中线与中位线(培优)(共3页)

1、直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效.例1 如图1，已知ABC中，ACB=90，OA=OC,求证：OB=OC 基本结论：若OA=OB，则OA=OB=OC, 若OA=OC，则OB=OC，若OB=OC，则OA=OC.例2（1）如图1，已知ABC和ABD中，ACB=ADB=90，点O是AB的中点，求证：OC=OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？图2图1基本结论：若OA=OB，则OA=OB=OC

2、=OD例3 如图，DBC=BCE=90，M为DE的中点，求证：MB=MC例4 如图,在ABC中，AB=AC，ABC=90，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点，求证：（1）OM=CE；（2）OB=OM例5 如图，ABC中，AB=AC，ABD=CBD. DEBD,DE交BC于E.求证：CD=BE.例6 如图，在ABC中，BDAC于D,CEAB于E,点M,N分别是BC，DE的中点，（1）求证：MNDE；（2）连ME，MD，若A=60，求的值.例7 BCD和BCE中，BDC=BEC=90，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若BAC=120，求证：DE

3、=OE. （2）如图2，若BAC=135，求证：DE =OE.（3）若BAC=，则EOD的度数为 .（用表示）图2图1 构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题.题型一 利用角平分线和垂直构造中位线例1 如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分ABC，且EFBE，求证：CF=2ME. 题型

4、二 倍长构造三角形中位线例2如图，在ABC中，ABC=90，BA=BC，BEF为等腰直角三角形，BEF=90，M为AF的中点，求证：ME=CF题型三 取中点构造三角形中位线例3 如图，在ABC中，C=90，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=MN.题型四 连接两点构造三角形中位线例4 如图，在ABC中，B=2A，CDAB于D, 点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DF例5 已知ACB=BCD=90，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为 ，位置关系为 .（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为 .图3图2图1 例7 如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M是BC的中点.求