高考数学专题复习：数形结合思想教师用

1、数形结合数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用

2、数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面： （1）集合问题中venn图（韦恩图）的运用；（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；（3）函数图象的应用；（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；（5）解析几何、立体几何中的数形结合。2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错；（3）简单性原则。不要为

3、了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变 量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。3进行数形结合的信息转换，主要有三个途径： （1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4常见的“以形助数”的方法有： （1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；（3）借助于方程的曲线，由方程代

4、数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以重视。5常见的把数作为手段的数形结合： 主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析类型一：利用数形结合思想解决函数问题例1：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当x-1,1时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ） (a)5 (b)7 (c)9 (d)10解析：画出f(x)的图象画出y=lgx的图象数出交点个数（1）选c由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x)

5、 =lgx，则x（0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点例2：若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】 原方程变形为 即：设曲线y(x2) , x(0,3)和直线y1m，图像如图所示。由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m1或3m0此题也可设曲线y(x2)1 , x(0,3)和直线ym后画出图像求解。例3：已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是a b c d解析：画出的示

6、意图.由题设有 ， ，令 ，则 ， ， . 在上是增函数. .选c.举一反三：【变式1】已知函数在0x1时有最大值2，求a的值。解析：，抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示： （1） （2） （3）（1）当a0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，适合a0。（2）当0a1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合题意。（3）当a1时，如图（3）所示。 当x=1时，y有最大值，即。a=2。综合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【变式2】已知函数。（）写出的单调区间；（）设，求在0，a上的最大值。解析：如图：（1）

7、的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）（2）当a1时， 当时， 当，。【变式3】已知()（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；（2）当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x0, 时，都有|f(x)|5，问a为何值时，m(a)最大？并求出这个最大值。解析：（1）若a=0，则c=0，f(x)=2bx 当-2x2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，a0； 若a0，假设， 区间-2,2在对称轴的左外侧或右外侧， f(x)在-2，2上是单调函数， （这是不可能的） （2）当，时， ，所以， （图1） （图2） (1)当即，时（如图1），则所以是方程的较小根，即 (2

8、)当即，时（如图2），则所以是方程的较大根，即（当且仅当时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题例1：若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。解析：画出和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。又由当曲线与曲线相切时，二者只有一个交点，设切点，则，即，解得切点，又直线过切点，得，当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。总结升华：1解决这类问题时要准确画出函数图象，

9、注意函数的定义域。2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。3在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三：【变式1】若关于x的方程在（1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。解析：把方

10、程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。设（x1，1）如图：当或时，关于x的方程在（1，1）内有1个实根。 【变式2】若02，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和。解析：将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值。设，在同一坐标中作出这两个函数的图象由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，

11、数形结合解答例2：如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为_；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为_.解析：为便于观察，不妨先将正方形pabc向负方向滚动，使p点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以a为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时顶点b位于x轴上，顶点p画出了a为圆心，1为半径的个圆周（图2）；（二）继续以b为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时顶点c位于x轴上，顶点p画出b为圆心，为半径的个圆周（图3）；（三）继续以c为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时，顶点p位于x轴上，为点，它画出了c为

12、圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点. 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是.举一反三：【变式1】已知圆c：(x+2)2+y2=1，p（x，y）为圆c上任一点。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。（1）表示点（x，y）与原点的距离， 由题意知p（x，y）在圆c上，又c（2，0），半径r=1。 |oc|=2。 的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2r=21=1。（2）表示点（x，y）与定点（1，2）

13、两点连线的斜率， 设q（1，2），过q点作圆c的两条切线，如图： 将整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值为，最小值为。（3）令x2y=u，则可视为一组平行线系， 当直线与圆c有公共点时，可求得u的范围， 最值必在直线与圆c相切时取得。这时， 。 x2y的最大值为，最小值为。【变式2】求函数的最小值。解析：则y看作点p（x，0）到点a（1，1）与b（3，2）距离之和如图，点a（1，1）关于x轴的对称点a（1，1），则即为p到a，b距离之和的最小值，【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）a b或cd或解析：如图由题知方程

14、的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则 ，即下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点o（0，0）连线的斜率则 ，选c。【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的个数( )(a)1个(b)2个(c)3个(d)4个2已知全集u=r，集合a=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为( )a(3,5) b(-2,+) c(-2,5) d(5,+ )3在平面直角坐标系xoy中，已知平面区域a=(x,y)|x+y1,且x0,y0，则平面区域b=(x+y,x-y)|(x,y)a的面积为（ ） (a)2 (b)1 (c) (d) 4函数

15、图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）23yx0ab cd5不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）abcd6已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是 （ ） 二、填空题（每小题6分，共18分）7复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是 8.已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_.9.设a=(x,y)|x2+(y-1)2=1,b=(x,y)|x+y+m0，则使ab成立的实数m的取值范围是_.三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分

16、）10如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点、分别在侧棱、上，且 （）求证：平面；（）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小 11如图，是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接m、n两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称m到l1、l2的距离分别是2 km、4km，n到l1、l2的距离分别是3 km、9 kin （1）建立适当的坐标系，求抛物线弧mn的方程； （）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km求 此厂离点0的最近距离（注：工厂视为一个点）12已知函数f

17、(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1【解析】选c.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3.2答案：b3作出不等式组表示的平面区域b，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域b的面积为14答案：d5答案：a6【解析】选b.根据对称性画出f(x)在（-3,0）上的图象如图，结合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函数值的正负,易知

18、不等式f(x)cosx0的解集是7【解析】由题意知，设，则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：又由对称性，可得答案：答案：8【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图. 画直线y=m,由图象知当1m5时，方程有四个不相等的实根.答案：（1，5）9【解析】由于集合a，b都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合a是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合b是一个不等式x+y+m0表示的平面区域内的点的集合, 要使ab，则应使圆被平面区域所包含（如图），即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有故m的

19、取值范围是m-1.答案：m-110解：（）建立如图所示的空间直角坐标系又pa=ad=2，则有p（0，0，2），d（0，2，0） 3分（）又7分（）设则有同理可得即得9分由而平面pab的法向量可为故所求平面amn与pab所成锐二面角的大小为12分11解析：（1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则m（2，4），n（3，9）设mn所在抛物线的方程为，则有，解得所求方程为（23）5分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分） （2）设抛物线弧上任意一点p（，）（23）厂址为点a（0，）（5t8，由题意得07分令，23，49对于任意的，不等式0恒成立（*）8

20、分设，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值为所以，该厂距离点o的最近距离为6.25km12分12【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.当t+14即t4时，f(x)在t,t+1上单调递减（如图），h(t)=f(t)=-t2+8t.(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.(x)=x2-8x+6lnx+m,当x(0,1)时(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1或x=3时，（x）=0.(x)极大值=（1）=m-7,(x)极小值=（3）=m+6ln3-15.当x充分接近0时，（x）0,要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，即7mc (b)bc或bc中至少有一个正确 (c)bc (d)不能确定【解析】选c.f(x)=|x2+2