直线与方程讲义

1、精品文档直线与方程【考点审视】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空题，也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点。考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法；层次三：考查直线与其它知识的综合。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几

2、种形式的适用性和局限性，【知识网络】一、回顾与复习：思考1倾斜角（owav 180）,斜率（a=900时不存在），截距（注意为 0的情形，曲 线与x、y 轴的交点（a, 0） , （0, b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截 距。截距和距离 不同，截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距 离”，可正可负）。知识点梳理:1?顷斜角：x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。00 18002.斜率：k tany2 yix2 %斜率k与倾斜角 之间的关系：a 0 k tan0 00 a 90 k ta na 0a 90 tana （不存在）k不存在如果

3、直线i沿x轴负方向平移90 a 180 k ta na 0又回到原来的位置，那么直线1b 3 c .3变式训练i直线x=3的倾斜角是（3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后i的斜率是13a.0 b.c.d. 不存在2、直线x3 = 0的倾斜角是（）（）（）（c90。直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点 （x、y。）斜率为k,则直线方程为y y k （x x。），它不包括垂 直于x 轴的直线。（2） 斜截式：已知直线在 y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为y kx b，它不包括垂 直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经过 r （x1,y1）、f2 （x2,y2）两点，则直线方程为 匕上迎一

4、y2y1x2 x1它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在 x轴和y轴上的截距为a,b，则直线方程为 一它不包括垂a直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均可写成ax by c 0 （a,b不同时为0）的形式。 注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b,常设其方程为y kx b；c e士、/q （ 2）知直线横截距x。，常设其方程为x my x。（它不适用于斜率为0的直线）；（3（x ,y ）,当斜率k存在时，常设其方程为 y k （x x。）y。，当斜率k不存在时，疝其方程 为xx ; （ 4）与直线i: ax by c 0平行的直线可表示为 ax

5、by g 0 ; （ 5）与直 线i : ax by c 0垂 直的直线可表示为 bx ay c 1 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。例下列说法的正确的是（）a经过定点po x0, v。的直线都可以用方程yy 0 k x x o表示b经过定点ao, b的直线都可以用方程y kx b表示c不经过原点的直线都可以用方程-1表示a bd经过任意两个不同的点r xi, yi、p2 x2, y2的直线都可以用方程y yix21xx 治y2iy变式训练i若动点p到点f(1,1)和直线3x0的距离相等，则点 p的轨迹方程为x 3y 23x y 212,这条直线方

6、程是 a 3x y 6c x 3y 22 一直线过点m( 3,4),弁且在两坐标轴上截距之和为3 若方程 x2 my2 2x 2y 0 表示两条直线，则 m 的取值是 4 .直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是()j11a. 2,- b. 2, c., 3 d. 2,-33325 .直线过点(一3, 2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为()(a)2x-3y= 0;( b) x+ y + 5= 0;(c)2x 3y= 0 或 x+y+5 = 0( d) x+ y + 5 或 x y+ 5= 0思考2:两直线平行与垂直3.两直线平行与垂直的判定：两直线平行的判定：1 2k 1=k

7、2且b1 b2或两条直线的斜率都不存在。1 2 ab2 a2b10 且 b1c2 b2c1 0两直线垂直的判定：(1) 1 2 k 1 ? k2=- 1或一条直线斜率为 0,另一条直线斜率不存在。(2) 1 / 2 a a2 b1b2 0注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。思考3:两条直线的交点li : ai x b i y ci 0 12 ： a2x b2 y c2 0 相交交点坐标即方程组a1x b1y c1 0的一组解。a2 x b2 y c20方程组无解ll /l2 ；方程组有一个解人与匚相交方程组有无数解ll与i 2重合例1.直线3x+y+仁0和直线6x+2y

8、+1=0的位置关系是()a.重合b.平行c.垂直d.相交但不垂直例2.如果三条直线 m)+y+3=0, x y 2=0, 2 x y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线,那么m的一个值是 .1一变式训练1当0 k时，两条直线kx y k 1ky x 2k的交点在 象区22、已知直线 |1 : x ay 2a 20,l2：ax y 1 a 0.若i1/i2,试求a的值；若i1忆试求a的值5?点点、点线、线线的距离：(1) 点到点 p2(x22)的距离 d ： . (/ x2)2 (y1 y?)21 |axo by0 cl(2)点p(x0,y。)到直线 ax by c 0的距离d 11 ;ja

9、2b2一|ci c2|(3)两平行线ii : ax by c 1 0,i2： ax by c 2 0 间的距离为 d -。va2 b2例1若p a, bqc, d都在直线y mx k上，则pq用a、c m表示为(变式训练1求函数f(x).x2 2x 2 . x2 4x 8的最小值2经过点m (3,5)的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么3两平行直线li2分别过点p (1,0)和p(o,5)，若li与12的距离为5,求两直线的方程；设li与12之间的距离是d,求d的取值范围。6.过定点的直线系：过两条直线li : ax biy ci 0 , 12 : a2x b?y c2 0的交点的直线系方

