第3章 误差分析和数据处理

1、现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 现代测试技术现代测试技术Modern testing and measurement technology 苏州科技学院苏州科技学院电子与信息工程学院电子与信息工程学院电子科学技术系电子科学技术系潘敬熙潘敬熙Jingxi-Jingxi- 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 第第3 3章章 误差分析和数据处理误差分析和数据处理 3.1 3.1 误差的表示法误差的表示法3.2 3.2 误差的来源和分类误差的来源和分类3.3 3.3 系统误差系统误差3.4 3.4 随机误差随机误差3.

2、5 3.5 误差的合成与分配误差的合成与分配3.6 3.6 测量数据的处理测量数据的处理 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.1 3.1 误差的表示法误差的表示法现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.2.1 3.2.1 几个概念几个概念 真值真值 测量的目的就是获得被测量的真值。所谓测量的目的就是获得被测量的真值。所谓真值，就是一个物理量在一定的时间和环境条真值，就是一个物理量在一定的时间和环境条件下，被测量所呈现的客观大小或真实数值。件下，被测量所呈现的客观大小或真实数值。 真值是利用理想的量具或测量仪器而

3、得到真值是利用理想的量具或测量仪器而得到的无误差的测量结果，它只是一个理想的概念，的无误差的测量结果，它只是一个理想的概念，实际的测量无法得到。实际的测量无法得到。 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 实际值实际值 实际值是在实际测量中，用高一级标准的实际值是在实际测量中，用高一级标准的仪器示值来代替真值，通常称为实际值，也叫仪器示值来代替真值，通常称为实际值，也叫相对真值。相对真值。 标称值标称值 标称值的是指测量器具上标定的数值。标称值的是指测量器具上标定的数值。由由于制造和测量精度不够以及环境因素的影响，于制造和测量精度不够以及环境因素的影响，标称

4、值并不一定等于它的真值或实际值。为此，标称值并不一定等于它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称之时，通常还要标出它在标出测量器具的标称之时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。的误差范围或准确度等级。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 示值示值 示值的定义是测量器具指示的被测量的量示值的定义是测量器具指示的被测量的量值，也称作测量器具的测量值，它包括数值和值，也称作测量器具的测量值，它包括数值和单位。单位。 测量就是通过实验手段求出被测量与计算测量就是通过实验手段求出被测量与计算单位的比值的过程，所以测量结果就包括数字单位的比值的过程，所以测量结

5、果就包括数字和计量单位两部分。测量误差就是测量值与真和计量单位两部分。测量误差就是测量值与真值之间存在的差异。值之间存在的差异。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.1.2 3.1.2 误差基本表示法误差基本表示法1. 1. 绝对误差绝对误差设测量值为设测量值为A AX X，被测量真值为，被测量真值为A A0 0，则绝对误，则绝对误差差XX可表示为可表示为 A= AA= AX X - A - A0 0 （3-1-13-1-1） A A0 0通常用高一等级标准器具的示值通常用高一等级标准器具的示值A A来替来替代（也可以是多次测量的最佳估值），这时误代（

6、也可以是多次测量的最佳估值），这时误差可表示为差可表示为 A= AA= AX X - A - A （3-1-23-1-2） 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 误差伴随着测量过程的始终，人们只能根误差伴随着测量过程的始终，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定范围内而不能据需要和可能，将其限制在一定范围内而不能完全加以消除。完全加以消除。 在实际测量中，应分析误差产生的原因，在实际测量中，应分析误差产生的原因，合理选用仪器和测量方法，正确处理数据，使合理选用仪器和测量方法，正确处理数据，使测量结果尽可能逼近真值。测量结果尽可能逼近真值。现代测试技术第现代

7、测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 如果测量误差是统计独立且不随时间变化的，如果测量误差是统计独立且不随时间变化的，则可以用高一等级标准检定出来，在实际测量时则可以用高一等级标准检定出来，在实际测量时对测量结果加以修正。修正值一般用对测量结果加以修正。修正值一般用C C表示：表示： C = -A = A - AC = -A = A - AX X 因而有因而有 A= C + AA= C + AX X 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 2. 2. 相对误差相对误差 相对误差有以下几种：相对误差有以下几种： （1 1） 实际相对误差。它

