2021-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何章末评估验收新人教A版选修2-1

1、【金版学案】2021-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末评估验收新人教A版选修2-1(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题 共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的 )1. a, b, c是不共面的三个向量，那么能构成一个基底的一组向量是()A. 2a, a b, a+ 2bB. 2b, b a, b+ 2aC. a, 2b, b cD. c, a+ c, a c答案：C2. 空间直角坐标中 A(1 , 2, 3) , B( 1, 0, 5) , C(3 , 0 , 4) , D(4 , 1 , 3)，那么直线 A

2、B 与CD的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定解析：因为 AB= ( 2, 2 , 2) , CD- (1 , 1 , 1),fff f又因为 AB= 2CD 所以 AB/ CD 即 AB/ CD答案：A3. a= (2x , 1, 3), b= (1 , 2y , 9),如果a与b为共线向量，贝U ()A. x =1,y= 1B.11x= 2 , y=2C. x =13D.13=6 ,y=2x=- 6 ,y = 2答案：C4. a= 3i + 2j k , b= i j + 2k ,贝U 5a与3b的数量积等于()A. 15B. 5C. 3D. 1解析：a= (3 ,

3、 2, 1) , b= (1 , 1, 2),所以 5a15a b= 15.答案：A5. a b= 0 , | a| = 2 , | b| = 3,且(3 a+ 2b) (入 a b) = 0,贝U 入等于()B.3A.2C.D. 1答案：A6. (2021 广东卷)向量a= (1 ,0, -1)，那么以下向量中与 a成60夹角的是()A ( 1, 1, 0)B. (1 , - 1 , 0)C. (0， 1, 1)D. ( 1, 0, 1)解析：a b利用向量数量积公式的变形公式cosa, b-求向量的夹角，各项逐一丨 a| b|验证选项a b1 x 11B 中 cosa, b- | a| b

4、| -2X 2- 2，所以a, b- 60 .答案：B7.正方体 ABCDABGD的棱长为a, AM= 3aG, N为BB的中点，MN为答案：A&如图，在正方体ABCDA1BCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB的中点,F为AD的中点，那么以下向量中，能作为平面AEF的法向量的是A. (1 , 2, 4)B. ( 4, 1 , 2)C. (2 , 2, 1)D. (1 , 2, 2)答案：B9.在正三棱柱 ABCABC中，D是AC的中点，AB丄BC,那么平面 DBC与平面CBC所成的角为B. 45A. 30C. 60D. 90答案：B10.正四棱柱 ABCDABCD中，AA= 2AB贝

5、卩CD与平面BDC所成角的正弦值等于2A.3D.C解析：以D为原点建立如下图的空间直角坐标系设AA= 2AB= 2,贝U D(0 , 0, 0),C(0, 1, 2) , B(1 , 1, 0) , C(0 , 1 , 0),ff从而 DB= (1 , 1 , 0), DC= (0 , 1, 2) , DC= (0 , 1, 0).设平面BDC的法向量n= (x , y , z),Tn DB=0 ,x+ y = 0 ,即ty + 2z= 0.n DC= 0,令 z = 1,得 n= ( 2 , 2, 1).T因为cos DCnDC- n 2f = 3 ,I DC n|2所以CD与平面BDC所成

6、角的正弦值为3.答案：A11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D中，下面结论错误的选项是 C. AC丄平面CBD答案：DD.向量ADf CB的夹角为60ff12. OA= (1 , 2, 3) , OB= (2 , 1, 2) , 01 (1 , 1, 2)，点 Q在直线 OP上运动,那么当QA Q諏得最小值时，点 Q的坐标为()13 32，2，41312，4，3C.43,D 一 3 3答案：C、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上 )13. a= (2 , - 1, 0), b= (k, 0, 1)，假设a, b= 120,贝U k =解析:2k5511a b2

