第四章 统计数据特征值的度量

1、 集中趋势的度量集中趋势的度量 平均数平均数 数值平均数数值平均数 位置平均数位置平均数 算术平均数算术平均数 调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 中位数中位数 众数众数 总体单位总数 总体标志总量 平均数 算术 总产量 总成本 平均成本 职工人数 工资总额 平均工资 直接承担者直接承担者 STATSTAT V A R 00001 174.0 173.0 172.0 171.0 170.0 169.0 168.0 167.0 166.0 165.0 164.0 163.0 162.0 161.0 160.0 159.0 158.0 157.0 156.0 155.0 154.0 153

2、.0 152.0 14 12 10 8 6 4 2 0 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 N = 83.00 算术平均数算术平均数 83名女生的身高名女生的身高 变量一般变量一般 水平、代水平、代 表性数值表性数值 分布的集分布的集 中趋势、中趋势、 中心数值中心数值 算术平均数算术平均数 算术平均数的计算算术平均数的计算 算术平均数算术平均数= 总体标志总量总体标志总量 总体单位总数总体单位总数 数据集数据集),( 121NNi xxxxx 数据个数数据个数 N x N x x 简单算术平均数简单算术平均数 适用于总体资料未经适用于总体资料未经 分组整理、尚为原始资料

3、分组整理、尚为原始资料 的情况的情况 N X N XXX X N i i N 121 i X N X 元558 5 2790 5 440750480600520 N X X m i i m i ii m mm f fX fff fXfXfX X 1 1 21 2211 X i X i fi m i 日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人） 10 11 12 13 14 70 100 380 150 100 合计合计800 Xf 件）(1375.12 800 9710 10070 100147010 1 1 m i i m i ii f fX X m i i m i ii f fX

4、X 1 1 成绩（分）成绩（分） 人数（人）人数（人） 甲班甲班乙班乙班丙班丙班 6039150 10013950 平均成绩（分）平均成绩（分）619980 fXfXf f f XfXfX ff 234567819 权数与加权权数与加权 5 9 987654321 x 625. 4 8 97654321 x 234567819 权数与加权权数与加权 234567819 权数与加权权数与加权 23456 78 1 9 权数与加权权数与加权 234567819 24. 4 21 191817263554432221 x 权数与加权权数与加权 234567819 24. 4 21 191817263

5、554432221 x 算术平均数的计算取决于变算术平均数的计算取决于变 量值和权数的共同作用：量值和权数的共同作用： 变量值决定平均数的范围；变量值决定平均数的范围； 权数则决定平均数的位置权数则决定平均数的位置 变量值与其算术平均数的离差之变量值与其算术平均数的离差之 和衡等于零，即：和衡等于零，即： 变量值与其算术平均数的离差平变量值与其算术平均数的离差平 方和为最小，即：方和为最小，即： 0)(xx min)( 2 xx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 5x -1-1 -2 1 3 0) 1(13) 2(01)(xx 16) 1(13)

6、2(01)( 2222222 xx 【例】【例】 4 8 1 6 1 4 1 2 1 2 1 4 1 6 1 8 1 8 1 6 1 4 1 2 1 4 适用于总体资料未经适用于总体资料未经 分组整理、尚为原始资料分组整理、尚为原始资料 的情况的情况 X m XXX m X m H 1111 21 i i X m H X 适用于总体资料经过分适用于总体资料经过分 组整理形成变量数列的情组整理形成变量数列的情 况况 i m i Xii m X m X m X m X m mmm X m m m H 1 2 2 1 1 21 X f Xf Xf X Xf m X m XXfm H 1 1 ,则设

7、f xf x x、f 为已知为已知 若只知若只知 x 和和xf ，而，而f 未未知，则不能使用知，则不能使用 加权算术平均方式，只能使用其变形即加权算术平均方式，只能使用其变形即 加权调和平均方式加权调和平均方式。 xf x xf x 1 苹果苹果 单价单价 购买量购买量 总金额总金额 品种品种 （元）（公斤）（元）（公斤） （元）（元） 红富士红富士 2 3 6 青香蕉青香蕉 1.8 5 9 xf xf 875. 1 53 58 . 132 x 875.1 8 .1 9 2 6 96 x X m 件1375.12 800 9710 14 1400 10 700 9710 1 m X m X

