巧用对称性求解二、三重-第一、二类曲、线面积分

1、华 北 水 利 水 电 学 院巧用对称性求解二、三重，第一、二类曲、线面积分 课 程 名 称： 高等数学（下） 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 2012年5月18日摘要：对称性普遍存在于自然界中，它不仅让大自然的万事万物充满了美感，而且给人类的科学研究提供了一个非常有效的工具。对于积分的计算，计算步骤繁琐，而且难于理解。但是如果合理并巧妙地利用对称性去计算积分。就能达到事半功倍的效果。而且，理解对称性在解题中的原理，能过加深学生对积分的理解，并提高对高数学习的兴趣。同时也能开发同学们的思维。关键词：积分，对称性，函数，奇偶性，积分区域。英文题目Abstract:Symme

2、try is ubiquitous in nature, it is not only the nature of all things full of beauty, but also to human scientific research to provide a very effective tool. Integrals, the calculation steps cumbersome and difficult to understand. But if a reasonable and clever use of symmetry to calculate the integr

3、al. Can achieve a multiplier effect. Moreover, understanding the principle of symmetry in the problem-solving, can deepen students understanding of the integral, and improve the high number of interest in learning. Also develop students thinking.Symmetry is ubiquitous in nature, it is not only the n

4、ature of all things full of beauty, but also to human scientific research to provide a very effective tool. Integrals, the calculation steps cumbersome and difficult to understand. But if a reasonable and clever use of symmetry to calculate the integral. Can achieve a multiplier effect. Moreover, un

5、derstanding the principle of symmetry in the problem-solving, can deepen students understanding of the integral, and improve the high number of interest in learning. Also develop students thinking.撤消修改Key words：Integral, symmetry, function, and parity, the integral region. 引言：积分包括二重积分、三重积分，第一、二类曲线积分

6、、第一、二类曲面积分。对称性包括关于点、线、面的对称性。其中较为常用的有关于原点、坐标轴、坐标面的对称，以及轮换对称性。但是无论哪一种积分或是对称，其原理是相通的。对于，如果在其积分区间里有一点，它的对称点是，如果或则可以将两个点合并在一起计算，可以达到简化计算的目的。所以研究这个问题的关键就是研究积分区域的对称性，函数的奇偶性。以下给出具体定义。1、 基本定义1、空间区域的对称性关于原点的对称如果对于任一点，都有，则称区域关于原点对称。关于坐标轴的对称如果对于任一点，都有，则称区域关于x轴对称。对于其他坐标轴有相似的定义方法。关于原点的对称如果对于任一点，都有，则称区域关于xoy面对称。对于

7、其他坐标面有相似的定义方法。轮换对称性如果对于任一点，都有，则称区域具有轮换对称性。2、空间函数的奇偶性对于一个坐标的奇偶性如果，则称是关于x的奇函数；如果，则称是关于x的偶函数。对于其他的坐标元素有类似的定义。对于两个坐标的奇偶性如果，则称是关于x，y面的奇函数；如果，则称是关于x，y面的偶函数。对于其他的坐标元素有类似的定义。对于三个坐标的奇偶性如果，则称是关于x,y,z奇函数；如果，则称是关于x,y,z的偶函数。对于其他的坐标元素有类似的定义。如果则称函数具有轮换对称性。2、 对称性在二重积分中的应用定理1：设有界闭区域D由D1和D2组成,与关于或轴对称.设函数在有界闭区域上连续，那么（

8、1）若是关于（或）的奇函数，则 （2）若是关于（或）的偶函数，则=2例1、 计算，其中为由与围成的区域。解：如图所示，积分区域关于轴对称，且即是关于的奇函数，由定理1有.例2、 计算二重积分，其中： .解：如图所示，关于轴和轴均对称，且被积分函数关于和是偶函数，即有，由定理2，得其中是的第一象限部分，由对称性知,，故.三、三重积分中对称性的应用定理二：设空间有界闭区域由和组成，与关于坐标面对称，函数在上连续，那么：（1）若是关于的奇函数，则=0（2）若是关于的偶函数，则：=例3、计算三重积分，其中是有平面与三个坐标面所围成的四面体解：积分区域关于面对称，被积函数是z的奇函数，所以=0例4、计算

