二项式定理的练习及答案

1、项式定理的练习及答案基础知识训练(一) 选择题1. (x 2 )6展开式中常数项是()A.第 4项 B.24c6C. C6 D.22. (x - 1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (12)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74. 若C：7与C：同时有最大值，则m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55. 设(2x-3) 4=a0 - a1x - a2x2 a3x3 - a4x4，贝U ao+ai+a2+a3 的值为()A.1B.16C.-15D.156. (x3 -1)11展开式中的中间两项为(

2、)xA. Y51X12,C151X12B.C1X9,-C151X10C. -C1ix13,C15x9DQx17,七氷13(二) 填空题7. 在(2x _1y)7展开式中，x5/的系数是.8. cn - 3Cn - 32c2-3nCn =9. (35 1 )20的展开式中的有理项是展开式的第 项+V510. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 11. (1 3x 3x2 x3)10展开式中系数最大的项是 12. 0.9915精确到0.01的近似值是(三) 解答题13. 求 (1+x+x2)(1-x) 10展开式中 x4 的系数14. 求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展开式

3、中 x3的系数 +15. 已知(1-2x) 5展开式中第2项大于第1项而不小于第3,求x的取值范围.16. 若f(x) =(1 x)m - (1 x)n(m .n N)展开式中，x的系数为21,问m n为何值时，x2的系数最小？17. 自然数n为偶数时，求证：18. 求8011被9除的余数，19. 已知C.x-g)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14; 3,求展开x式的常数项20. 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数”21. 求(2x+1) 12展开式中系数最大的项* 参考解答：31. 通项1 二 C；X6(2 )r 二 C6x62r2r，由 6-|r =0= r =

4、4，常数项是 T5 = C：24，选(B)2. 设 f(x)=(x-1) 11,偶次项系数之和是 f(1) f()心)11 _1024，选(C),2r3. 通项1 =C7C、2)r二C72，当r=0，2, 4, 6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)4. 要使C：7最大，因为17为奇数，则n二 化1或n二二 n =8或n=9,若n=8，2 2要使Cm最大，则m=4，若n=9,要使最大，则m二或m二一 - m = 4或2 2 2m=5综上知，m=4或m=5故选(A)2245. C 6.C7.224;8.4 n;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之

5、和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1, 则所求和为311. (1+3x+3x2+x3)10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=C3ox15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C0 -C； 0.009 0.9613. (1 xx2)(1-x)10二(1-x3)(1-x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项c9(-x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x) 9展开式中的项C；(-x)作积，故x4的系数是Cg - C4 =135.10 1114. (1 x) (1 x) (1 - x)10 = (1 X)1

6、 (1 xLJ = (x 1) 区卫,原式中 x3实为 1(1 + x)x这分子中的x4,则所求系数为C：1-15.由厂 10C5 (2X)A C5C5(2x) 3C(2x)21x :10x _ 04丄x丄41016. 由条件得 m+n=21 x2 的项为 C：x2+C：x2，则 Cm+C：= (n-空)2+空.因 n N,24故当n=10或11时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x2的系数 最小.17. 原式=(C0 C； C2 - CnJ 1) (Ccn c5 cn)=2n V =3.2心18. 8011 =(81 1)11 mC011 朋俨 + +C；81

7、 _1=81k _1( Z), k 乙 9k-1 Z,A 8111 被 9 除余 819. 依题意 C : C； =14:3= 3C4 =14C2 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!二 n=1010-5r 设第r+1项为常数项，又Tn =C；0(-x)10(-W)r =(-2)七血丁x令旦型=0= r=2，T21二C(-2)2 =180.此所求常数项为180220. (x2 3x 2)5 =(x - 1)5(x 2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C； =5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32,含 x 的项为 C；24x -80x

8、展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) =240x，此展开式中x的系数为24021 .设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：x4 = 7920X4三拓展性例题分析例1在二项式 窓+丄)的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有 I2仮丿有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项 公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.1111得系数为：t| =1,t2 二 C； _n,上3 二 C； _ = _ n(n，2 24 81由已知：2t2 = t

9、1 t3 n=1 n(n1)，8n = 8通项公式为16_J3r11=C；yx 4 r =0,1,28,Tr 1为有理项，故16-3r是4的倍数，r =0,4,8.依次得到有理项为Ti =x4,T5二C：2x二些乂忑二C8 Axx2.282256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理 项.类似地，C 2汽3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r的取值， 得到共有17页系数和为3n 1例2(1 )求(1-x)3(1 x)10展开式中x5的系数；(2)求(x - 2)6展开式中的常x数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展