8、是用绝对误差实际相对误差。它是用绝对误差AA与与被测量的实际值被测量的实际值A A0 0的百分比值来表示的，即的百分比值来表示的，即0A100%AA（3-1-3）（2 2）标称相对误差。它是用绝对误差）标称相对误差。它是用绝对误差AA与仪与仪器的测量值器的测量值A AX X的百分比值表示的，即的百分比值表示的，即XA100%Ax现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.1.2 3.1.2 仪表的误差表示法仪表的误差表示法 满度相对误差，也即引用误差。定义为绝满度相对误差，也即引用误差。定义为绝对误差与测量仪器满度值的百分比：对误差与测量仪器满度值的百分比：

9、（3-1-43-1-4）式中式中m m为满度相对误差，为满度相对误差，AA为绝对误差，为绝对误差，A Am m为仪器的满度值。为仪器的满度值。如果已知仪器的满度相对误差如果已知仪器的满度相对误差m m ，则可以，则可以方便地推算出该仪器最大的绝对误差，即方便地推算出该仪器最大的绝对误差，即 m mA Am m A Am m mA100%Am现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 练习练习: : 试证明实际相对误差试证明实际相对误差实实 与示值相对误差与示值相对误差示示二者差值等于二者差值等于实实示示 即即 实实 -示示 = = 实实示示 。 并比较并比较 A

10、 = 99, AA = 99, A0 0 = 100= 100 A = 80, AA = 80, A0 0 = 100 = 100 两种情况下两种情况下实实与与示示的差值。的差值。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 结论：结论： 1 1、实实、示示定义不同。但当误差值较小定义不同。但当误差值较小时，时，实实示示。 2 2、当误差值较大时，、当误差值较大时，实实与与示示 相差较大。相差较大。因此在计算时两者不能混用。要严格按规定的因此在计算时两者不能混用。要严格按规定的要求进行。要求进行。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数

11、据处理 3.2 3.2 误差的来源和分类误差的来源和分类现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.2.1 3.2.1 测量误差的来源测量误差的来源一般的测量过程都是条件受限的测量，必一般的测量过程都是条件受限的测量，必然存在不同程度的误差。测量误差的主要来源然存在不同程度的误差。测量误差的主要来源有以下几个方面：有以下几个方面： （1 1） 仪器误差仪器误差（2 2） 使用误差使用误差（3 3） 人身误差人身误差（4 4） 环境误差环境误差 （5 5） 方法误差方法误差现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 （1 1）仪

12、器、仪表误差）仪器、仪表误差 仪器仪表本身及其附件设计、制造、装配、仪器仪表本身及其附件设计、制造、装配、鉴定等的不完善以及仪器使用过程元器件的老鉴定等的不完善以及仪器使用过程元器件的老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器引入的误差称为仪器仪表误差。引入的误差称为仪器仪表误差。 仪器仪表误差是测量误差的主要来源之一，仪器仪表误差是测量误差的主要来源之一，减少仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，减少仪器误差的主要途径是根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用仪器。正确地选择测量方法和使用仪器。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章

13、误差分析和数据处理 （2 2）使用误差）使用误差 是指人们在使用仪器过程中出现的误差。是指人们在使用仪器过程中出现的误差。又称操作误差。例如，安装、调试、布置或使又称操作误差。例如，安装、调试、布置或使用不当等所导致的误差。用不当等所导致的误差。 （3 3）人身误差）人身误差 由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。误差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 （4 4）环境误差）环境误差 由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使由于各种环境因素

14、与仪器仪表所要求的使用条件不一致所造成的误差称为影响误差。用条件不一致所造成的误差称为影响误差。 （5 5）方法误差和理论误差）方法误差和理论误差 由于测量方法不合理造成的误差称为方法由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。理论误差是用近似的公式或近似值计算误差。理论误差是用近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。测量结果而引起的误差。 要减小该误差必须选择合适的测量方法。要减小该误差必须选择合适的测量方法。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.2.2 3.2.2 测量误差的分类测量误差的分类虽然多种测量误差产生的原因不尽相同，但按虽然多种测量误