10、程为ax by c ia2x b2y c2 0 (为参数)，其中直线12不在直线系中。例i.下列命题正确的有: 每条直线都有唯个倾斜角与之对应，也有唯个斜率与之对应； 倾斜角的范围是：0 ai80，且当倾斜角增大时，斜率也增大； 过两点a(i,2),b(m,-5)的直线可以用两点式表示； 过点(i,i),且斜率为i的直线的方程为一一 _ii ;x i 直线ax+by+c=0(a,b不同时为零)，当a,b,c中有一个为零时,这个方程不能化为截距式 若两直线平行，则它们的斜率必相等； 若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于-1.例1.若直线1i : ax 2y 60 与直线 l2 : x (a 1)

11、y2a 10 u li与j相交时,a; 1i /12 时，a= ; 1il2 时，a= 例2?求满足下列条件的直线方程：(1)经过点p(2 , -1)且与直线2x+3y+12=0平行；经过点q(-1 , 3)且与直线x+2y-仁0垂直；经过点r(-2 , 3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点n(-1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零变式1、设直线l的方程为(m 2)x 3y m，根据下列条件分别求m的值.|在x轴上的截距为 2 ；斜率为1.变式训练2、设直线i的方程为(a 1)x y 2 a 0(a r)(1)若i在两坐标轴上的截距相 等，求i的方程;(2)若i不经过第二象限，

12、求实数a的取值范围?典例剖析1 ?倾斜角与斜率的互化问题厂j3例 1 ? (1 )若 k (-.3,),贝 u ; ( 2)若 k ( 1,1),贝 u 分析：已知斜率探求倾斜角，必须分清斜率的正负，且应注意无论倾斜角是锐角还是钝角，始终是斜率随着倾斜角的增大而增大.2 ?直线平行与垂直的问题例2 ?已知过点 a(- 2, m)和b( m 4)的直线与直线2x+y 仁0平行，则m ?(若垂直呢？)分析：根据对应的两直线平行，其对应的斜率相等的关系去分析与解答有关的参数问题3 ?直线方程问题73例3 ?求斜率为一且分别满足下列条件的直线方程:3(1)经过点(3,1);(2)在x轴上的截距是5 ?

13、分析：根据对应的条件，结合相应的直线方程的基本形式加以分析求解4 ?综合应用问题例4?求过直线 2 7y 40与7x 21y1 0的交点，且和点 a(3,1)、点b(5,7)等距离的直线i的方程.分析：通过求出两直线的交点，利用直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式加以综合分析与应用.例5过点m (2,4)作两条互相垂直的直线，分别交 x、y的正半轴于a、b,若四边形oamb的面积被直线ab平分，求直线ab方程。分析：命题有两种设方程的方案：设ma、mb的点斜式方程，然后求出 k ；设ab的截距式方程，经过估算，应选第方案更好。课后作业一、选择题1 .设直线ax by c 0的倾斜角为，且s

14、in cos 0 ,则a,b满足()a. a b 1 b. a b 1c. a b 0 d. a b 02 .过点p(1,3)且垂直于直线x 2y 3-的直线方程为()a2x y 1 0 b. 2x y 50. cx 2y 5 0 d. x 2y 703 .已知过点a( 2, m)和b(m,4)的直线与直线2x y 10平行,则m的值为()a 0 b .8 c. 2 d. 10.4 .已知ab o,bc 0 ,则直线ax by c通过()a .第一、二、二象限c.第一、三、四象限b .第一、二、四象限d .第二、三、四象限5 .直线x 1的倾斜角和斜率分别是()a. 450,1b. 1350,

15、 1d. 180 ,不存在0c. 90,不存在26 .若方程(2 m2m 3)x (m m)y 4m 10表示一条直线，则实数m满足3b . m 一23门d. m 1, m 八 ,m 0、填空题1.点p(1, 1)至短线x y 10的距离是2.已知直线11 : y2x 3,若| 2与| 1关于y轴对称，则|2的方程为若i与h关于x轴对称，则i的方程为若14与h关于y x对称，则14的方程为3. 若原点在直线l上的射影为(2, 1),则i的方程为 2 24. 点p(x, y)在直线 x y 4 0 上，则 x y 的最小值是 5. 直线l过原点且平分yabcd的面积，若平行四边形的两个顶点为b(1,4), d(5,0),则直线i的方程为三、解答题1.已知直线axb yc 0 ,(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交；(3)系数满足什么条件时只与x轴相交；(4)系数满足什么条件时是x轴；(5)设 p x0, yo 为直线 axb yc0 b,证明：这条直线的方程可以写成a x xo b y y 00 .2 ?求经过直线 li : 2x 3y 50,l2 ： 3x 2y 30的交点且平行于直线2x y 30的直线方程。3?经过点 a(1,2)弁