第15讲 一阶电路的三要素公式

1、1一阶电路的数学模型是一阶常微分方程一阶电路的数学模型是一阶常微分方程:第第15讲讲 一阶电路的三要素公式一阶电路的三要素公式)()()(00tfbtyadttdy=+)(1)()(tuLtiLRdttdiSLL=+Ri(t)Cu uS S(t)(t)u uR R(t)(t)u uc c(t)(t)()(tutudtduCRScc=+)(1)(1tuRCtuRCdtduSCC=+)(tuiRdtdiLSLL=+RiL(t)Lu uS S(t)(t)u uR R(t)(t)u uL L(t)(t)+-2teyyyty+=+)()0()()(+时间常数初始值稳态值三要素 )0( )(yy其解的一般

2、形式其解的一般形式:tPetyty+=A)()()()()(00tfbtyadttdy=+在直流激励下，特解为常数，则在直流激励下，特解为常数，则KyKtyPP=+)0(,)(令令 t = 0+ ,有有)0()0(,)0()0(+=+=PPyyAAyy于是于是tPPeytyty+=)0()y(0)()(teKKty+=)y(0)(则则令令 t = ,有有Ky=)(三要素公式三要素公式31、使用条件、使用条件： 外施激励为直流或正弦函数。外施激励为直流或正弦函数。2、依据、依据：在全响应下，一阶电路中各处的在全响应下，一阶电路中各处的u、 i均按指数规律变化。均按指数规律变化。初始值最终值（稳态

3、值）。初始值最终值（稳态值）。同一个电路，同一个电路，u、 i的变化由同一个的变化由同一个决定。决定。、三要素求解、三要素求解：f(0f(0+ +): ): 初始值，独立和非独立初始条件求解初始值，独立和非独立初始条件求解。t=0-,C开路，短路开路，短路。零状态时，短路，开路。零状态时，短路，开路。f():f():特解，稳态值，最终值。开路，短路特解，稳态值，最终值。开路，短路：RC=LG=只有在直流或正弦函数作用下强迫分量才称为稳态分量；若外加激励是衰减的指数函数，则强迫分量也将以相同规律衰减的指数函数，在这种情况下，强迫分量不再称为稳态分量。41A2 例例11 3F+-uCV2)0()0

4、(= = = + +CCuuV667. 01122)(= = + += = Cus2332= = = = =CR等等 033. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 + += = + += = teeuttC已知：已知： t=0时合上开关时合上开关 求求 换路后的换路后的uC(t) 。解解tuc2(V)0.66705例例215V3Hk(t=0)1 1 2 15V求求)(ti)(6323515)0()0(AiiLL=+t0解： 三要素法三要素法作作t=0+时的等效电路：时的等效电路：)( 132*)6(5)0(Ai=+=+iiLi(0+)iL(0+)15V6A1 1

5、2 )(93515)(Ai=s59353=t091ti09589)(teti=6例例34 +_uc+-i12i12A4 设电流源在设电流源在t=0时加入，时加入，uc (0-)=0求求u c (t)，t00解：解： 三要素法三要素法求求u c ()：u c ()=2*4+2*2=12V 求求：=CReq=10*0.01=0.1s2i14 +-i14 (4+4)i1+2i1=u10i1=u R Req=10=10 uc(t)=12(1-e-10t) t07例例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合 k1 , t =0

6、.2s时合时合k2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。解解： 0 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1= = = = =+ +ii Aii5)(5 . 026. 1)2 . 0(2= = = = =+ + 26. 122)2 . 0(2 . 05= = = = eiA74. 35)()2 . 0(2 = =tetiit(s)0.25(A)1.2628例例 3.5 -1如图如图3.5 -3(a)的电路，的电路， 在在t0时，开关时，开关S位于位于“1”， 电电路已达到稳定状态。路已达到稳定状态。 在在t=0时，开关由时，开关由“1”闭合到闭合到“2”。 求求t 0时的电

7、感电流时的电感电流iL、 电感电压电感电压uL以及以及i1和和i2 。 解：解： （1）求初始值）求初始值。 为此为此要先求得要先求得iL(0-)。 在在t-的瞬的瞬间，间， 开关开关S尚位于尚位于“”，由，由于这时已处于稳态，于这时已处于稳态， 故有故有diL/dt =0， 即即uL =0，电感可用短，电感可用短路替代，于是得路替代，于是得t=0-的等效电的等效电路如图路如图3.5 -3(d)所示。所示。 由图由图(d)不难求得不难求得iL(0-) =9/3=3A。 9根据换路定律可知根据换路定律可知iL(0+) = iL(0-) =3A。这样，在。这样，在t0的电路的电路(图图(b)中，用

8、电流源中，用电流源iL(0+)替代电感元件，得替代电感元件，得t=0+时的初始值等效电路时的初始值等效电路如图如图3.5 -3(e)所示。由图所示。由图(e)可求得可求得ViRRRRuLL6)0()0(2121=+=+AiRRRiL2)0()0(2121=+=+AiRRRiL1)0()0(2112=+=+10 （2）求稳态值）求稳态值。 当电路达当电路达到稳态值时，到稳态值时，diL/dt =0， 即即uL=0。在在t0的电路的电路(图图(b)中，中， 电感用短电感用短路线替代，路线替代， 这样就得到稳态值等这样就得到稳态值等效电路，效电路， 如图如图3.5 -3(f )所示。所示。 显显然，