15、差产生的原因不尽相同，但按误差的性质和特点，大致可以划分为三类：误差的性质和特点，大致可以划分为三类：1.1.系统误差系统误差在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。律而变化的误差称为系统误差。 系统误差可表示为：系统误差可表示为：0 xA现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 下图描述了几种不同系统误差的变化规律：直线下图描述了几种不同系统误差的变化规律：直线a a属于恒定系差；属于恒定系差；直线直线b

16、 b属于变值系差中的累进性系差，而且是误差递增的；属于变值系差中的累进性系差，而且是误差递增的； 直线直线c c表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化；表示周期性系差，在整个测量过程中，系差值成周期性变化； 曲曲线线d d属于按复杂规律变化的系差。属于按复杂规律变化的系差。Oabcdi系统误差特征系统误差特征现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 产生系统误差的原因主要有以下几种：产生系统误差的原因主要有以下几种： (1) (1) 测量仪器的局限性。测量仪器的局限性。 (2) (2) 测量时环境条件测量时环境条件( (如温度、湿度及电源电如温度

17、、湿度及电源电压压) )与仪器使用要求不一致。与仪器使用要求不一致。 (3) (3) 采用近似的测量方法或近似的计算公式。采用近似的测量方法或近似的计算公式。 (4) (4) 测量人员读取仪器示值的偏差。测量人员读取仪器示值的偏差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 2. 2.随机误差随机误差 在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。随机误差。产生随机误差的主要原因有：产生随机误差的主要原因有： (1)(1)测量仪器产

18、生噪声，零部件配合不良等。测量仪器产生噪声，零部件配合不良等。(2) (2) 温度及电源电压的无规则运动，电磁干扰温度及电源电压的无规则运动，电磁干扰等。等。 (3) (3) 测量人员感觉器官的无规律变化产生的读测量人员感觉器官的无规律变化产生的读数偏差。数偏差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 随机误差的这些特性表明其服从统计规律，用数理统随机误差的这些特性表明其服从统计规律，用数理统计的方法来表征，若服从正态分布，如下图所示。计的方法来表征，若服从正态分布，如下图所示。 (x)OExxO()测量值测量值xixi的正态分布曲线的正态分布曲线误差误差i

19、i的正态分布曲线的正态分布曲线现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 一般来说，有一般来说，有 式中式中E Ex x称为数学期望，其定义为称为数学期望，其定义为称为方差，其定义为称为方差，其定义为 222)(21)(xExex22221)(eniininxinnExn121221lim)(1lim)1(lim1niinxnEx现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 在工程中实际上当在工程中实际上当n n足够大时，定义足够大时，定义： niiniiXxnxnX121)(111现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据

20、处理章误差分析和数据处理 3.3.粗大误差粗大误差粗大误差是指明显超出规定条件下能预期粗大误差是指明显超出规定条件下能预期的误差。产生粗大误差的原因主要有：的误差。产生粗大误差的原因主要有： (1) (1) 测量方法不当或错误。测量方法不当或错误。 (2) (2) 测量操作疏忽和失误。测量操作疏忽和失误。 (3) (3) 测量条件的变更。测量条件的变更。 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.2.3 3.2.3 评定测量结果评定测量结果测量结果常用测量结果常用“准确度准确度”（有些书表述成（有些书表述成“正确正确度度”）、）、 “ “精密度精密度”和精

21、确度（有些书表述成和精确度（有些书表述成“准确准确度度”）来评定。）来评定。 准确度表示系统误差的大小准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。 精密度表示随机误差的影响精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。但总是分布在平均值附近。 精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示准确度和精密度都

22、高，意味着系统精确度越高，表示准确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。误差和随机误差都小。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 测量结果评价：测量结果评价： (a) (a) 准确度高、精密度低；准确度高、精密度低； (b) (b) 准确度低、精密度高；准确度低、精密度高；(c) (c) 精密度、准确度均高，即精确度高精密度、准确度均高，即精确度高(a)(b)(c)射击误差示意图射击误差示意图现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 测量值|xA 是粗大误差是粗大误差4x现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析

