三角函数的y=Asin(wx+g)的图像与性质

1、1函数函数y=Asin(x+)的图象及其简单应用的图象及其简单应用21.会用会用“五点法五点法”画函数画函数y=Asin(x+)的图象，理解的图象，理解A、的物理意义的物理意义.2.掌握函数掌握函数y=Asin(x+)与与y=sinx图象间图象间的变换关系的变换关系.3.会由函数会由函数y=Asin(x+)的图象或图象的图象或图象特征求函数的解析式特征求函数的解析式.3 1.1.用五点法画用五点法画y y= =A Asin(sin(x x+ +) )一个周期内的简一个周期内的简 图时，要找五个特征点图时，要找五个特征点. .如下表所示如下表所示. . 0 -A 0 A 0 x02232x0 0

2、2232)sin(xAy42.2.函数函数y y=sin =sin x x的图象经变换得到的图象经变换得到y y= =A Asin(sin(x x+ +) ) 的图象的步骤如下的图象的步骤如下: :个单位长度平移右向左|)(倍的各点的横坐标变为原来1各点的纵坐标变为原来的各点的纵坐标变为原来的A A倍倍5倍的各点的横坐标变为原来1个单位长度平移右向左)(各点的纵坐标变为原来的各点的纵坐标变为原来的A A倍倍6 以上两种方法的区别以上两种方法的区别: :方法一先平移再伸缩方法一先平移再伸缩; ;方方 法二先伸缩再平移法二先伸缩再平移. .特别注意方法二中的特别注意方法二中的平移量平移量. .3.

3、3.当函数当函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)()(A A0,0,0,0,x x(0,+)(0,+) 表示一个振动时，表示一个振动时，A A叫做叫做 ， 叫做叫做 ， 叫做叫做 ，x x+ +叫做叫做 ， 叫做叫做 . .振幅振幅2T周期周期Tf1相位相位初相初相频率频率74.4.三角函数模型的应用三角函数模型的应用 (1)(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. . (2) (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型数模型. . (3) (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点利

4、用收集到的数据作出散点图，并根据散点 图进行函数拟合，从而得到函数模型图进行函数拟合，从而得到函数模型. .8题型一题型一 作作y y= =A Asin(sin(x x+ +) )的图象的图象 已知函数已知函数 (1)(1)求它的振幅、周期、初相；求它的振幅、周期、初相； (2)(2)用用“五点法五点法”作出它在一个周期内的图象；作出它在一个周期内的图象； (3)(3)说明说明 的图象可由的图象可由y y=sin =sin x x的的 图象经过怎样的变换而得到图象经过怎样的变换而得到. . (1)(1)由振幅、周期、初相的定义即可由振幅、周期、初相的定义即可 解决解决. . (2) (2)五点

5、法作图，关键是找出与五点法作图，关键是找出与x x相对应的五个点相对应的五个点. . (3) (3)只要看清由谁变换得到谁即可只要看清由谁变换得到谁即可. .),32sin(2xy)32sin(2xy题型分类题型分类 深度剖析深度剖析9解解 （1 1） 的振幅的振幅A A=2,=2,周期周期)32sin(2xy,22T.3初相:,.sin2)32sin(2,32)2(并描点画出图象列表则令XxyxXXX “五点法作图五点法作图”应抓住四条：化应抓住四条：化为为y=Asin(x+)(A0,0)的形式；求的形式；求出振幅出振幅A和周期和周期T= ;列出一个周期内列出一个周期内的五个特殊点；作出指定

6、区间上的图的五个特殊点；作出指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点象时，应列出该区间的特殊点.210方法一方法一 把把y y=sin =sin x x的图象上所有的点向左平移的图象上所有的点向左平移个单位个单位, ,得到得到 的图象的图象, ,再把再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍倍( (纵坐标纵坐标不变不变),),得到得到 的图象的图象, ,最后把最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的上所有点的纵坐标伸长到原来的2 2倍（横坐标不倍（横坐标不变），即可得到变），即可得到 的图象的图象. . 3)3sin(xy)3sin(xy21)32sin(xy)32si

7、n(xy)32sin(2xy11方法二方法二 将将y y=sin =sin x x的图象上每一点的横坐标的图象上每一点的横坐标x x缩缩短为原来的短为原来的 倍倍, ,纵坐标不变纵坐标不变, ,得到得到y y=sin 2=sin 2x x的的图象；图象；再将再将y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位；个单位；得到得到 的图象；再将的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变的图象上每一点的横坐标保持不变, ,纵坐标伸长为原来的纵坐标伸长为原来的2 2倍，得到倍，得到的图象的图象. .216)32sin()6(2sinxxy)32sin(xy)32sin(2xy

8、12 （1 1）作三角函数图象的基本方法就是）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2 2）变换法作图象的关键是看）变换法作图象的关键是看x x轴上是先平移后轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位来确定平移单位. .)(xx13题型二题型二 求函数求函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)+)+b b的解析式的解析式 如图为如图为y y= =A Asinsin（

9、x x+ +） 的图象的一段，求其解析式的图象的一段，求其解析式. . 首先确定首先确定A A. .若以若以N N为为 五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是 先下降后上升（类似于先下降后上升（类似于y y=-sin =-sin x x的图象），所的图象），所 以以A A00.0.而而 可由相位来确定可由相位来确定. .,2T14解解 方法一方法一 以以N N为第一个零点，为第一个零点，方法二方法二 由图象知由图象知A A= = ，)32sin(3,3, 026),0 ,6().2sin(3, 2,)365(2, 3xyNxywTA所求解析式为点此时解