8、H i i i f m X mi X m ffXm i i iiii ,2, 1, m X m f Xf f m X 1 fm、fX、mX、 i i i f m X f m X 计划产值 实际产值 程度 计划完成 X f 12.105 24900 26175 4400800 440015. 180085. 0 f Xf X f m X 计划产值 实际产值 程度 计划完成 f m 12.105 24900 26175 f m X i i X NGX N N N GXXXXX 21 80. 085. 090. 092. 095. 0 100A 80. 085. 090. 092. 00.95100

9、A 总产品 总合格品 80. 085. 090. 092. 095. 0 100A 80. 085. 090. 092. 00.95100A 总产品 总合格品 24.885349. 0 80. 085. 090. 092. 095. 0 5 5 GX 4.88 500 442 100100 10080.010095.0 f Xf X f m X 产品 合格品 合格率 G X i X i fi mi m i i i m i i m f m i f i f f m ff GXXXXX 1 1 21 1 21 31V 3131V 151101815131 3224 V 第第2年的年的 计息基础计息基

10、础 第第12年的年的 计息基础计息基础 15. 010.05130 . 01 V 15. 010.05130 . 01V 24 24 本金 总的本利和 平均年利率 85. 6185.1061 85.1062154. 2 15. 0105. 0103. 01 12 12424 G G X X ：03. 0V ： 03. 0V 15. 0V f m X 本金 利息 利息率 假定本假定本 金为金为V 92. 6 12 83. 0 14 115. 0403. 0 V V VV VV f Xf X 是否为比率是否为比率 或速度或速度 各个比率或速各个比率或速 度的连乘积是否等于总比度的连乘积是否等于总比

11、 率或总速度率或总速度 是否为是否为 其他比值其他比值 ff G N G XX XX 几何平均法几何平均法 f Xf X N X X 算术平均法算术平均法 m X m f Xf f m X 1 求解比值的平均数的方法求解比值的平均数的方法 统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 e M 中位数把标志值数列分为两个部分中位数把标志值数列分为两个部分, ,一部分一部分 标志值小于或等于它标志值小于或等于它, ,另一部分标志值大于另一部分标志值大于 或等于它或等于它. . 3 2 15 2 1 N 元520 e M 5 . 3 2 16 2 1 N 元560 2 600520 e M 日产量

12、（件）日产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数 （人）（人） 10 11 12 13 14 70 100 380 150 100 70 170 550 700 800 合计合计800 X f 中位数的位次：中位数的位次： 5.400 2 1800 e M 月产量（件）月产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数 （人）（人） 200以下以下 200400 400600 600以上以上 3 7 32 8 3 10 42 50 合计合计50 X f d f S f LM m m e 1 2 件75.493400600 32 10 2 50 400 e

13、 M 共共 个单位个单位 2 f 共共 个单位个单位 2 f 共共 个单位个单位1m S共共 个单位个单位 1m S LU组距为组距为d 共共 个单位个单位m f 1 2 m S f d f S f LM m m e 1 2 d f S f m m 1 2 中位数一定存在；中位数一定存在； 中位数与算术平均数相近；中位数与算术平均数相近； 中位数不受极端值影响；中位数不受极端值影响； 变量值与中位数离差绝对值之和最小。变量值与中位数离差绝对值之和最小。 中位数的作用及用法中位数的作用及用法 中位数一定存在；中位数一定存在； 中位数与算术平均数相近；中位数与算术平均数相近； 中位数不受极端值影响

14、；中位数不受极端值影响； 变量值与中位数离差绝对值之和最小。变量值与中位数离差绝对值之和最小。 中位数的作用及用法中位数的作用及用法 变量值变量值34556910 中位数中位数 5 平均值平均值 6 与中位数离差与中位数离差 -2 -1 0 0 1 4 5 与平均数离差与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4 绝对绝对 数值数值 之和之和 13 14 统计学统计学第四章第四章 统计特征值统计特征值 0 M 众数（众数（mode）：出现次数最多）：出现次数最多 即出现频率最高的变量值。即出现频率最高的变量值。 身高身高 人数人数 （CM） （人）（人） 152 1 154 2 155 2