23、和数据处理章误差分析和数据处理 3.3 3.3 系统误差系统误差现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.3.1 3.3.1 削弱系统误差的方法举例削弱系统误差的方法举例 一、概述一、概述 系统误差定义：在相同条件下多次测量同一系统误差定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。差。 系统误差特点：系统误差特点： 是一个非随机变量。即系统误差出现不是一个非随机变量。即系统误差出现不服从统计规律，而服从

24、确定的函数规律。服从统计规律，而服从确定的函数规律。 重复测量时误差具有重现性。重复测量时误差具有重现性。 可修正性。由于系统误差的重现性，确可修正性。由于系统误差的重现性，确定了具有可以修正的特点。定了具有可以修正的特点。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 系统误差按其出现的规律分类分为：固定系系统误差按其出现的规律分类分为：固定系统误差和变化系统误差统误差和变化系统误差 1 1、固定系统误差：在重复测量中，误差的符、固定系统误差：在重复测量中，误差的符号和数值都不变的误差。如仪表的刻度不准、分号和数值都不变的误差。如仪表的刻度不准、分压器没有调准等原

25、因产生的误差。压器没有调准等原因产生的误差。 2 2、变化系统误差：按其不同变化规律又分为、变化系统误差：按其不同变化规律又分为三种：三种： 单方向线性变化的系统误差单方向线性变化的系统误差 周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差 变化规律复杂的系统误差变化规律复杂的系统误差现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 （1 1）单方向线性变化的系统误差在测量过程）单方向线性变化的系统误差在测量过程中是以单一方向不断增长或不断减少的误差。中是以单一方向不断增长或不断减少的误差。 例如用电池做电源的测量仪器，他们的误差例如用电池做电源的测量仪器，他们的误差随着电池

26、放电逐渐增大；相反，作为频率标准的随着电池放电逐渐增大；相反，作为频率标准的有恒温槽的石英晶体振荡器，它的频率误差随着有恒温槽的石英晶体振荡器，它的频率误差随着恒温时间增长而不断减少。恒温时间增长而不断减少。 （2 2）周期性变化的系统误差）周期性变化的系统误差 在测量过程中误差的符号和数值作周期性变在测量过程中误差的符号和数值作周期性变化。例如作圆周扫描的图示仪，由于读数中心和化。例如作圆周扫描的图示仪，由于读数中心和扫描中心不重合所产生的误差。扫描中心不重合所产生的误差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 从系统误差产生的原因和特点可以确认：系从系统

27、误差产生的原因和特点可以确认：系统误差是一个非随机量。其出现有一定规律。其统误差是一个非随机量。其出现有一定规律。其产生的原因一般是可知的，能掌握的。产生的原因一般是可知的，能掌握的。 操作人员应尽力做到：操作人员应尽力做到： 尽可能预见到各种系统误差的具体来源，尽可能预见到各种系统误差的具体来源，极力设法消除其影响。极力设法消除其影响。 设法确定或估计出未能消除的系统误差设法确定或估计出未能消除的系统误差值，至少要确定误差的大小范围。因为有些系统值，至少要确定误差的大小范围。因为有些系统误差不能通过数据处理来发现和消除。误差不能通过数据处理来发现和消除。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误

28、差分析和数据处理章误差分析和数据处理 二、消除或减弱系统误差的方法二、消除或减弱系统误差的方法 测量准确度由系统误差大小表征。系统误差测量准确度由系统误差大小表征。系统误差越小，则测量准确度越高越小，则测量准确度越高 典型的消除或减弱系统误差方法有：典型的消除或减弱系统误差方法有：1 1、零、零示法；示法；2 2、替代法；、替代法；3 3、交换法；、交换法；4 4、补偿法；、补偿法；5 5、微差法等。微差法等。 此外还有修正法，即对仪器定期进行鉴定，此外还有修正法，即对仪器定期进行鉴定，并确定修正值的大小；检查各种外界影响，如温并确定修正值的大小；检查各种外界影响，如温度、气压、磁场、电场等对

