题课 / / 例例3 3Rr sin5) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量 24 Rm sind2dZrS

3、ZRZrmd2sin/d2d 圆环质元圆环质元质元面积质元面积222232d )(2d2mRzzRRzRrJRRRR 均匀薄球壳均匀薄球壳6) 均匀球体绕直径的转动惯量均匀球体绕直径的转动惯量 zrzrrmrJd21d21d21d4222 25222452158d)(21d21mRRzzRzrJRRRR 例例4：质量为质量为 m 、长为、长为 l 的细杆两端用细的细杆两端用细线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的线悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另一根细线中的张力为多大？瞬间另一根细线中的张力为多大？lm,解：解：在线烧断瞬间，在线烧断瞬间，以杆为研究对象，以杆为研究对象，细杆受重力和线的

4、细杆受重力和线的张力，张力，g gmT T注意：在细杆转动时，各注意：在细杆转动时，各点的加速度不同，公式中点的加速度不同，公式中a为细杆为细杆质心质心的加速度。的加速度。maTmg（1）习题课习题课 / / 例例4 4以悬挂一端为轴，重力产生力矩。以悬挂一端为轴，重力产生力矩。231mlJJlmg2（2）2lra（3）联立联立(1)、(2)、(3)式求解式求解mgT41习题课习题课 / / 例例4 4lm,g gmT Tm例例: :细线一端连接一质量细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度过水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度 0 转动，用力转动

5、，用力 F F 拉线，使转动半径从拉线，使转动半径从 r0 减减小到小到 r0/ /2 。 求：求：（1）小球的角速度；小球的角速度； （2）拉力拉力 F F 做的功。做的功。o00r解：（解：（1）由于线由于线的张力过轴，小球的张力过轴，小球受的合外力矩为受的合外力矩为0，角动量守恒。角动量守恒。F FF F习题课习题课 / / 例例6 6LL0JJ002020mrmr2/0rr04半径减小角速度增加。半径减小角速度增加。（2）拉力作功。）拉力作功。请考虑合外力矩为请考虑合外力矩为0，为什么拉力还作功呢？为什么拉力还作功呢？MdW0习题课习题课 / / 例例6 6mo00rF FF F在定义

6、力矩作功在定义力矩作功时，我们认为只时，我们认为只有切向力作功，有切向力作功，而法向力与位移而法向力与位移垂直不作功。垂直不作功。但在例题中，小但在例题中，小球受的拉力与位球受的拉力与位移并不垂直，小移并不垂直，小球的运动轨迹为球的运动轨迹为螺旋线，法向力螺旋线，法向力要作功。要作功。习题课习题课 / / 例例6 6orF FnF FF Fddsmo00rF FF F由动能定理：由动能定理：0kkEEW20022121JJW2020202021)4()2(21mrrm0232020mr习题课习题课 / / 例例6 6例例: 如图所示梯子质量如图所示梯子质量m=15 kg, 一端靠在可视为光滑一

7、端靠在可视为光滑的墙面上的墙面上, 另一端放在粗糙的地面上另一端放在粗糙的地面上, 梯子与地面夹梯子与地面夹角角q=60 , 已知梯子的重心在它的中心已知梯子的重心在它的中心. 求墙和地对梯求墙和地对梯子的作用力子的作用力. NAABNBmgf解：选解：选B点为转轴点为转轴 sincos2lNlmgmgNfNABA 例例: 长为长为l的均匀细杆竖直地放在光滑地面上的均匀细杆竖直地放在光滑地面上, 从静止倒从静止倒下下. 试求落到地面时质心的速度试求落到地面时质心的速度.CyxOmgN l解：质心速度的水平分量为零，解：质心速度的水平分量为零，杆绕质心转动的角速度为杆绕质心转动的角速度为w co

8、s21lyC sin2lyvCC 机械能守恒机械能守恒 cos212121212222lmgmlmvlmgC 2 落地时落地时glvC321 解解: 把演员视为质点把演员视为质点, M, N和跷板作为一个系统和跷板作为一个系统, 以通过点以通过点C垂直平面的垂直平面的轴为转轴轴为转轴. 由于作用在系统上的由于作用在系统上的合外力矩为零合外力矩为零,故系统的故系统的角动量守恒角动量守恒例例: 一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h处自由下落到跷处自由下落到跷板的一端板的一端, 并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N弹了起来弹了起来. 设跷板设跷板是匀质的是匀质的, 长度为长

