高等数学(2017高教五版)课件微分中值定理及其应用泰勒公式(工科类)

1、一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一. 3 泰勒公式数学分析 第六章微分中值定理及其应用二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容)(xf设设 在0 xx 处可导, 0000( )()()()().f xf xfxxxo xx当|0 xx 充分小时, )(xf可以由一次多项式)()(000 xxxfxf 其误差为0().o xx 带有佩亚诺型余项的泰勒公式)(0 xxo 是不够的, 而要考虑用较高次误差仅为的多项式来逼近 f , 使得误差更小,0( () ).

2、noxx如如由有限增量公式近似地代替,但在许多情况下,后退 前进 目录 退出3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式问题: 是否存在一个 n次多项式),(xPn使得?)()()(nonxxoxPxf 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多设0100( )()() ,nnnP xaaxxaxx则有什么关系？ 现在来分析这样的多项式与 f (x)项式是存在的.带有佩亚诺型余项的泰勒公式,!)(0)(nnnanxP ,)(00axPn ,)(10axPn ,! 2)(20axPn ,即( )0().!nnnPxan 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶

3、设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 导数所确定的.),(00 xPan ,! 1)(01xPan ,! 2)(02xPan ,带有佩亚诺型余项的泰勒公式即00( )( )lim0,()nnxxf xP xxx),)()()(0nnxxoxPxf 如果则不难得到:, 2, 1, 0),()(0)(0)(nkxPxfknk )1(000()( )()()1!nfxT xf xxx0.k其其中中表表示示不不求求导导)2( )00()() .!nnfxxxn带有佩亚诺型余项的泰勒公式 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 为泰勒系数. ( )0()(0 ,1, )!kfxknk这

4、这时时称称称)(xTn确实是我们所需要的多项式. 定理6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则, )()()(0nnxxoxTxf 即 200000)(! 2)()(! 1)()()(xxxfxxxfxfxf).)()(!)(000)(nnnxxoxxnxf )3(带有佩亚诺型余项的泰勒公式故只需证00( )( )lim0 .( )()nnnxxnRxRxQxxx 证 设,)()(, )()()(0nnnnxxxQxTxfxR 因为, 0)()()(0)(00 xRxRxRnnnn(1)( )0000()()()0,()!nnnnnnQxQxQxQxn 则当，时时且且00)

5、(xxxUx 连续使用 n 1 次洛必达法则, 得到带有佩亚诺型余项的泰勒公式( )( )( )nnR xf xT x ( )( )( )( )( )( )kkknnRxfxTx所以100)()(lim)()(lim00 nnxxnnxxxxnxRxxxR)( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx 0(1)(1)( )0000( )()()()1lim!nnnxxfxfxfxxxnxx )(xf)3(式称为在点0 x处的带有佩亚诺型余项的 n阶泰勒公式. 注10)(xxf在点在点即使即使附近满足)4()()()(0nnxxoxPxf 带有佩亚诺型余项的泰勒公式0. 也不能说明)(xPn一

6、定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. 0(1)(1)( )000( )()1lim()!nnnxxfxfxfxnxx , 0)(,)()(1 xPxxDxfnn00 x在在处满足 (4).)(xPn不是f (x) 在点的 n 阶泰勒多项式, 00 x在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存比如所以无法构造 n 阶多项式.但是当 n 1 时,原因是 f (x)在,带有佩亚诺型余项的泰勒公式).)()()(0nnxxoxTxf注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足:则只有惟一的多注3 可以证明对任意一个n 次多项式, )(xPn)

7、,(0 xU使得).(, | )()(| )()(|0 xUxxPxfxTxfnn 这也就是说,)(xTn是逼近)(xf的最佳 n 次多项式.存在带有佩亚诺型余项的泰勒公式在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式( )(0)(0)( )(0)()1!nnnfff xfxxo xn ).(!)0(0)(nnkkkxoxkf 变为此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ) 泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ) 带有佩亚诺型余项的泰勒公式例1 验证下列公式2e1();1!2!1.!

8、nxnxxxo xn32112sin( 1)();3!(21.)2!mmmxxxxo xm 2221cos1( 1)();2!(2)!3.mmmxxxo xm 231ln(1)( 1)();234.nnnxxxxxo xn 带有佩亚诺型余项的泰勒公式211(6.)1nnxxxo xx以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公2(1)(1)152!.xxx );(!)1()1(nnxoxnn 式), 请务必牢记.带有佩亚诺型余项的泰勒公式下面验证 1 和 6, 其余请读者自己验证.于是e 的的xn 阶麦克劳林公式为).(! 2! 11e2nnxxonxxx 验证 1 因为,e)()(xkxf

9、所以. 1)0()0()0()( nfff带有佩亚诺型余项的泰勒公式2e1();1!2!1.!nxnxxxo xn211(6.)1nnxxxo xx,)1(! 1)(2xxg ,)1(! 2)(3xxg 故101xnx 于于是是在在的的阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式为为,)1(!)(1)( nnxnxg).(1112nnxoxxxx 验证 6 设,11)(xxg 则, 1)0( g, ! 1)0( g, ! 2)0( g !.)0(,ngn 带有佩亚诺型余项的泰勒公式例2 求22( )exf x的麦克劳林公式, 并求)0()98(f解 由例12e1(),1!2!nxnxxxo xn那么22242