29、仪器指示值的影响，度、气压、磁场、电场等对仪器指示值的影响，并作出各种修正公式、修正曲线或表格，用它们并作出各种修正公式、修正曲线或表格，用它们对测量结果加以修正，来提高测量准确度。对测量结果加以修正，来提高测量准确度。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 零示法零示法 通过平衡电路，使指示仪表示零。于是被测量就等于已通过平衡电路，使指示仪表示零。于是被测量就等于已知的标准量。知的标准量。 如用零示法测未知电压，当检流计如用零示法测未知电压，当检流计G G 指针示零时，有：指针示零时，有： V VX X = V= VS S 即只要标准电池及标准分压器准确，

30、检流计转动灵敏，即只要标准电池及标准分压器准确，检流计转动灵敏，测量就会准确。而检流计的系统误差并不影测量的误差。测量就会准确。而检流计的系统误差并不影测量的误差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 替代法替代法 在测量条件不变的情况下，用一个标准已知在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量去代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不量去代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变。在这种情况下，被测量就等于标准量的数值。变。在这种情况下，被测量就等于标准量的数值。由于在替代过程中，仪器的状态和示值都不变，由于在替代过程中，仪器的状态和示值都不变，所以仪器的误差

31、和其他造成系统误差的因素对测所以仪器的误差和其他造成系统误差的因素对测量结果基本不产生什么影响。量结果基本不产生什么影响。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 替代法测电阻举例替代法测电阻举例 替代法被广泛应用在测量元件参数上，如用谐振法或电桥法测替代法被广泛应用在测量元件参数上，如用谐振法或电桥法测量电容器的电容和线圈的电感的电感量时，都可辅之以替代法。采量电容器的电容和线圈的电感的电感量时，都可辅之以替代法。采用替代法的优点：可消除对地电容，导线的电容、电感，和电感线用替代法的优点：可消除对地电容，导线的电容、电感，和电感线圈的固有电容的影响。圈的固有

32、电容的影响。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 交换法交换法（对照法、二次测量法）（对照法、二次测量法） 这种方法往往是使固定的系统误差在测量这种方法往往是使固定的系统误差在测量结果中一次为正、另一次为负，而其绝对值相结果中一次为正、另一次为负，而其绝对值相等。于是仪器两次读数的平均值将与系统误差等。于是仪器两次读数的平均值将与系统误差无关。无关。 在实际测量中，由于测量环境不可完全一在实际测量中，由于测量环境不可完全一致，故利用交换法得到的仪器两次读数的平均致，故利用交换法得到的仪器两次读数的平均值只是大大削弱系统误差的影响，而不能完全值只是大大削弱系

33、统误差的影响，而不能完全消除。消除。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 微差法微差法 考察零示法情况：被测量与标准量对指示仪表考察零示法情况：被测量与标准量对指示仪表的作用完全相同，使指示仪表示零。而当测量中的作用完全相同，使指示仪表示零。而当测量中指示仪表不能完全示零时（往往因为标准量不能指示仪表不能完全示零时（往往因为标准量不能连续可变），只要标准量与被测量差别较小，则连续可变），只要标准量与被测量差别较小，则指示仪表的误差对测量结果的影响将大大减弱。指示仪表的误差对测量结果的影响将大大减弱。这就是所谓微差法的情况。这就是所谓微差法的情况。现代测试技

34、术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 用微差法求测量相对误差的公式（用微差法求测量相对误差的公式（3-3-63-3-6）：）：sxxssVVVVVVVV式中：式中： VX 测量值；测量值； VS 标准量；标准量； V 被测量与标准量之微差，由毫伏表读出；被测量与标准量之微差，由毫伏表读出； VX / VX 测量相对误差；测量相对误差； VS / VS 标准量的相对误差；标准量的相对误差； V / V 指示仪表的相对误差；指示仪表的相对误差； V / VS 微差微差V与标准量与标准量VS的比值，也称为被测的比值，也称为被测量与标准差之微误差，或称为相对微差。量与标准差