9、度为l, 质量为质量为m ,支撑板在板的中点支撑板在板的中点C, 跷跷板可绕点板可绕点C在竖直平面内转动在竖直平面内转动, 演员演员M, N的质量都是的质量都是m. 假定演员假定演员M落在跷板上落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞碰撞. 问演员问演员N可弹起多高可弹起多高.NhMCABl/2lm mm 221222mlJlmuJlmvM J为其跷板的转动惯量为其跷板的转动惯量, 把板看成是窄长条形状把板看成是窄长条形状2121lmJ hmmmglguh22226382 这样演员这样演员N将以速率将以速率u=l /2跳起跳起, 达到的高度达到的高度h 为为lmmgh

10、mmllmlmvM)6()2(62112122122 例例9: 将一个均匀的圆柱体放在平板卡车上将一个均匀的圆柱体放在平板卡车上, 圆柱体的轴圆柱体的轴到平板车后沿的距离为到平板车后沿的距离为l . 如车突然以匀加速度如车突然以匀加速度a向前开向前开动动, 圆柱体在车上作纯滚动圆柱体在车上作纯滚动, 试求当圆柱体滚下车时卡试求当圆柱体滚下车时卡车运动的距离车运动的距离.mglfNF惯惯a解：以平板车为参照系解：以平板车为参照系cmafF 惯惯maF 惯惯 JRf RaC 221talC latS23212 例例: 一质量为一质量为m, 半径为半径为R的均质圆柱的均质圆柱, 在水平外力作用在水平

11、外力作用下下, 在粗糙的水平面上作纯滚动在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为心轴线的垂直距离为l. 求求: 质心的加速度和圆柱所受的质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力静摩擦力.CmafF 圆柱对质心的转动定律：圆柱对质心的转动定律： CJRflF 纯滚动条件纯滚动条件 RaC 圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为221mRJC 解解: 静摩擦力静摩擦力f 的方向如图所示的方向如图所示, 则由质心运动方程则由质心运动方程 FaCmRmRlRFaC3)(2 FRlRf32 由此可见由此可见，静静摩摩擦擦力力向向前前。时时，当当，静静摩摩擦擦力力向

12、向后后；时时，当当0202 fRlfRl联立以上四式联立以上四式, 得得 FaCmR静摩擦力如何？静摩擦力如何？时，时，当当2 Rl此时无摩擦力。因为此时无摩擦力。因为F使刚体做纯滚动。使刚体做纯滚动。例例: 一匀质细棒长为一匀质细棒长为l , 质量为质量为m, 可绕通过其端点可绕通过其端点O的的水平轴转动水平轴转动. 当棒从水平位置自由释放后当棒从水平位置自由释放后, 它在竖直位它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞置上与放在地面上的物体相撞. 该物体的质量也为该物体的质量也为m, 它与地面的摩擦系数为它与地面的摩擦系数为 . 相撞后相撞后, 物体沿地面滑行一物体沿地面滑行一距离距离s 而停止

13、而停止. 求求: 相撞后棒的质心相撞后棒的质心C离地面的最大高离地面的最大高度度h, 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件.解解: 除重力外除重力外, 其余内力与外力都不其余内力与外力都不作功作功, 故机械能守恒故机械能守恒1) 棒自由摆落的过程棒自由摆落的过程2223121212 mlJlmg(1)COmml 碰撞时间极短碰撞时间极短, 冲力极大冲力极大, 系统的对系统的对O轴的角动量守恒轴的角动量守恒(2) 223131mlmvlml2) 碰撞过程碰撞过程3) 物体在碰撞后的滑行过程物体在碰撞后的滑行过程由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式

14、得asv202 mamg (3)(4)物体作匀减速直线运动物体作匀减速直线运动, 加速度由牛顿第二定律确定加速度由牛顿第二定律确定由式由式(1)-(4)联立求解联立求解, 得得lgsgl 233 除重力外除重力外, 其余内力与外力都不作功其余内力与外力都不作功, 故机械能故机械能守恒守恒, 即即4) 棒碰撞后的过程棒碰撞后的过程2223121212 mlJlhmgslslh 63 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件:0 sl 6 0 向左摆向左摆向右摆向右摆sl 6 即即即即COmml例：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为量为 M、长为、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，、可绕中心转动的细杆，有一质量为有一质量为 m 的小球以速度的小球以速度 v0 与杆的一与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速