圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

1、圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 1 -页圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求高考要求】1熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（

2、a,b,c）适合的不等式（组） ，通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方

3、法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，22122:1(0,0

4、)xyCabab1F2F2C准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离1C1C2CP212PFFF1C心率为（ ）A BCD232 332 2解：由已知可得抛物线的准线为直线， 方程为；2axc 224ayxc圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 2 -页由双曲线可知， ， ， ，2( ,)bP ca2224()bacac222222bbaa212e 3e 2椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆22221xyab0abF2F1F2F恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （ B ）e A B C D312314(23 )324解析：设点

5、为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，P由平面几何知识可得，2112|:|:| 1:3:2PFPFFF 所以由椭圆的定义及得：cea，故选 B1212|22312|31FFceaPFPF 变式提醒变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e 3. （09 浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是 ( )A2 B3 C5 D10【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab，22

6、222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因此222,4,5ABBCabe 答案：C4. （09 江西理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为（ ） A22 B33 C12 D13 【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232 ,baa从而可得33cea，故选 B1F2FxOyP圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 3 -页5.5.（08 陕西理）双曲线22221xyab（0a ，0b ）的左、右焦点分别是12FF，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M

7、点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）A6B3C2D336.6.（08 浙江理）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（D） （A）3 （B）5 （C）3 （D）57.7.（08 全国一理）在ABC中，ABBC，7cos18B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 388.8.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A）2 （B）3 （C）312 （D）512解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0

8、)xyabab，则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac ，2bac 220caac，解得512cea.9.9.（10 全国卷 1 理）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且2，则 C 的离心率为_BF FD 解析：答案：解析：答案：33如图，设椭圆的标准方程为1(ab0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)由22xa22yb2，得(c，b)2(xc，y)，BF FD 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 4 -页即，解得，D(，)2()2cxc

9、by 322cxby 32c2b由D在椭圆上得：1， ，e. 22223()()22bcab22ca13ca33【解析 1】33如图，22|BFbca, 作1DDy轴于点 D1,则由BF2FDuu ruur，得1|2|3OFBFDDBD,所以133|22DDOFc,即32Dcx ,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由| 2|BFFD,得232,caaa33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,D xy，F 分 BD 所成的比为 2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，代入222291144cba

10、b，33e10. （07 全国 2 理）设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290F AF且123AFAF，则双曲线的离心率为（ B ） A52B102C152D5解12222212222102()()(2 )10AFAFAFacaeAFAFc-=+= 11. 椭圆的左焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为的直线与椭圆交于 A、B 两22221(0,0)xyabab45o圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 5 -页点且 F 分向量 BA 的比为 2/3，椭圆的离心率 e 为: 。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比

11、转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点 A，B，由焦半径公式可得，,AAxy,BBxy32ABaexaex则，变形，2()3()ABaexaex2()ABBaexaexaex所以因为直线倾斜角为，所以有，所以2 ()ABBe xxaex45o22225eABAB25e 提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）：1125BEBFABee1135ADAFABee22AC

12、ABADBEAC13122552ABABABee25e 12. （10 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线l 的倾斜角为 60o,2AFFB .椭圆 C 的离心率 ；解：设1122( ,), (,)A x yB xy，由题意知1y0，2y0.圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 6 -页（）直线 l 的方程为 3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2 330abyb cyb解得221222223(2 )3(2 ),33b

13、 cab cayyabab 因为2AFFB ，所以122yy.即 2222223(2 )3(2 )233b cab caabab 得离心率 23cea. 6 分13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使OPA=,则椭圆离心率的范围是_.2解析：设椭圆方程为=1(ab0),以 OA 为直径的圆：x2ax+y2=0,两式联立消2222byaxy 得x2ax+b2=0.即 e2x2ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理222aba x2=a,0 x2a，即 0aae1.2ea2ea22答案：e12214. 在椭圆上有一点 M，是椭圆的两个焦点，若

14、，22221(0)xyabab12,F F2212MFMFb椭圆的离心率的取值范围是; 解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方212MFMFa2212MFMFb21,MFMF程的两根，由， 可得，即22220 xaxb22( 2 )4 20ab 222ab所以，所以椭圆离心率的取值范围是2222()aca22cea2,1)215. （08 湖南）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线22221xyab32a的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 7 -页解析 由题