15、 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数 （CM） （人）（人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162

16、162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174 众数的确定方法众数的确定方法 某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料 身高身高 人数人数 （CM） （人）（人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身

17、高身高 人数人数 （CM） （人）（人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 总计总计 83 身高身高 人数人数 比重比重 （CM） （人）（人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上以上 11 13.25 总计总计 83 100 某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料 众数的确定方法众数的确定方法 2 UL Mo 概约众数：众数所概约众数：众数所 在组的组中值，在在组的组中值，在 本例为本例

18、为162.5cm dLM o 21 1 48.1635 1023 23 160 o M 0 M 月产量（件）月产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数 （人）（人） 200以下以下 200400 400600 600以上以上 3 7 32 8 3 10 42 50 合计合计50 X f 件500 2 UL M o dLM o 21 1 件502200 2425 25 400 o M 概约众数概约众数：众数所在组的：众数所在组的 组中值，在本例为组中值，在本例为500件件 VAR 00001 174.0 173.0 172.0 171.0 170.0 169.0 168.

19、0 167.0 166.0 165.0 164.0 163.0 162.0 161.0 160.0 159.0 158.0 157.0 156.0 155.0 154.0 153.0 152.0 14 12 10 8 6 4 2 0 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 N = 83.00 83名女生身高原始数据名女生身高原始数据 VAR00001 173.0170.0167.0164.0161.0158.0155.0152.0 30 20 10 0 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 N = 83.00 83名女生身高组距数列名女生身高组距数列 o

20、M q当数据分布存在明显的集中趋势，当数据分布存在明显的集中趋势， 且有显著的极端值时，适合使用众且有显著的极端值时，适合使用众 数；数； q当数据分布的集中趋势不明显或当数据分布的集中趋势不明显或 存在两个以上分布中心时，不适合存在两个以上分布中心时，不适合 使用众数（使用众数（前者无众数，后者为双前者无众数，后者为双 众数或多众数，也等于没有众数众数或多众数，也等于没有众数） 出生 1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0 160 140 120 100 80 60 40 20 0 没有突出地集没有突出地集 中在某个年份中在某个年份 （无众数）（

21、无众数） 192.5 190.5 188.5 186.5 184.5 182.5 180.5 178.5 176.5 174.5 172.5 170.5 168.5 166.5 164.5 162.5 160.5 158.5 156.5 154.5 152.5 150.5 148.5 60 50 40 30 20 10 0 （双众数）（双众数） 当数据分布呈现出双众数或多众数时，当数据分布呈现出双众数或多众数时， 可以断定这些数据来源于不同的总体。可以断定这些数据来源于不同的总体。 出现了两个明出现了两个明 显的分布中心显的分布中心 集中趋势弱、集中趋势弱、 离散趋势强离散趋势强 集中趋势强、

22、集中趋势强、 离散趋势弱离散趋势弱 cmx164 cmx164 离散程度的度量离散程度的度量 统计上用来反映总体各单位标志统计上用来反映总体各单位标志 值之间差异程度大小的综合指标，值之间差异程度大小的综合指标， 也称做也称做标志变动度标志变动度。 平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数 量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。 但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统 计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总

23、体的特计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特 征，还必须测定总体各单位之间征，还必须测定总体各单位之间差异程度差异程度。 作用作用 1、衡量平均指标、衡量平均指标代表性代表性的大小的大小 2、反映社会经济活动过程的、反映社会经济活动过程的均衡性均衡性和和稳定性稳定性 测定标志变异度的绝对量指标测定标志变异度的绝对量指标 （与原变量值名数相同与原变量值名数相同） 测定标志变异度的相对量指标测定标志变异度的相对量指标 （表现为无名数表现为无名数） minmax XXR 指所研究的数据中，最大值与指所研究的数据中，最大值与 最小值之差，又称最小值之差，又称极差极差。 元310440750

