微分中值定理与导数的应用习题

1、第四章微分中值定理与导数的应用习题微分中值定理1. 填空题(1) 函数f(x) arctanx在0,1上使拉格朗日中值定理结论成立的E是 扌 .(2) 设 f(x) (x 1)(x2)(x 3)(x5)，则 f (x)0有 个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中.2. 选择题(1)罗尔定理中的三个条件：f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) f(b)，是f (x)在(a,b)内至少存在一点，使f ( ) 0成立的(B ).A.必要条件B 充分条件C充要条件 D .既非充分也非必要条件(2)下列函数在1,1上满足罗尔定理条件的是( C )D.A. f (x) e

2、x B.f (x) | x | C. f (x)1 x2f(x).1 xsin , xx 00,x 0(3)若 f (x)在(a,b)内可导，且x1立(B).A.f(X2)f (X1 )(X1X2) f ()B.f(X1)f (X2)(X1X2)f ()C.f (X1)f (X2)(X2X1) f ()D.f (X2)f (X1)(X2X1) f ()3.证明恒等式arcta nxarc cot xX2是(a, b)内任意两点，则至少存在一点，使下式成(a,b)X1X2X1X2(X)2在X1, X2之间证明：1 1令 f (x) arcta nx arc cot x，则 f (x)220 ,所

3、以 f (x)为一常数.1 X1 X设f (x) c，又因为f故 arctan x arc cot x ( x ) 24若函数f (x)在(a, b)内具有二阶导数，且 f(xjf (x2)f (x3)，其中a捲x2x3 b，证明：在(xi, X3)内至少有一点，使得f ( ) 0 证明：由于f(x)在Xi，X2上连续，在(Xi,X2)可导，且f(Xi) f(X2)，根据罗尔定理知，存在1 (Xi , X2 ),使 f ( 1 ) 0 冋理存在 2 (X2 , X3 ),使 f(2) 0 又 f(x)在i , 2 上符合罗尔定理的条件，故有(X-X3)，使得f ( ) 0 .23x x5.证明

4、方程i x0有且仅有一个实根.2 6证明：设23f (X) i X -26i则 f (0) i 0, f ( 2)-0,3根据零点存在定理至少存在一个(2,0),使得 f()0 .另一方面，假设有 xi, x2(,)，且 XiX2，使f(Xi)f (X2)0 ,根据罗尔定理，存在(Xi,X2)使 f ( )0,即 i1 2-0 ,这与2i丄ln(1 -)2 Xx(2) lim _00只有一个实根.0矛盾故方程i x2266. 设函数f(x)的导函数f (x)在a,b上连续，且f (a) 0, f (c) 0, f(b) 0 ,其中c是介 于a,b之间的一个实数.证明：存在 (a,b)，使f()

5、0成立.证明：由于f (x)在a,b内可导，从而f (x)在闭区间a,b内连续，在开区间(a,b)内可导.又 因为f(a) 0, f (c) 0 ,根据零点存在定理，必存在点i (a,c)，使得f( J 0 .同理，存在点2 (c, b)，使得f( 2) 0 因此f(x)在i, 2上满足罗尔定理的条件，故存在 (a,b),使f ( )0成立.7. 设函数f(x)在0,i上连续，在(0,i)内可导.试证:至少存在一点(0,i),使f ( ) 2 f(i) f (0).证明： 只需令g(x) X2，利用柯西中值定理即可证明&证明下列不等式sin x(1)当 0 X 时，COSX .X因为f (x)

6、f (a)1a1，所以In(axbf(b) f ( )(a b),b a1b)，又因为b a，所以一a丄，从而b证明： 设f(t) si nt tcost，函数f(t)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，且f (t)tsint,故 f (x)f(0)f ( )(x0), 0x ,即sin x x cosxx sin0 ( 0x)因此，当Ox时，sin xcosx .X(2)当 a b 0时，ab , a Ina babb证明：设f(x) In x,则函数在区间b,a上满足拉格朗日中值定理得条件，有a b , a a b Ina b b洛毕达法则1. 填空题cos5x5(1) limx -

