第3章角动量理论

1、第3章 角动量理论 本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。 角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是必须的； 散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方面的考虑。 角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数 3.1 转动及角动量的对易关系一、有限转动n绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：二、转动的数学描述转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：正交矩阵：RRT=RTR=1 (T表示矩阵的转置）如绕Z轴转角的矩阵为：转动不改变矢量的长度：三

2、、无穷小转动n由： n得：（若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的） n或：四、 量子力学中的无穷小转动 1）态矢的变化： R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定2）转动算符的构造n参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 所表征的轴转d的转动算符 ：n这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子动力学中角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义更普适，适用于自旋等。 n 五、有限转动n有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成： 六、转动算符的性质假定nD(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：七、角动量算符的

3、对易关系n对应于n有：n得对易关系：n综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易关系： n该式归纳了三维转动的所有基本性质。n由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群。 3.2 自旋1/2体系和有限转动 一、自旋1/2体系的转动算符n能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2.n电子的自旋算符：n容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。二、转动对自旋角动量的影响n考虑绕Z转，态的变化为：n物理量如Sx的测量结果变为：n需要计算n上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：n由于该推导只利用了角动量的对易关系

4、，适用于角动量高于1/2的体系。n即对自旋1/2体系有：n类似可得：n以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转了角n即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为： nRkl是对应于给定转动的33正交矩阵R的矩阵元n由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。对一般的角动量算符Jk也有:n以后会知道该结果可适用于任意矢量算符。n矢量图像有利于对角动量的简明理解三、转动2的结果n对n有：n即n需转4才能使态矢复原（复原只需转2）n这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的四、自旋进动 n基于该H的时间演化算符为 n若将t看作，则u(t,0)与转动算符相同。由此容

5、易理解该H导致自旋进动。自旋期待值随时间变化为n运动周期为T= 2/.n态矢的“进动”周期则为 4/,为自旋进动周期的2倍五、2转动的中子干涉测量研究n要观测到态矢转2后的负号，需将转动前后的态矢进行比较。n如图所示，n当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为T/2 , T为经过有场区的时间,为自旋进动频率n干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(T/2).n产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度):n实验结果证实了量子力学预言的正确性。 npg eBm c六、自旋态的二分量形式 n对自旋体系，取n则n上述|的列矩阵被称为二分量旋量，记为n相应地：七、Pauli矩阵基本性质2kkS取则(a的分量为实数八、二分量表述形式中的转动算符n转动算符：n矩阵表示 n得n转动作用下：n由矩阵表示知 (即任何态矢|经2转动都相应变为- | ）九、 的本征值为1的本征态 n相当于： （可直接求解）n下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念n设n的方位角为的方位角为，与z轴夹角。将自旋向上态绕y轴旋转，再绕z轴旋转，所得态