15、意可知即解得故选 B. 2233()()22aaaeacc331122ee 2e 16.（07 北京）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，22221(0)xyabab1F2FxMN，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）12MNFF 1(02，2(02，11)2，21)2，解析 由题意得故选 D. 222 2acc22e 17.（07 湖南）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在12FF，22221xyab0ab使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）,P1PF2FABCD.2(02，3(03，21)2，31)3，分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如

16、何建立？22PFc解析：线段的中垂线过点， ，又点 P 在右准线上，1PF2F22PFc22aPFcc即，故选 D.22accc33ca313e点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08 福建理）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且22221xyab|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0 xa解析：|PF1|=2

17、|PF2|,|PF1|PF2|=|PF2|=，|PF2|即2aca2aca3ac所以双曲线离心率的取值范围为，故选 B.13e圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 8 -页解 2 如图 2 所示，设，2PFm12(0)FPF.222(2 )4cos254cos2mmmceam当点 P 在右顶点处有.，.1cos1 1,3e选 B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解.

18、ca19.19.（08 江西理）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A(0,1) B1(0, 2 C2(0,)2 D2,1)2解 据题意可知，M是直角，则垂足 M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以1F2F.又，所以.选 C.2222212cbcbace(0,1)e)22, 0(e小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a，b，c 间的不等量关系，然后利用a，b，c 间的平方关系化为关于a，c 的齐次不等式，除以即为关于离心率 e 的一2a元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范

19、围，就得到了离心率的取值范围.20. （04 重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点 P 在双曲线的右支22221,(0,0)xyabab12,F F上，且,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：( )12| 4|PFPFA B C D 4353273|PF1|=4PF2|,|PF1|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即2aca23aca53ac所以双曲线离心率的取值范围为，故选 B.513e21. 已知，分别为的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若1F2F22221xyab(0,0)ab圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 9 -页的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是

20、（ ） A B C D212PFPF8a(1,2(1,32,33,)解析 ，欲使最小值为，需右2221222222(2)442 448PFaPFaPFaaaaPFPFPF8a支上存在一点 P，使，而即所以.22PFa2PFca2aca13e22. 已知椭圆右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂直于 PA，椭圆的22221(0)xyabab离心率 e 的取值范围是; 。 解：设 P 点坐标为（）,则有00,xy2200222200010 xyabxaxy消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为 a,20y22232200()0abxa xa b0 x由根与系数关

21、系知由得222002222a babaxxabab00 xa212e23. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使G22221(0)xyabab12(,0),( ,0)FcF cM. 求椭圆离心率的取值范围 ；120FM F M e解析 设22212( , ),0M x y FM F Mxyc 将代入得 求得 .22222bybxa22222a bxa220 xa212e点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中22221(0)xyababxa经常使用，应给予重视.24. （06 福建）已知双曲线的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为的直线与22221(0,0)xyabab60双

22、曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）(1,2(1,2)2,)(2,)解析 欲使过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于60圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 10 -页等于渐近线的斜率， ，即即即故选 C.baba33ba2223caa224ca2e 25. （04 全国）设双曲线 C：相交于两个不同的点 A、B.求1:)0( 1222yxlayax与直线双曲线 C 的离心率 e 的取值范围： 解析 由 C 与 相交于两个不同的点，故知方程组l有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 . 1,

23、 1222yxyax（1a2）x2+2a2x2a2=0. 所以解得242210.48(1)0.aaaa 021.aa且双曲线的离心率：22111aeaa021,aa且622ee且所以双曲线的离心率取值范围是6(,2)( 2,)2总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.26设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）A202，B303

24、，C212，D313，2232323acacccec+=27. （09 重庆卷文）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)FcF c，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPF F，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】21,1圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 11 -页. 解法 1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPF F则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaex PFaex则00()()a aexc aex记得0()(1

25、)()(1)a caa exe cae e由椭圆的几何性质知0(1)(1)a exaae e 则，整理得2210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率( 21,1)e28. （10 四川理）椭圆22221()xyabab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2 （B）10,2 （C） 2 1,1 （D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|22abccc ， |PF|ac,ac，于是2bca

26、c,ac即 acc2b2acc2222222accacacacc1112caccaa 或 又 e(0,1)故 e1,12 答案：D29 已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 满足，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦ECAE点，当时，双曲线离心率 e 的取值范围是： 。4332分析分析：显然，我们只要找到 e 与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出 e 的范围。解解：如图 4，建立坐标系，这时 CDy 轴，因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称。依题意，记 A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0), 其中 c=为双曲线的半焦距