7、 cos3x3arcta nx2 * *1 11(3) lim (飞)=x 0 xxta n x 3(4) lim(sin x)x 12 选择题(1)下列各式运用洛必达法则正确的是(2xA. lim lim Gn en nln nn1limen n 1B.1 cosxx sin x limx 0 x sin x1 cosx limx 0C.cosx2 . 1 x sin limxx 0 sin x12xsi nlimxx 01cosx不存在D.lim 2 Tim 丄 1x 0 ex x 0 ex(2)在以下各式中,极限存在，但不能用洛必达法则计算的是(A.limB . lim (丄严 Cx 0

8、 sin xx 0 xsin xxD.limX3. 求下列极限a a/xnmaH XmImlimx 0解:nmam-nxx2xxx2 2 2 . 2 lim2=limx 0x2x 0xx2ln 22 ln22 (ln 2)= lim2xx 0x(ln 2)2= (ln 2)2.sinx tanx3解：limSinx tanxx 0tan x(cosx 1)x ( gx2) xm2(4) xmxe sin x(arcsi nx)2解：limxxesi nx 12 = lim0 (arcsinx)x (xei 一0sin x2xlimxcosx2xxlim x 0sin x 12(5)lim -x

9、 1 1xx xx ln解:(xx)X / /x (1In x)01x1 x lnxm1xx (1ln x)1xmxx(1ln x)2limxx 2(1x 1ln x)2x12.(6) lim (丄x-)11解：lim (x 0 xlimx 0x e x(exx 11)limx 02x22x(7) limx 0解: !叫 G)tanxlim tanxlnx0limoln xcot xlimo1x2csc xexlimo.2sin xx(8) lim ln(1xx2 )ln(1解：lim ln(1x2x)l n(13)= limx x3|n(1x2x)3 limxln(1 2x)3 limx2x

10、ln21 2x1xx=3ln2 .= 3ln 2 limx21 2x(9) lim n n .n解:因为lim x. xx1 lim In xexlim -ex x1，所以 lim n n =1.n函数的单调性与曲线的凹凸性1.填空题2 2 1 1(1) 函数y 4x2 ln(x2)的单调增加区间是(一,0)(,)，单调减少区间2 21 1(，2)(0,2).(2)若函数f(X)二阶导数存在,且 f (x)0, f(0)0,则 F(x)是单调 增加(3)函数 y ax21 在(0,)内单调增加，贝U a 0 .(4)若点(1 , 3)为曲线y3 ax39bx2的拐点，则a 2，b 2，曲线的凹

11、区间为I,1),凸区间为(1,).2. 单项选择题F列函数中，(在指定区间内是单调减少的函数(2)a. yln xf (x)(0,(x1)(2xD . ysin x (0,)11)，则在区间(2,1)内(B ).f (x)单调增加，曲线 y f (x)为凹的B. y f(x)单调减少，曲线 y f(x)为凹的C. yf(x)单调减少，曲线 y f(x)为凸的D. yf (x)单调增加，曲线 y f (x)为凸的(3) f (x)在(，)内可导，且 Xi,X2,当 XiX2 时，f(xjf(X2),则(D )A.任意 X, f (x)0 B.任意 X, f ( x) 0C. f( X)单调增 D

12、.f ( X)单调增A.f (1)f (0)f(1)f(0)b. f (1) f(1)f(0)f (0)C.f(1)f(0)f (1)fd. f (1) f(0)f(1)f (0)2.求下列函数的单调区间(1)yex x1 .解:yXe 1,当X0时，y0,所以函数在区间0,)为单调增加;当X0时,y 0，所以函数在区间(,0为单调减少.(4)设函数f (x)在0,1上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是(2) y (2x 5)V?.U(x3当x 1,或x 0时，y 0,所以函数在区间(，01,)为单调增加;当Ox 1时，y 0，所以函数在区间0,1为单调减少.(3) y ln(x . 1 X

13、2 )解：y11 X2_1_Cx2_0，故函数在()单调增加.3. 证明下列不等式(1)证明:对任意实数a和b,成立不等式 |a b 1|a|b|1 |a b| 1 |a|1 |b|x1证明：令f(x)，则f (x)1 x(1 x)20 , f (x)在0,)内单调增加.由 | a b| |a|b|,就有f(|a b|)f(|a| |b|),|a b| |a|b|1 |a b| 1 |a|b|a|a| |b|1 |a|b| |b|a|1 |a|b|1 |b|(2)当x 1时，lnx 空证明：设 f(x) (x 1)1 nx 2(x1) , f(x)In x，由于当x 1时,f (x)10,因此