10、22e1( 1)().222!2!xnnnnxxxo xn . )0()99(f与与带有佩亚诺型余项的泰勒公式,!492)1(!9814949)98( f由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是22ex 的麦克劳林公式,0)0(!991)99( f于是得到. 0)0(,!492!98)0()99(49)98( ff由泰勒系数公式可知9899xx和和的的系系数数为为x1例3 求在点1 x的泰勒公式.解)1(111 xx21(1)(1)xx( 1) (1)(1) ).nnnxo x )1(11 x带有佩亚诺型余项的泰勒公式下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.211().1nnxxxo xx

11、利利用用例4 求22330ln(1)esin1lim.xxxxx 解 因为),(2)1ln(4422xoxxx 4224e1(),2!xxxo x 333sin(),xxo x带有佩亚诺型余项的泰勒公式所以22330ln(1)esin1limxxxxx 3330()lim1.xxo xx 本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单 .22333011()=limxxxxo xx 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是0() ).no xx 下面是一个定量形式的泰勒公式.我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为有限增量公式的一个推广, 泰勒公式带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的泰勒公式它

12、只是定性地的告诉定理6.10（泰勒定理）若函数,)(baxf在在上存在直在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 200000()()( )()()()1!2!fxfxf xf xxxxx ( )(1)100()( )(),(5)!(1)!nnnfxfxxnn 或者(1)10( )( )( )().(1)!nnnff xT xxxn 其中nxxfxTn的的在在点点是是0)()(阶泰勒多项式.到n 阶连续导函数,0, , ,x xa b则则对对( , ),a b 存存在在使使带有拉格朗日型余项的泰勒公式证 设 2( )( )( )( ) ( )()()1!2!f tftF tf xf txtxt ;

13、 )(!)()(nntxntf ,)()(1ntxtG),(0 xx上可导, 且0( )(1)()0, ).nG tnxttxx 不妨设,0 xx 上连续, 0( ),( ), F tG txx则则在在在带有拉格朗日型余项的泰勒公式(1)00( )()() .(1)!nfF xG xn 只要证明(1)( )( )() ,!nnftF txtn ( )( )0F xG x由柯西中值定理(1)0,( ),()( , ),(1)!nfx xa bn 带有拉格朗日型余项的泰勒公式于是得到(1)10( )( )( )().(1)!nnnff xTxxxn 我们称(1)10( )( )( )( )()(1

14、)!nnnnfRxf xTxxxn 0000()()( )( ).()()( )( )F xF xF xFG xG xG xG 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项.称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶注 请比较公式 (5) 与拉格朗日中值定理. 泰勒公式.带有拉格朗日型余项的泰勒公式故存在正数(01) , 使得, )(00 xxx 所以)(xRn又可写成.)()!1()()(1000)1( nnnxxnxxxfxR 因0 xx 介介于于与与之间,200000()()( )()()()1!2!fxfxf xf xxxxx ( )(1)100()( )()

15、,(5)!(1)!nnnfxfxxnn 当00 x时, 公式 (5) 成为2(0)(0)( )(0)1!2!fff xfxx ( )(1)1(0)().(6)!(1)!nnnnffxxxnn 带有拉格朗日型余项的泰勒公式公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.样.为泰勒多项式,公式 (3) 与公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部分均余项. 而不同的是 Rn(x) 的表达形式不一读者在应用时,需根据不同情况选择合适形式的例1 中六个公式的余项均为佩亚诺型的, 现在将它们改写为带有拉格朗日型余项的公式: 带有拉格朗日型余项的泰勒公式21ee1,2!(1)(!i)nxxnxxxxnn

16、 ( 01,(,) ).x 3211sin( 1)3!(1 !i )2( i)mmxxx xm 21cos( 1),( 01,(,) ).(21)!mmxxxm 242cos1( 1)2!4!(2)!(iii)mmxxxxm ,)!22(cos)1(221 mmxmx ( 01,(,) ).x 231ln(1)( 1)3(iv)2nnxxxxxn 11( 1),(1)(1)nnnxnx ( 01,1).x 2(1)(1)(12!v)xxx nxnn!)1()1( ( 01,1).x 11(1)()(1),(1)!nnnxxn 带有拉格朗日型余项的泰勒公式12211,1(1)(vi)nnnxxx

17、xxx ( 01,1).x 这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自证. 于是(0)1,(0)0,(0)1,(0)0,ffff ( )cos,f xx设设则则0,1, 2,.k ( )( )cos(),2kfxxk带有拉格朗日型余项的泰勒公式,)1()0()2(mmf (22)1()cos(1) )( 1)cos.mmfxxmx , 0)0()12( mf从而有)!2()1(! 4! 21cos242mxxxxmm 122( 1)cos.(21)!mmx xm 带有拉格朗日型余项的泰勒公式例5 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过.106 (2) 证明 e 是无理数.解 由

18、例5 可知11ee11,01.2!(1)!nn 所所以以误误差差因因为为,3e2,10 6933(1)10 .10!3628800R 泰勒公式在近似计算中的应用 在近似计算中的应用于是11e22.718281,2!9! 其误差不超过.610 11e!e!(11).(7)2!1nnnn e( , )1.pp qq 倘倘若若是是有有理理数数下证 e 是无理数. 这是因为 在近似计算中的应用矛盾. ( 同样可证明都不是有理数.)sin1,cos1,则 (7) 式左边是整数，当n2时(7)式右边不是整数. 3,nqn 取取且且ee3,111nnn 由于所以 e 是一个无理数.例 6 计算 ln2 的值, 使其误差不超过10 -4.