35、之微误差，或称为相对微差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.3.2 3.3.2 系统误差的判别系统误差的判别1.1.恒系差的判别恒系差的判别（1 1）校准）校准 用仪器仪表本身的校准装置进行自校，发现并消除用仪器仪表本身的校准装置进行自校，发现并消除之，如磁电系仪表的之，如磁电系仪表的“机械调零机械调零” ” 等；用更高级别的仪表来等；用更高级别的仪表来校准所使用的仪表，给出的修正值，如仪表的出厂鉴定和使校准所使用的仪表，给出的修正值，如仪表的出厂鉴定和使用过程中的定期送计量部门鉴定。用过程中的定期送计量部门鉴定。（2 2）比对）比对 用多台同类仪

36、器测量同一量进行相互对比，从而发用多台同类仪器测量同一量进行相互对比，从而发现系差（研制仪器时常用）。现系差（研制仪器时常用）。（3 3）改变测量条件）改变测量条件 通过对不同条件下测量结果进行比较来发通过对不同条件下测量结果进行比较来发现系差并消除。如，对环境磁场的影响，可将仪表位置调转现系差并消除。如，对环境磁场的影响，可将仪表位置调转180180前后测两次来发现系差，并取平均值来消除系差。前后测两次来发现系差，并取平均值来消除系差。2.2.变系差的判别变系差的判别（1 1）残差观察法）残差观察法现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.3.2 3.3

37、.2 系统误差的判别系统误差的判别（续）（续）当系差明显大于随差时，有规律地变化某一测量条件进行当系差明显大于随差时，有规律地变化某一测量条件进行测量，求出残差，并按先后次序列表或作图，观察各残差大小测量，求出残差，并按先后次序列表或作图，观察各残差大小和符号的变化。再判断是累进性的还是周期性变系差。和符号的变化。再判断是累进性的还是周期性变系差。 ii0ii0（2 2）公式法）公式法 当随差明显大于变系差时，变系差不易发现，则用公式法判别当随差明显大于变系差时，变系差不易发现，则用公式法判别。 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.3.2 3.3.2

38、 系统误差的判别系统误差的判别 （续）（续）马利科夫判据：马利科夫判据：2/112ninniiiM2/)1(123ninniiiM若测量中有累进性系统误差，则若测量中有累进性系统误差，则M 值应明显异于零（与值应明显异于零（与残差比较，若小一个数量级及以上就认为残差比较，若小一个数量级及以上就认为M为零）。为零）。 当测量次数当测量次数n为奇数时，为奇数时，当测量次数当测量次数n为为偶数时，偶数时，现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 阿卑赫梅特判据：阿卑赫梅特判据： 检验周期性系差的存在。检验周期性系差的存在。注意：变系差使测量值偏离正态分布，因而有变注

39、意：变系差使测量值偏离正态分布，因而有变系差的测量数据原则上应舍弃不用，重新测量。系差的测量数据原则上应舍弃不用，重新测量。3.3.2 3.3.2 系统误差的判别系统误差的判别 （续）（续）n -12ii 1i 1n1 s 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.4 3.4 随机误差随机误差现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.4.1 3.4.1 随机变量的平均值和方差随机变量的平均值和方差 随机误差定义随机误差定义 在同一测量条件下（指在测量环境、测在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都

40、相同的条件量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。偶然误差，简称随差。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法 在测量中，在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是不可避免的。随机随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起误差是由大量微小的没有确定规律的因素引

41、起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。微振动等。 多次测量中，测量值和随机误差多次测量中，测量值和随机误差服从概率服从概率统计规律。统计规律。可用可用数理统计数理统计的方法，处理测量数的方法，处理测量数据，从而据，从而减少随机误差减少随机误差对测量结果的影响。对测量结果的影响。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V1.235

42、V，1.237V1.237V，1.234V1.234V，1.236V1.236V，1.235V1.235V，1.237V1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。计规律。可通过数理统计的方法来处理可通过数理统计的方法来处理, ,即求算术平均即求算术平均值值iixx1211nniixxxxxnn 随机误差也可表示成：测量结果与在重复性条件下，对同随机误差也可表示成：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 ()n 现代测试技术第现代测试技术第3

