双曲线的复习资料精华版

1、*1.范围、对称性双曲线由标准方程2x2a2y21，从横的方向来看，直线b2x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 +双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心+22yx221 (a 0, b 0).ab向来看，随着x的增大， 圆那样是封闭曲线2.顶点顶点：A1(a,0), A2 a,0特殊点：B1(0, b),B2 0, b实轴：AA2长为2a, a叫做半实轴长+虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长2.双曲线的标准方程：22xy221 (a0, b 0).abc2 = a2 + b2焦点在 x轴上，焦点是 F1( c, 0)、F

2、2(c, 0).双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又 3.渐近线经过A2、围成一个矩形焦点在y轴上，焦点是 F1(0, c)、F2(0, c).主曰 差异+A1作y轴的平行线 x= a，经过B2、 (如图).两条直线2x叫做双曲线a2 y b21的渐近线.2y_2 a1 (a 0, b 0)的渐近线为四条直线a= b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线4 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：yx ; (2)渐近线互相垂直；(3)离心率e , 2 .等轴双曲线可以设为：x2 y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在

3、y轴上*5 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y bx kb x(k 0)，那么此双曲线方程就 a kar曰疋疋：x2(kO?2y(kb)21(k0)或写成2 x2ab26. 补充性质：焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。 义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。)(利用双曲线的第二定MFi a ex07. 离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比e三-，叫做双曲线的离心率*范围：e 12a a双曲线形状与e的关系：k -a因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大， 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔+(1

4、) 双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2) 渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约&共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲2线的共轭双曲线.如X162 2y 1 与y992X 116注意的区别：二量 a,b,c中a,b不同(互换)c相同，通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意-1) 性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上+2) 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 +3) 共用同一对渐近线y kx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为2 2 7(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上+1 k2三、讲

5、解范例：一、求双曲线的标准方程2求双曲线的标准方程笃a2y_ b2 关概念及性质再结合其它知识直接求出例1求与双曲线线方程.x22y解令与双曲线M(2, 2)代入，得k2x2222x1 (a、 b0), b221或爲aa、b或利用待定系数法.2有公共渐近线，且过点 M(2,1有公共渐近线的双曲线系方程为2)2 2 ,双曲线方程为x2通常是利用双曲线的有2)的双曲线的共轭双曲2x22y2y2 k，将点1，由共轭双曲2 2 丄142评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题2 2笃 爲 1有公共渐近线的双曲线的方程可设为a b线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为22笃与k (k2

6、.2 a b 一般地，与双曲线R,且k丰0);有公2x共焦点的双曲线方程可设为2a2y_1.2 2 k a本题用的是待定系数法二、1、第一定义的应用 双曲线的第一定义：已知 条件 |PF1|PF2|= 2a,正常数：2x4F1、F2是平面内两个定点，P是动点,2a1+ 2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线a2 b2为I，能否在双曲线的左支上找一点P,使得|PF1 是 P到|的距离d与|PF2|的等比中项？【解前点津】从假设存在这样的 P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果【规范解答】设在左支上存在 P点，使|PF1|2=|PF2| d，由双曲线第二定义得：|PFi| IPF2Id|PF

7、i| e，即眄21 |PF11又由双曲线的第一定义得：|PF2| |PF1|=2a从中解得：|PFi|, |PF2|=?，因 PF1F2中有 |PF1|+|PF2|2c,而e= c，故由得:ae 1e 1e2 2e K 0 解之：1- . 2 e1,. 11+、2相矛盾，.符合条件的P不存在.【解后归纳】对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立2 2例2 :如果双曲线 L 1上一点P到双曲线右准线的距离 d等于8,求点P到右焦6436点F的距离|PF|。解Qa .648,b36 6, c64一3610JPF| c |PF

8、|10Q, |PF| 10d a 88即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题如何求P到左焦点F的距离|PF |?解：|PF |-|PF|=2a,|PF | 10=16 ,二 |PF |=26例3：已知点A( 5,3),F( 2,0),在双曲线X2匸1上求一点P,使|PA|PF|32的值最小。解：T a=1, b= 3 , c=2 , e=2 ,a | pf |1设点P到与焦点(2, 0)相应的准线的距离为 d，贝U2,| PF | dd2即在双曲线上求点 P,使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，所求的点为 P (2,

9、 3)。c,c,4三、双曲线性质的应用2 2例1设双曲线x? 占 1 ( 0 a b)的半焦距为 a b直线I过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到|的距离为求双曲线的离心率.c解析 这里求双曲线的离心率即求，是个几何问题，怎么把a题目中的条件与之联系起来呢？/ OA a , OB b, AB知 a2(c2 a2)c4即 e216 可求得e 2.c,由面积法知abc c1 e4，亦即 3e4 16e216- 3 2222c2，考虑到 a2 b2 c2,4160,注意到a 2b 或 xw 2b).k 4由条件，若 2b4即b4 即 b2 时，则当 x=2b 时，AP|min=|2b 5|=

10、 . 6，解之 匕=宁(其中宁 2应舍去).2 2此时存在双曲线方程为： 2 y1(5 6)25 .6 222 2(2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为白和=1(/R), |AP|= (x 4)2 b2 5 ,v x R,.当 x=4 时，|AP|min=；b2 5 6 ,2二b2=1，此时存在双曲线方程为y2 =1.4【解后归纳】给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4,10 ).(1)求双曲线方程;(2) 若点M(3, m)在双曲线上，求证： MFi丄MF2；(3) 求厶F1

11、MF2的面积.【解前点津】 因e= ,2，所以c2=2a2=a2+b2 a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线， 因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2 y2=入(入工0).【规范解答】/e=.,2 , c2=2a2=a2+b2a2=b2,二双曲线方程可设为：x2 y2=入，点(4, ,10 )在双曲线上， 16 10=入，即入=6,故双曲线方程为：x2 y2=6.(2) 由(1)知：Fi( 2 3 , 0), F2(2 .3 , 0), km km k ? km2m2kMF1，kMF2-，kMF1 ? kMF21 3 2i32 3 2、312 9 123点(3 , m)在双曲线上， 9 m

12、2=6 , m2=3 ,故 kMF1 ? kMF2 = 1, MFMF 2.(3) F1MF2 的底 |F1F2|=4 -.3 , F1F2 的高 h=|m|=、3 , S f1mf2 =6.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为2 2m x + n y =1( mn0).(六)点差法的运用例1、过点P(8,1)的直线与双曲线x2 4y2 4相交于A, B两点，且P是线段AB 的中点,求直线AB的方程.解 设A, B的坐标分别为(xyj, (x2y2),则x： 4y； 4,x； 4y| 4,由方程组t2X12X24y：4y；4,推得,(x4,X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y?)0y1 yX1x2P(8,1)是段 AB的中点，X1 X216, y1 y?2.12,故直线AB的斜率为2,其方程为y 12(x 8)4( y1 y2)即 2x y 150.2例2对于双曲线x2 y 1 ,过B(1,1)能否作直线m , 使m与双曲线交于P,Q两点，且B是PQ的中点。解：假设存在直线 m ,设P(x1, y1), Q( x