14、 f (x)在1,x x)单调递增,f (x)f (1)0 ,故 f(x)在1,)单调递增，当有 f (x) f (1)0.故当 x时，f(x) (x 1)lnx2(x 1)0,因此In2(x 1)(3)当 x0时,sin x证明：设f (x)sin x x(x)cosxf (x)x sin x 0 ,所以f(x)在0,)单调递增,0时,f (x)f (0)0 ,故 f (x)在0,)单调递增,从而当有 f (x)f(0)0.因此当x30时，sinx x 64.讨论方程x 一 sinx2k(其中k为常数)在(0,)内有几个实根.2解:设(X)x sin x2k,则(x)在0,屮连续,且(0)

15、k,(孑)(x)12cosx 0，得x arccos为(0, )内的唯一驻点.2 22 2(x)在0,arccos上单调减少，在arccos，上单调增加.24故(arccos勻2arccos k为极小值，因此 (x)在0,的最大值是 k ,最2 2(2) y (2x5)3 x2拐点及凹或凸的区间2小值是arccos0,或k24arccos时,方程在(0, )内无实根;2 2(2)2arccos4 k 0时,有两个实根;2(3)当 k arccos24时，有唯一实根.25.试确定曲线y ax3 bx2cx d中的a、b、c、d,使得x2处曲线有水平切线，(1, 10)为拐点，且点(2,44)在曲

16、线上.解：y 3ax2 2bx c, y6ax2b，所以3a( 2)2 2b( 2)6a 2b 010a b c d44a( 2)3 b( 2)2 c( 2) d解得：a 1,b3,c24, d 16.6求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间解:y 1 4,(x 1)0,得x 0,当x2x36x,23(x 1)1时y不存在.0 ,当x 1或0 x 1时,故曲线,1)(0,1)上是凸的，在区间和1,0)(1,)上是凹的,曲线的拐点为(0,0).10 x 110 2x 11当x 0时，y , y不存在；当x 时，y 0 .2故曲线在(1 12)上是凸的，在(-)上是凹的，(-,33 2)是曲线的拐点2

17、x x7.利用凹凸性证明：当0 x 时，si-2证明:令f(x)X Xsin,则 f (x)1X 1cos-,f (x)1X sin-.22 242当0X时，f (x)0 ,故函数X f (x) sinX的图形在(0,)上是凸的，从而曲线2y f(x)在线段 AB(其中 A(0, f (0), B( , f()的上方，又 f (0) f( )0,因此 f(x) 0,即 sin 函数的极值与最大值最小值1.填空题(1)函数y x2x取极小值的点是 x1In 2(2)函数 f (x)1(x21)3在区间0,2上的最大值为f(12)3 ，最小值为f(0)12.选择题(1)设 f (x)在()内有二阶

18、导数，f(X。) 0，问f (x)还要满足以下哪个条件，则f(X0)必是f(x)的最大值？ ( C )A. x X0是f (x)的唯一驻点x X0是f(X)的极大值点C. f (x)在()内恒为负f (x)不为零(2) 已知f (x)对任意yf (x)满足 xf (x) 3xf (x)21 e x，若(Xo)0 (Xo 0)，则(BA.f (xo )为f (x)的极大值B.f (Xo)为f (x)的极小值C.(3)若f(x)在xo至少二阶可导，且limx Xof(x) f (Xo)2(x Xo)无极值 D .1,则函数f(x)在Xo处(A )不一定有极值A.取得极大值B .取得极小值C .3.