43、 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望: :反映其平均特性反映其平均特性。其定义如下：。其定义如下：X X为为离散离散型随机变量：型随机变量：X X为为连续连续型随机变量：型随机变量： 1iipixE(X)()( )EXxx dx现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 方差和标准偏差方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量散程度。设随机变量X X的数学期望为的数学期望为E(X)E(X)，则，则X X的的方差定义为：方差定义为：D

44、(X)= E(XD(X)= E(XE(X)E(X)2 2 标准偏差标准偏差定义为：定义为： 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。)( XD 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随表示为大量独立的

45、随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？差大多接近正态分布？现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性 概率密度概率密度 测量值测量值X X落在区间（落在区间（x x，x+xx+x）内的概率）内的概率为为P (x X x+x)P (x X x+x)。当。当xx趋近于零时，若趋近于零时，若P(x X x+x)P(x X x+x)

46、与与xx之比的极限存在，就之比的极限存在，就把它称为测量值把它称为测量值X X 在在 x x 点的概率密度，记为点的概率密度，记为( ) xxx)xXxPlimx0 x（）（现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 221()exp()22 221()( )exp22xx随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：测量数据测量数据X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，

47、只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差 随机误差具有：对称性随机误差具有：对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：中的随机误差一般具有以下几个特征： 绝对值相等的正绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性。误

48、差的单峰性。 在一定的测量条件下，随机误差的绝对在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。随着测量值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。差的抵偿性。 最后一个特征可由第一特征推导出来，因为绝对值相最后一个特征可由第一特征推导出来，因为绝对值相等的正误差和负误差之和可以互相抵消。对于有限次测量，等的正误差和负误差之和可以互相抵消。对于有限次测量，随机误差的算术平均值是一个有限小的量，面当测量次数随机误差的算术平均值是一个有限小的量，面当测量次数

49、无限增大时，它趋向于零。无限增大时，它趋向于零。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 而测量数据的数学期望而测量数据的数学期望E(X)E(X)方差方差D(X)D(X)2 221( )( )exp()022Edd 2222221( )(0)( )exp()22DEdd 随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 标准偏差意义标准偏差意义 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越散程度的特征数。标

50、准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。形状越平坦，说明数据越分散。 0)(p1 2 3 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 概率密度分布曲线为：概率密度分布曲线为：现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 误差之间出现于区间（误差之间出现于区间（1，2）内的概率为）内的概率为P(P(1 12 2)=)=d e212122-）（）（即等于上图中阴影部分的面积。即等于上图中阴影部分的面积。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差

51、分析和数据处理章误差分析和数据处理 概率密度曲线下的面积是概率值。由于随机变量的所有概率密度曲线下的面积是概率值。由于随机变量的所有量值出现的概率的总和必然等于量值出现的概率的总和必然等于1 1，所以分布曲线下的总面积，所以分布曲线下的总面积等于等于1 1。对随机误差，则有。对随机误差，则有( ) xp1d =p68.3%当，=3p399.73%当，=2p295.5%当，现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 测量结果的置信问题测量结果的置信问题 置信概率与置信区间：置信概率与置信区间： 有时我们需要计算误差在某范围内的概率。有时我们需要计算误差在某范围内的

52、概率。该范围称为置信区间。一般表示为该范围称为置信区间。一般表示为( )kE xp k（k k称置信系数，有点书中用称置信系数，有点书中用t t表示），表示），而对应的概率而对应的概率 称为置信概率。一般表示为称为置信概率。一般表示为现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 例如，已知被测量的数学期望例如，已知被测量的数学期望 M(X)M(X)，对，对nn的测量值的测量值X X，可估计测量值偏离其数，可估计测量值偏离其数学期望学期望 M(X)M(X)的上界限。即有：的上界限。即有： | X M(X)| | X M(X)| mm mm 称为不确定度或置信限。表示

53、误称为不确定度或置信限。表示误差的估计极限范围。一般取为差的估计极限范围。一般取为 ( (X X) )的若干倍。的若干倍。 即：即： mm = K = K ( (X X) )现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 于是，测量值偏离其数学期望于是，测量值偏离其数学期望 M M（X X ）上）上界限的估计值可写成：界限的估计值可写成： | X M(X)| | X M(X)| k k( (X X) ) k k 称为置信因子（或置信系数）称为置信因子（或置信系数） 对上面这种误差估计值的可信度：对上面这种误差估计值的可信度： P | X M(X)| P | X M(

