利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求...

1、菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角角菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）图图1菜菜 单单新课标

2、新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）又又A1A綊綊B1B，所以，所以A1A綊綊C1D，所以，所以A1ADC1是平行四边是平行四边形，形，所以所以A1C1 AD，所以，所以AD平面平面A1C1C，同理，同理，B1D平面平面A1C1C；又因为又因为B1DADD，所以平面，所以平面ADB1平面平面A1C1C，所以所以AB1平面平面A1C1C.(3)由由(1)知知AB平面平面AA1C，又二面角，又二面角A1ABC是直二是直二面角，面角，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科

3、数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反思启迪反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找向量法两种传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意解用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误计算上不要失误2角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角想，主要将空间角转化

4、为平面角或两向量的夹角菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【解解】(1)证明证明AE平面平面CDE，CD平面平面CDE，AECD.在正方形在正方形ABCD中，中，CDAD，图图2菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）ADAEA，CD平面平面ADE.ABCD，AB平面平面ADE.(2)由由(1)知平面知平面EAD平面平面ABCD，取，取AD中点中点O，连接，连接EO，EAED，EOAD，EO平面平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐建立如图所示的空间直角坐标系，设标系，设AB2，则则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设，设

5、M(x，y，z)，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）利用空间向量法求二面角的方法：利用空间向量法求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角合实际图形判断所求角是锐角还是钝角(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量

6、的夹角的大小就是二面角的大发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适小以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题当的方法解题菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【规范解答规范解答】取取BC的中点的中点E，AD的中点的中点P，连接，连接PE.在在SAD中，中，SASDa，P为为AD的中点，所以的中点，所以SPAD.又因为平面又因为平面SAD平面平面ABCD，且平面，且平面SAD平面平面ABCDAD，所以，所以，SP平面平面ABC

7、D.显然有显然有PEAD.如图，以如图，以P为坐标原点，为坐标原点，PA为为x轴，轴，PE为为y轴，轴，PS为为z轴建轴建立空间直角坐标系，立空间直角坐标系，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反思启迪反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时，用向当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快量法较为简洁明快2用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小量的大小就是二面

8、角的大小(相等或互补相等或互补)，但我们完全可以，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的角一般是比较明显的菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【解解】(1)证明证明SD平面平面ABCD，SD平面平面SAD，平面平面SAD平面平面ABCD，ABAD，AB平面平面SAD，又，又DE平面平面SAD，DEAB.菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）SDAD，E是是SA的中点，的中点，DESA，ABSAA，DE平面平面SAB，DE平面平面BED，平面平面

9、BED平面平面SAB.(2)由题意知由题意知SD，AD，DC两两两两垂直，以垂直，以DA、DC、DS所在的所在的直线分别为直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设，不妨设AD2，则，则菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用） (2013深圳模拟深圳模拟)如图如图5，棱柱棱柱ABCDA1B1C1D1的所有的所有棱长都

10、等于棱长都等于2，ABC和和A1AC均为均为60，平面，平面AA1C1C平面平面ABCD.(1)求证：求证：BDAA1；(2)求二面角求二面角DAA1C的余弦值；的余弦值；(3)在直线在直线CC1上是否存在点上是否存在点P，使，使BP平面平面DA1C1，若，若存在，求出点存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由的位置，若不存在，请说明理由菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【规范解答规范解答】设设BD与与AC交于交于O，则，则BDAC，连接，连接A1O，在，在AA1O中，中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面由于平面AA1C1C平面平面ABCD，A1O平面平面ABCD.菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反思启迪反思启迪】利用空间向量解决探索性问题，可将所利用空间向量解决探索性问题，可将所求问题转化为方程求问题转化为方程(