10、开的问题， (1)可 以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (x)3(1 x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类 项：用(1-x)3展开式中的常数项乘以(x)10展开式中的x5项，可以得到C；x5 ；用(1 -X)展开式中的一次项乘以(1 x)1展开式中的x4项可得到(-3x)(C：0X4) = -3C：0X5 ；用(1 -X)3中的x2乘以(1 - x)10展开式中的x3可得到3x2 C；0X3 =3C；0X5 ;用(1-X)3中的x3 项乘以(1 x)10展开式中的x2项可得到-3x3 C2x2 C2x5，合并同类项得x5项为：(

11、C；0 _C：0 -3C3o _c2o)x5 = _63x5 .1f l(2) x + +2 = Vx + x由1 5(X 2)5x展开式的通项公式Ti =C；2C、2）12r二C；2X6，可得展开式的常数项为C：2二924 .说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以 通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求（1，x-x2）6展开式中x5的系数.分析：（1 - x -X2）6不是二项式，我们可以通过1 x -X2 = （1 x） -X2或1 （x -X2）把 它看成二项式展开.解：方法一：（1 X-X2）6（1 X）-X2 6其中含 x5 的项为 c6x5

12、 -6C；X5 15C；X5 =6x5 .含x5项的系数为6.方法二：（1 XX2）6 = 1 （X -X2） F其中含 X5 的项为 20（-3）x5 15（-4）x5 6x5 =6x5.- x5项的系数为6.方法3:本题还可通过把（1，x-x2）6看成6个1，x-x2相乘，每个因式各取一项相 乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取X,个取1得到C6x5 .3个因式中取X, 个取-x2，两个取1得到C3 C3x3X2）.1个因式中取X,两个取-X2，三个取1得到C； c5x （-X2）2 .合并同类项为（C6 -c（6c5）x5 =6x5，X5项的系数为6.例 4 求证

13、：（1） cn - 2C2- ncn = n 2心;(2)cocncn 丄cnl(2ii).23n +1 n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质， 我们可以用二项式系数的性质来 证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合 数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质cn c； cnc2n.解：(1) 丁 kcn=k =n!= n =n Jk!( n k)! (k1)!( n k)! (k1)!( n + k)!左边=n c0A + nC：+ +n=n(C0 二 Cl 二 Cn ：) = n 2n=右边.1 k 1 n!n!(2)C

14、 n _k+1k+1 k!( n_ k)! (k_1)!( n_ k)!1 (n 1)!1 “Cn 1 .n 1 (k 1)!(n -k)! n 1左边二丄c；丄c：1 丄c；1n 1n 1n 1二亠(c；.icnir亠(2ni-i)=右边.n 1n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和， 再用二项式系数的性 质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二 项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例 5:求 29c10 - 28c9o -27c8 2C2o 10 的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 - 2)10的展开式接

15、近，但要注意：从而可以得到：10 - 2C2- :28cf0 29C；0(310-1).2例6利用二项式定理证明：32n2-8n-9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明322-8n-9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n2 =9n(8 1)n1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系 起来.解：t 32n 2 -8n-9= (8n 1 Cni 8心cn；) 64 是 64 的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.a53 展开2x爲.分析解法分析1：用二项式定理展开式.2x22x22：对较繁杂

16、的式子，先化简再用二项式定理展开.35(4x3 -3)51:解法2:2x -22x252180135405243= 32x -120x47 而.xx4 8x7 32 x10说明：记准、记熟二项式(a b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(1032x)A. 11B. 33C. 55D. 66分析：(x y z)10看作二项式(x y) z10展开.解：我们把x y z看成(x y) z，按二项式展开，共有11 “项”,即(x y z)1010= (x y) z10 C1o(x - y)10J zkk=0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式 (xy)10展开,不同的乘积C10(x - y)10 zk ( k =0,1,10)展开后，都不会出现同类项.F面，再分别考虑每一个乘积C1，0(x - y)10A zk ( k=0,1，,10 ).其中每一个乘积展开后的项数由(x - y)10决定,而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11 1066，应选D.(1 屮例9若x + 丄-2 |的展开式的常数项为-20，求n