10、析式为则3).322sin(3.3226503.)0 ,65(,)0 ,3(xyPM所求解析式为解之得列方程组为第二个零点为第一个零点以15 (1)(1)与是一致的，由可得，与是一致的，由可得，事实上事实上 同样由也可得同样由也可得. .(2)(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点第一个零点”的确定是重要的的确定是重要的, ,应尽量使应尽量使A A取正值取正值. .(3)(3)已知函数图象求函数已知函数图象求函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)()(A A0,0,00）的解析式时，常用的解题方法是待定系）的解析式时，常

11、用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定数法，由图中的最大值或最小值确定A A, ,由周期确由周期确定定，由适合解析式的点的坐标来确定，由适合解析式的点的坐标来确定, ,但由图但由图象求得的象求得的y y= =A Asinsin（x x+ +）（）（A A0,0,00）的解析）的解析式一般不惟一，只有限定式一般不惟一，只有限定的取值范围，才能得出惟的取值范围，才能得出惟一解，否则一解，否则的值不确定，解析式也就不惟一的值不确定，解析式也就不惟一. .)322sin(3)32sin(3xxy),322sin(3x16（4 4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定）将若干个点代入函数

12、式，可以求得相关待定系数系数A A，这里需要注意的是，要认清选择，这里需要注意的是，要认清选择的点属于的点属于“五点五点”中的哪一个位置点，并能正确中的哪一个位置点，并能正确代入式中代入式中. .依据五点列表法原理，点的序号与式子依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：的关系是：“第一点第一点”（即图象上升时与（即图象上升时与x x轴的交轴的交点）为点）为x x+ +=0=0；“第二点第二点”（即图象曲线的最（即图象曲线的最高点）为高点）为 ；“第三点第三点”（即图象下降时（即图象下降时与与x x轴的交点）为轴的交点）为x x+ +=；“第四点第四点”（即图象（即图象曲线的最低点）为曲线的

13、最低点）为 ；“第五点第五点”为为x x+ +=2.=2.2x23x17 1.如图是如图是y=Asin(x+)的图象的一段，的图象的一段，试确定其解析式试确定其解析式.知能迁移知能迁移18 因为因为A= ,0,T=16= .所以所以y=2sin( x+).将将N(6,0)视为视为“五点法五点法”中的第一点，中的第一点，所以所以 6+=0 =- ,所以所以y= sin( x- ).2888342348 给出图象确定解析式，给出图象确定解析式，A由最值确定，由最值确定，由周期确定，由周期确定，由最高或最低点确定，当由最高或最低点确定，当由平衡位置点确定时，根据变化趋势确定由平衡位置点确定时，根据变

14、化趋势确定“五点中的第一点五点中的第一点”，简化运算，简化运算.19 2. 2.函数函数y y= =A Asin(sin(x x+ +)()(A A0,0,0,|0,| |0,0,0,00,0 )0,0,00）的单调区）的单调区 间的确定，基本思想是把间的确定，基本思想是把x x+ +看做一个整体看做一个整体. . 在单调性应用方面，比较大小是一类常见的在单调性应用方面，比较大小是一类常见的 题目，依据是同一区间内函数的单调性题目，依据是同一区间内函数的单调性. .291.1.为了得到函数为了得到函数 x xR R的图象，只的图象，只 需把函数需把函数y y=2sin =2sin x x, ,

15、x xR R的图象上所有的点的图象上所有的点( )( ) A. A.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） B.B.向右平移向右平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） C.C.向左平移向左平移 个单位长度，再把所得各点的横个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的坐标伸长到原来的3 3倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变） D.D.向右平移向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐个单位长度，再把所得各点

16、的横坐 标伸长到原来的标伸长到原来的3 3倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）),63sin(2xy63163166基基础础自自测测30解析解析 将将y y=2sin =2sin x x的图象向左平移的图象向左平移 个单位得到个单位得到y y=2sin =2sin 的图象，将的图象，将y y=2sin =2sin 图象上各图象上各点横坐标变为原来的点横坐标变为原来的3 3倍（纵坐标不变），则得倍（纵坐标不变），则得到到 的图象，故选的图象，故选C.C.答案答案 C C6)6(x)6(x)631sin(2xy312.2.将函数将函数y y=sin 4=sin 4x x的图象向左平移的图象向左平移 个

17、单位，得个单位，得 到到y y=sin(4=sin(4x x+ +) )的图象，则的图象，则等于（等于（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 将函数将函数y y=sin 4=sin 4x x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位后得到的图象的解析式为单位后得到的图象的解析式为1212331212)12(4sinxy. 3),34sin(则xC323.为了得到函数为了得到函数y=sin(2x- )的图象，可以将的图象，可以将函数函数y=cos2x的图象的图象( )D6A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度B.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度C.向右平移向右平移

18、 个单位长度个单位长度D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度663333 y=cos2x=sin(2x+ ) =sin2(x+ )，而而y=sin(2x- )=sin2(x- ),此时此时(x+ )- =x- ，所以只需将所以只需将y=cos2x的图象向右平的图象向右平移移 + = 个单位长度个单位长度.6424123124123344.4.（20092009山东文，山东文，3 3）将函数将函数y y=sin 2=sin 2x x的图象向的图象向 左平移左平移 个单位，再向上平移个单位，再向上平移1 1个单位，所得图个单位，所得图 象的函数解析式是（象的函数解析式是（ ） A. A.y y=2cos=2cos2 2x x B.B.y y=2sin=2sin2 2x x C. C. D.D.y y=cos 2=cos 2x x 解析解析 将函数将函数y y=sin 2=sin 2x x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位，得到函数单位，得到函数 即即 的图象，再向上平移的图象，再向上平移1 1个单位，所得图个单位，所得图 象的函数解析式为象的函数解析式为y