24、 minmax XXR X f 解： 4080120 109010110 minmax XXR N XX N XXXX DA N i i N 1 1 是各个数据与其算术平均数的离差是各个数据与其算术平均数的离差 绝对值的算术平均数，用绝对值的算术平均数，用A.D 表示表示 总体算术总体算术 平均数平均数 总体单总体单 位总数位总数 第第 个单位个单位 的变量值的变量值 i 元6.93 5 468 5 558750558440 1 N XX DA N i i 元558 5 2790 5 750600520480440 X m i i m i ii m mm f fXX ff fXXfXX DA

25、1 1 1 11 总体算术总体算术 平均数平均数 第第 组变量值组变量值 出现的次数出现的次数 i第第 组的变量组的变量 值或组中值值或组中值 i 月工资（元）月工资（元）组中值（元）组中值（元）职工人数（人）职工人数（人） 300以下以下 300400 400500 500600 600700 700800 800900 900以上以上 250 350 450 550 650 750 850 950 208 314 382 456 305 237 78 20 合计合计2000 Xf 元95.522 2000 1045900 2000 20950208250 X 元95.138 2000 6.

26、277893 2000 2095.52295020895.522250 1 f fXX DA m i i N XX N i i 2 1 简单标准差简单标准差 是各个数据与其算术平均数的是各个数据与其算术平均数的 离差平方的算术平均数的开平离差平方的算术平均数的开平 方根，用方根，用 来表示；标准差的来表示；标准差的 平方又叫作方差，用平方又叫作方差，用 来表示。来表示。 2 总体单总体单 位总数位总数 第第 个单位个单位 的变量值的变量值 i总体算术总体算术 平均数平均数 元558 5 2790 5 750600520480440 X 元62.109 5 60080 5 55875055844

27、0 22 2 1 N XX N i i m i i i m i i f fXX 1 2 1 总体算术总体算术 平均数平均数 第第 组变量值组变量值 出现的次数出现的次数 i第第 组的变量组的变量 值或组中值值或组中值 i 月工资（元）月工资（元） 组中值（元）组中值（元）职工人数（人）职工人数（人） 300以下以下 300400 400500 500600 600700 700800 800900 900以上以上 250 350 450 550 650 750 850 950 208 314 382 456 305 237 78 20 合计合计2000 X f 元95.522 2000 104

28、5900 2000 20950208250 X 元9 .167 2000 01.56386595 2000 2095.52295020895.522250 22 33 222 cbacba 2 2 XX 2 2 N X N X 2 2 f Xf f fX 变量值平方变量值平方 的平均数的平均数 变量值平均变量值平均 数的平方数的平方 kg500 大象 kg5 . 0 免子 kgx3500 大象kgx5 . 2 免子 可比可比 身高的差异水平：身高的差异水平：cmcm 体重的差异水平：体重的差异水平：kgkg 用用变异系数变异系数可以相互比较可以相互比较 身高 身高 x 体重 体重 x 可可 比

29、比 100 X DA V DA 100 X V 各种变异指标与其算术平均各种变异指标与其算术平均 数之比。一般用数之比。一般用V表示。表示。 02.19100 82 6 .15 100 1 1 1 X V 47.19100 76 8 .14 100 2 2 2 X V 21 VV 0 N 1 N N 性别：性别：男、女（非男）男、女（非男）产品质量产品质量：合格、不合格：合格、不合格 1 01 0 N N P 1 N N Q 0 1 01 01 N N N NN N N N N QP且有 P N N N NN f Xf X P 101 01 PQPQPQQPPQ NN NPNP f fXX p 22 01 0 2 1 22 01 )( 25. 05 . 0 2 max 时，有当QP PPPQ1 2 P Q P P P PP X V P P 11 218. 0)95. 01 (95. 0 95. 0 5 400 20 95 400 380 20380400 01 01 PQ PX N N Q N N P NNN p P 所以有： ，则 件，件，件，己知 非对称的，非对称的， 偏斜的分偏斜的分 布布 对