§32导数的极值最值

1、3.2 导数的单调性与极值、最值一、知识梳理1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f(x)0f(x)为 f(x)0f(x)为 2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ， 那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ， 那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程 的根；检查f(x)在方程 的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续

2、的函数f(x)在a，b上必有最大值与 最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值, 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减,则 为函数的最大值， 为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的 ；将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是： 二、基础自测1函数y3x26ln x的单调增区间为_，单调减区间为_2函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是_3.若函数恰有3个单调区间，

3、则实数a的取值范围是 .4已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取值范围是 .5.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_.6.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么其导函数y=f(x)的图象有_个零点. 7若函数y=x+x+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_.8函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为_.9.函数f(x)=的极值点的个数是_.10.已知函数f(x)=在x=1处取极值10，则f(2)=_.在的最值为 四、例题分析例1 已知f(

4、x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围变式训练 已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a时，讨论f(x)的单调性例2 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围变式训练 已知函数f(x)=-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范

5、围；若不存在，说明理由；例3 设的导数为f(x),若函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称，且f(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值变式训练 设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由例4已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围例5已知a为实数，且函数f(x

6、)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)；(2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值五、课后练习1函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是 .2函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是 .3已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(1)的大小关系为 .4已知yxbx(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是 .5已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的范围是 6已知f(x)2x36x2m (m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为_7已知函数f(x)ln x2x，若f(x22)f(3x)，

7、则实数x的取值范围是_8 已知函数f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，函数g(x)x32x2mx5在(，)内单调递减，则实数m_.9已知某质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t时，s(t)3d2成立，则d的取值范围为_10. 函数f(x)的定义域R，f(-1)=2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x+4解集为 .11.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间-1,2上是减函数，那么b+c的最大值为_.12. .函数f(x)=(sinx+cosx)在区间0，上的值域为_.13直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_.14.已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)1时，试判断f(x)在(0，1上的单调性，并证明你的结论.18已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3、