9、三重积分，其中是由曲面及平面 和所围成的空间闭区域。解：积分区域关于z轴对称，被积函数是x，y的偶函数，将在第一象限中的部分记做，则：=2=2四、第一类曲线、曲面积分中对称性的应用定理三、设平面内光滑曲线L由L1和L2组成,与关于（或）轴对称，函数在上连续，那么：（1）若是关于(或)的奇函数，则（2）若是关于(或)的偶函数，则=2例5：计算，其中是曲线所围成的回路 解： 关于原点对称，且被积函数是关于x、y的奇函数。所以=0定理四、若积分曲面可以分成对称的两部分s1和s2，在对称点上被积函数的绝对值相等即光滑曲面关于(或,或)坐标面对称，则有（1）在对称点上取相反的符号即关于 (或,或)的奇函

10、数，则=0（2）在对称点上取相同的符号即为关于(或,或)的偶函数，则=2。例6：计算下列面积的曲面积分，其中为球面上的部分解： 利用对称性知 设= 则= = =五、第二类曲线、面积分定理五、设平面内光滑曲线L由L1和L2组成,且两条曲线方向相同，与关于轴对称，函数在上连续，那么：（1）若是关于的奇函数，则 （2）若是关于的偶函数，则= 如果两条曲线方向相反，也有相似的定理。例7：求曲线积分，其中是单位圆周，方向为逆时针方向解： 曲线积分可分为上,下两个对称的部分，在对称点与上，函数大小相同，但投影元素在上半圆为负，下半圆为正在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故类似可知因此定理六：若积分曲面可

11、以分成对称的两部分s1和s2，在对称点上|f|的值相等，则有（1），当在对称点上取相反的符号（2）=，当在对称点上的符号相同,例8：计算，其中是球面的外侧解： 球面关于,具有对称性，上下球面在xoy面上的投影反向。且函数xy是关于z的偶函数。所以=0六、轮换对称性定理七：若积分曲面关于,具有轮换对称性，则： =例9：计算，其中是球面的外侧解： 球面关于,具有对称性先计算为此应分别考虑前半球面（记为）及后半球面（记为）上的曲面部分的方程为，它在平面上的投影域为圆域，因此，若用表示前半球面的外侧则有： =对于在后半球面上的曲面积分，由于的方程为：而外侧即后外侧，故关于后半球面外侧（记为）的曲面积分

12、为：=因此 以下用我在日常学习中所遇到的关于积分对称性的一道题表明利用对称性的优越性。例、计算，其中是球面（a为正数）解：本题为第二类曲面积分的考察。如若按照一般方法，一投、二代、三替换。不仅需要将积分面分为两部分，还有复杂的运算，可能做了很多工作后，得出的答案还是错误的。但是如果运用积分的对称性，问题将会变得很简单！解：积分面是一个球面，具有非常好的对称性。而被积函数也是偶函数，所以。在本题的解题过程中先将变量都转换为x，之后再还原为x,y,z，再利用代换换为常量。所以简化了解题过程。七、结束语利用对称性计算积分，简单方便易行。但是运用时需要谨慎，防止出错，尤其是对第二类曲线、面积分运用对称性时，应该特别注意投影的方向。当判断能否能否利用对称性解决积分时，应主要判断积分区域是否具有对称性，以及被积函数的奇偶性。当被积函数不具有奇偶性，而是关于某个一般点或一般直线有某种对称关系时，也可以利用对称性解题。此时对称轴不再是坐标轴和坐标面，而是更为一般的直线或平面。此时也可以用对称性解题。与特殊对称轴的原理相同。由于应用对称性解决积分问题，大部分是应用对称区间上的值相反，