7、k1因为 cosa, b=|a| b| = 5 x k2 + 厂-2 0,25所以kv 0,且kJ.所以答案：-I1114. a= (x, 2,- 4), b= ( 1, y, 3) , c= (1 , - 2, z)，且 a, b, c 两两垂直,那么(x, y, z) =.答案：(64,- 26,- 17)15. 设a, b是直线，a ,卩是平面，a丄a, b丄卩，向量a1在a上，向量 6在b 上,a1 = (1 , 1, 1) , b1= ( 3, 4, 0)，U a ,卩所成二面角中较小的一个的余弦值为I ai bi|解析： 由题意，cos 0 = |cos a , b| =丨 ail

8、l bil(1, 1, 1)X( 3, 4, 0)工 护 X5 15.答案：需16. 四面体顶点 A(2 , 3, 1)、B(4 , 1, 2)、C(6 , 3, 7)和 D 5, 4, 8)，那么 顶点D到平面ABC的距离为.答案：11三、解答题(本大题共6小题，共70分解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题总分值10分)四边形 ABCD勺顶点分别是A(3 , 1 , 2) , B(1 , 2, 1),q 1 , 1, 3) , Q3, 5 , 3).求证：四边形 ABCDI个梯形.证明：因为 AB= (1 , 2, 1) (3 , 1, 2) = ( 2 , 3,

9、3) , CD (3 , 5 , 3) ( 1 ,1, 3) = (4, 6 , 6),23 3f f因为n= ,所以AB和C洪线，即AB/ CD4 66ff又因为 AD= (3 , 5 , 3) (3, 1, 2) = (0 , 4 , 1) , BC= ( 1 , 1, 3) (1 , 2 ,1) = ( 2, 1, 2),因为f f所以ADf B不平行,所以四边形ABCD梯形.18. (本小题总分值12分)空间三点 A 2 , 0 , 2) , B( 1, 1 , 2) , q 3 , 0 , 4),ff设 a= AB, b= AC(1) 求a和b的夹角0的余弦值；(2) 假设向量ka

10、+ b与ka 2b互相垂直，求 k的值.f解：a= AB= ( 1 , 1, 2) ( 2 , 0 , 2) = (1 , 1, 0),fb= AC= ( 3 , 0 , 4) ( 2 , 0 , 2) = ( 1, 0 , 2).(1)cosa- b 1 + 0 + 0,，100=|a| b|=2X 5 = 10 ,所以a与b的夹角0的余弦值为一訂罟.(2) ka+ b= (k, k, 0) + ( 1, 0, 2) = ( k 1, k, 2), ka 2b= (k, k, 0) ( 2, 0,4) = (k + 2, k, 4),所以(k 1, k, 2) ( k+ 2, k, 4) =

11、 (k 1)( k + 2) + k2 8 = 0.25即 2k2+ k 10 = 0,所以 k= 2或 k= 2.19.(本小题总分值 12分)如图，在直三棱柱 ABGABC中，AC= 3, BG= 4, AB= 5, AA=4.(1)证明：ACL BC; 求二面角C-ABC的余弦值大小.解：直三棱柱 ABCABC中，AC= 3 , BC= 4 , AB= 5,故AC BC CC两两垂直，建立空间直角坐标系(如图),那么 C(0 , 0, 0) , A(3 , 0, 0) , C(0, 0,4) , B(0 , 4, 0) , B(0 , 4,4).(1)证明：AC ( 3, 0, 0) ,

12、 BG= (0，- 4, 4),所以 AG- BG = 0.故 AC丄 BG.(2)解：平面ABC的一个法向量为 m(0 , 0, 1)，设平面GAB的一个法向量为 n= (x,y, z),ffAG= ( 3, 0, 4) , AB= ( 3, 4, 0),fn - AG= 0, 3x + 4z = 0,由得f 3x + 4y = 0,n - AB= 0.令 x = 4,贝U y = 3, z = 3, n= (4 , 3 , 3),故 cos mn343 3434即二面角G-ABC的余弦值为3 3434 20.(本小题总分值1 2分)正方体ABGDA1B1GD的棱长为4, M N E、F分别