19、求下列函数的极值32/3(1)f xXX.21解:由 f(X)1x 30 ,得 x 1 .(x)14”-x 3,f (1)0 ,所以函数在x1点取得极小值.3f (xo)不是极值点,(xo, f(xo)不是拐点(xo , f(xo)为拐点 D.1(2) f(x) X 匚1 ln x丄1解：定义域为(0,)，y ex , yxX-2(1 lnx),X令y 0得驻点x e,当 x (0,e)时，y0，当i x (e,)时，y 01因此y(e) ee为极大值.4.求y 2x3 3x2 12x 14的在3,4上的最大值与最小值.解：y( 3)23, y(4)132.2由 y 6x 6x 12 O，得

20、x 1, x 2.而y(1)7,y( 2)34,所以最大值为132，最小值为7.5.在半径为R的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大.1 2解：设圆锥体的咼为 h ,底半径为，故圆锥体的体积为 Vr 2h，32 2 2 1 2由于(h R) r R,因此 V(h) - h(2Rh h) (0 h 2R)，14R2 2由 V (h)- (4Rh 3h2)0，得 h ，此时 rR .3 33由于内接锥体体积的最大值一定存在，且在(0,2R)的内部取得现在V (h) 0在(0,2R)内只有4R内接锥体体积的最大.个根,故当h ,r36.工厂C与铁路线的垂直距离 AC为2

21、0km, A点到火车站B的距离为100km.欲修一条 从工厂到铁路的公路 CD,已知铁路与公路每公里运费之比为 3: 5，为了使火车站B与工厂C间的 运费最省，问D点应选在何处？解：设AD x B与C间的运费为y,贝Vy 5k. 400 x23k(100 x) (0 x 100),其中k是某一正数.由 y k(V4003)2x0 得 x 15由于 y |x o 400ky |x 15380ky |x 100 500 125其中以y|x15380k为最小因此当AD x15 km 时总运费为最省.7.宽为b的运河垂直地流向宽为 a的运河.设河岸是直的，问木料从一条运河流到另一条运河 去,其长度最长

22、为多少？解：问题转化为求过点C的线段AB的最大值设木料的长度为IAC x, CB y，木料与河岸的夹角为t,则x y l，且costsin tcost sintl asi nt bcostI22 ，cos t sin t石-由 l 0得 tant 3,此时 l (a3 b3)2， a223故木料最长为I (a3 b3)2 函数图形的描绘3x1求y2的渐近线(x 1)3解：由lim J ，所以x 1为曲线y f (x)的铅直渐近线.x 1(x 1)2y- XmH X为因2XX m H X1,lim (yxx)limxx32 x (x 1)2所以y x 2为曲线y f (x)的斜渐近线.第四章综合

23、练习题1 填空题1xsi nx(1)ln(1 一)lim xx arcta nx函数y x In(x 1)在区间(1,0)内单调减少，在区间(0,)内单调增加.1x(3) 曲线yln(1 ex)的渐近线是x0和y0 .(4) lim (tan x)cosxX 2 02.求下列极限(1)xm.1 tanx , 1 sinx2xln(1 x) x解:71 tanx V1 si n x lim2x 0 xln(1 x) xtan x sin xxl n( 1 x) x1 1cosxtan x11cosxlimlim-lim2 x 0ln(1x) xx 0 x2x0ln(1x) xlim2x0sin

24、x1 sin x lim2 x 0(1x)“ .11 1、1(sincos)cosxxxx1 a(exe ) sin1xxlimx解:limx1 1 1 1(sin- cos-) cos-x x=lim1 ac 1xxa 2(e e ) sin x1 1 1 1(sin- cos-)cos-x x=lim- 1 x2 a x2e (ex1) sinx1 1 1 sin cos- xx x2a / 1、2 1e-x x11111112a xim2 cos2cos-3sinxxxx3xx4 x13e2a1 23.求证当 x 0时，x =x2 ln(1 x).21 2证明：令 f(x) ln(1 x

25、) x X ,贝y2f (x)1当x 0时,f (x) 0,故f(x)在0,)单调增.当x 0时，有f(x) f(0) 0,即1 2x x In(1 x).24.设f (x)在a,b上可导且b a 4，证明：存在点x0 (a,b)使f (x) 1 f2(x).证明：设 F(x) arctanf(x)，则 F(x) 1化),且 |F(X)| 乙由拉格朗日中值定理知，存在x0 (a,b)，使F(b)F(a)f(x0),即b af(x。)F(b) F(a) |F(b)| |F(a)| 2 2彳2 1 .1 f (x0)b ab a445.设函数f (x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等