54、X)| k k ( (X X) ) 称为称为 置信概率。置信概率的值在置信概率。置信概率的值在 0 01 1 之间。置信概率所对应的确定区间称为置信之间。置信概率所对应的确定区间称为置信区间。区间。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 即置信概率可写成即置信概率可写成置信系数k置信概率P10.68320.95530.997 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP区间越宽，区间越宽

55、，置信概率越大置信概率越大当当k=3时，时，现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 置信概率与置信区间有两种情况：置信概率与置信区间有两种情况： （1 1）已知数学期望）已知数学期望M(X)M(X)，求测量结果在数学，求测量结果在数学期望附近某一确定范围（即置信区间）期望附近某一确定范围（即置信区间） M(X)- k M(X)- k ( (X X) )，M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) )内的可信度（即置信概率）。内的可信度（即置信概率）。 这是因为置信问题可做如下转换这是因为置信问题可做如下转换现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据

56、处理章误差分析和数据处理 | XM(X)| | XM(X)| k k ( (X X) ) - k - k ( (X X) )XM(X)XM(X) k k ( (X X) ) M M（X X）- k- k ( (X X) )X X M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) ) 求上式的概率值就是所谓求上式的概率值就是所谓“置信概率置信概率”。而确定区间：而确定区间：M(X)- kM(X)- k ( (X X) ) ， M(X)+ kM(X)+ k ( (X X) )就是所谓就是所谓“置信区间置信区间”。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 （2 2）已知

57、测量的标准偏差）已知测量的标准偏差 ( (X X), ),由得到的测由得到的测量结果量结果x x ，估计被测量的数学期望，估计被测量的数学期望 M(X)M(X)落落在测量结果在测量结果 x x 附近某一确定范围（即置信附近某一确定范围（即置信区间）区间） x - k x - k ( (X X) )， x + kx + k ( (X X) )内的可信程度内的可信程度（即置信概率）。（即置信概率）。 这是因为置信问题又可做如下转换这是因为置信问题又可做如下转换 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 | x M(X)| | x M(X)| k k ( (X X)

58、 ) - k - k ( (X X) )x M(X )x M(X ) k k ( (X X) ) x - k x - k ( (X X) ) M(X)M(X) x + kx + k ( (X X) ) 上式的概率就是所谓第二种情况的上式的概率就是所谓第二种情况的“置信置信概率概率”。而下面的确定区间。而下面的确定区间 ： x - k x - k ( (X X) ) ，x + kx + k ( (X X) ) 就是第二种情况的就是第二种情况的“置信区间置信区间”。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 两种情况的置信概率都是由下式两种情况的置信概率都是由下式推

59、出：推出：| x M(X)| | x M(X)| k k ( (X X) ) 因此，这两种情况的置信概率是相等因此，这两种情况的置信概率是相等的。在实际计算时，我们不必去仔细区的。在实际计算时，我们不必去仔细区分这两种不同的情况。而只需根据给定分这两种不同的情况。而只需根据给定的置信区间求出置信概率；或者反过来的置信区间求出置信概率；或者反过来根据已知的置信概率求出相应的置信区根据已知的置信概率求出相应的置信区间。间。现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 注意：注意： （1 1）置信区间和置信概率总是联系在一）置信区间和置信概率总是联系在一起的。起的。 在

60、讨论置信问题时，只有明确一方，才能在讨论置信问题时，只有明确一方，才能讨论另一方。讨论另一方。 （2 2）测量次数）测量次数 nn。 现代测试技术第现代测试技术第3 3章误差分析和数据处理章误差分析和数据处理 3.4.3 3.4.3 有限次测量的数学期望和标准偏差的估有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值计值 求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需无穷多次无穷多次测测量，但在实际测量中只能进行量，但在实际测量中只能进行有限次有限次测量，怎么测量，怎么办？办？ 答案：答案：有限次测量的平均值（即算术平均值）有限次测量的平均值（即算术平均值）是测量的最佳估计值。规定使用算术平均值