9、各变量的稳态值均为零。然，各变量的稳态值均为零。 即即 iL()=0 uL ()=0 i1()= i2()=011（3）求）求 （s）RL21= = = （4）代入三要素公式求各响应）代入三要素公式求各响应iL(t)= iL ()+ iL(0+)- iL () e= iL(0+)e = 3e-2t(A) t0uL(t)= uL ()+uL(0+)- uL () e=uL(0+)e = -6e-2t(A) t0i1(t)= i1 ()+ i1(0+)- i1 () e= i1(0+)e = 2e-2t(A) t0i2(t)= i2 ()+ i2(0+)- i2 () e= i2(0+)e =-e

10、-2t(A) t0tttttttt12 例例 3.5 2 如图如图3.5 -5的电路，当的电路，当t0时，开关时，开关S位于位于“1”， 已达到稳定状态。已达到稳定状态。 (1) 如在如在t=0时，开关时，开关S由由“1”闭合到闭合到“2”，求，求t0时电压时电压uC和和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应；的零输入响应、零状态响应以及全响应； (2)如在如在t=0时，开关时，开关S由由“1”闭合到闭合到“2”，经过，经过1.5s后，开后，开关又由关又由“2”闭合到闭合到“3”，求，求t0时的电压时的电压uC和和u1 。 解解(1) 由图由图3.5 -5可见，当开关可见，当开关S闭合到闭合到

11、“2”后，后， 即即t0的电路如图的电路如图3.5 - 6(a) 所示。所示。 13 （1）求初始值）求初始值。在。在t=0-时，时，开关位于开关位于“1”，由于电路已达到，由于电路已达到稳态，电容可看作是开路，不难稳态，电容可看作是开路，不难求得，求得， uC (0+)= uC (0-) = - 4V。为了区分零输入响应与零状态响应，为了区分零输入响应与零状态响应，设设uC 和和u1的零输入响应的初始值分的零输入响应的初始值分别为别为uCx(0+)和和u1x(0+) ，其零状态响应，其零状态响应的初始值分别为的初始值分别为uCf(0+)和和u1f(0+) 。iS置零置零(开路开路)，可求得，

12、可求得uCx(0+) = uC(0+) =-4 Vu1x(0+) = =-2 V)0(222+cu14uC(0+)置零置零(短路短路)， 可求得可求得Viusf4216131)0(1=+=+ （2）求稳态值）求稳态值 当电路达到稳态时，电容可看做当电路达到稳态时，电容可看做开路。开路。 稳态等效电路如图稳态等效电路如图3.5 -6(d)所所示。设示。设uC和和u1的零输入响应和零状态的零输入响应和零状态响应的稳态值分别为响应的稳态值分别为uCX ()、 uCf ()和和u1x()、 u1f()。 uCf(0+)=015iS置零置零(开路开路)，可求得，可求得uCx( ) =0 Vu1x( )

13、= 0 VuCf( )=Viusf8)(1= = =3 63+6由输入产生的零状态响应的稳态值为由输入产生的零状态响应的稳态值为（3）求）求 Req= 2+ = 4 3 63+6 =ReqC=1s16uCx(0+) = uC(0+) =-4 V)0(222+cuuCf(0+)=0u1f(0+)= 4Vu1x( ) = 0 Vu1x(0+) = =-2 VuCx( ) =0 VuCf( )=Vuf8)(1= = =ReqC=1s（4）代入三要素公式求各响应：）代入三要素公式求各响应：ucx(t)= ucx(0+)e = 4e t 0 t/ tu1x(t)= u1x(0+)e = 2e t 0 t

14、/ tucf(t)= ucf( ) +ucf(0+) ucf() e = 8(1 e ) t 0 t/ tu1f(t)= u1f( ) +u1f(0+) u1f() e = 8 4e t 0 t/ t17ucx(t)= ucx(0+)e = 4e t 0 t/ tu1x(t)= u1x(0+)e = 2e t 0 t/ tucf(t)= ucf( ) +ucf(0+) ucf() e = 8(1 e ) t 0 t/ tu1f(t)= u1f( ) +u1f(0+) u1f() e = 8 4e t 0 t/ t18 (2) 在在t=0时，开关时，开关S由由“1”闭合到闭合到“2”，经过，经过1.5s后，开后，开关又由关又由“2”闭合到闭合到“3”。在在0t1.5s区间，开关位于区间，开关位于“2”，仍有，仍有 uC(t)=8-12 e-t (V) 0t1.5 s u1(t)=8-6 e-t (V) 0t1.5s时的电路时的电路uC (1.5-) =8-12e-1.5=5.32 VuC (1.5+) = uC (1.5-) =5.32 Vt=1.5+s等效电路等效电路u1 (1.5+) =0显然，各电压稳态值均为零。显然，各电压稳态