13、为AD、AB、GD、B1G的中点，求平面 AMN与平面EFBD间的距离.解：如下图，建立空间直角坐标系D-xyz，那么A(4 , 0, 0) , M2 , 0, 4), Q0 , 0, 0),耳4 , 4, 0) , E(0, 2 , 4) , F(2 , 4 , 4) , N(4 , 2 , 4),ffff从而 EF= (2 , 2, 0), MN= (2 , 2, 0) , AM= ( -2, 0, 4) , BF= ( -2, 0 , 4),f f f f所以 EF= MN AM= BF,所以 EF/ MN AIW EF, EFn BF= F , MNP AM= M所以平面 AM/平面E

14、FBD设n = (x , y , z)是平面AMIN勺法向量，从而fn MN= 2x + 2y= 0 ,fn AMh- 2x+ 4z= 0 ,解得x= 2z , y=- 2z.f取 z = 1,得 n = (2 , 2 , 1),由于 AB= (0 , 4 , 0),所以AB n上的投影为00 3n AB - 81 n|寸4 + 4+1所以两平行平面间的距离I n|83.21.本小题总分值 12分如图，在 Rt ABC中，AB= BC= 4,点E在线段 AB上.过点 E作EF/ BC交AC于点F,将厶AEF沿 EF折起到 PEF的位置点A与P重合，使得/ PEB=求证：EF丄PB(2)试问：当

15、点E在线段AB上移动时，二面角 RFGB的平面角的余弦值是否为定值？假设是，求出其定值；假设不是，说明理由(1) 证明：在Rt ABG中，因为EF/ BG,所以EF丄AB所以EF丄EB EF丄EP,又因为EBP EP= E, EB EF?平面PEB所以EF丄平面PEB又因为PB?平面PEB所以EF PB(2) 解：在平面PEB内 ,过点 P作PD丄BE于点D,由 知EF丄平面PEB所以EF丄PD,又因为BEP EF= E, BE EF?平面BGFE所以PDL平面BGFE在平面PEB内过点B作直线BH/ PD贝U BHL平面BGFEff如下图,以B为坐标原点，BG BE BH勺方向分别为x轴，y

16、轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设 PE= x(0 v xv 4),又因为AB= BC= 4,所以 BE= 4 x, EF= x.在 Rt PED中，/ PED= 60,/3113所以 PD= 2 x, DE= ?x,所以 B* 4 x = 4 %，所以 Q4 , 0, 0) , F(x, 4 x, 0) , P0, 4 3x23x .从而 CF= (x 4, 4 x, 0) , CP=34 2x ,设ni= (xo , yo , zo)是平面PCF的一个法向量,所以fni CF= 0 ,即fni CP= 0 ,xo (x 4)+ yo (4 x) = 0 ,4xo + 4 |x yo23x

17、zo= 0 ,所以xo yo= 0 ,3yo zo= 0 ,取 yo= i,得 ni= (i ,i ,3)是平面PFC的一个法向量.ni n21 = |ni| n2|因此当点E在线段AB上移动时，二面角RFGB的平面角的余弦值为定值,且定值为i55又平面BFC的一个法向量为n2= (0 , 0 , i),设二面角P-FGB的平面角为 a , 贝y COS a = |COS22.(本小题总分值i2分)如图，四边形ABCDI边长为3的正方形，DEL平面ABCDAF/ DEDE= 3AF, BE与平面ABCQ所成的角为60(1)求证：ACL平面BDE 求二面角F-BED的余弦值；设点M是线段BD上一

18、个动点，试确定点M的位置，使得AM/平面BEF并证明你的结论.证明：因为DE!平面 ABCD所以DEI AC因为四边形ABCDI正方形，所以AC丄BD又DE? BD= D,所以ACL平面BDE解：因为DEL平面ABCD所以/ EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即/ EBD= 60,由 AD= 3，得 DE= 3 6 , AF= 6.如图，分别以 DA DC DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么 A(3 ,0, 0) , F(3 , 0,6),日0 , 0, 3 6) , B(3 , 3, 0) , Q0 , 3, 0)，所以 BF= (0，- 3,6),EF= (3 , 0,- 2 6).设平面BEF的一个法向量为 n= (x, y, z),BF= 0,即EF= 0,所以 cos