第二章控制系统的数学模型讲义

1、1电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2第二章 线性系统的数学模型2.1 线性系统I/O时间函数描述2.2 线性系统I/O传递函数描述2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的数学模型2.5 建立数学模型的试验方法简介(略)2.6 框图及其化简方法2.7 信号流程图2电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2本章主要内容本章主要讨论系统本章主要讨论系统微分方程微分方程、传递函数和结传递函数和结构图构图，信号流图信号流图、梅逊公式及其应用梅逊公式及其应用。2物理模型 ： 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理

2、想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。（注意精度和简化的折中）3电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-23数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式，数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式，也是也是物理模型的数学描述物理模型的数学描述数学模型数学模型微分方程微分方程传递函数传递函数方框图和信号流图方框图和信号流图状态空间模型状态空间模型图图 2-12-1经典控制理论中：经典控制理论中： 输入输入/ /输出描述（外部描述）输出描述（外部描述）现代控制理论中：状态空间描述（内部描述）现

3、代控制理论中：状态空间描述（内部描述）4电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2a. 机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，主要应用一些物理规律、化学规律等。b. 实验辩识法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。4、建立数学模型的方法5电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2一、实验辨识法：基于系统辨识的建模方法 实验设计-选择实验条件 模型阶次-适合于应用的适当的阶次（一阶、二阶，高阶） 已知知识和辨识目的 参数估计-最小二乘法 模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近黑匣子黑匣子输入（已知）输

4、入（已知）输出（已知）输出（已知）图2-22.1 线性系统输入-输出时间函数描述6电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2实验辩识法建立模型的方法 假设系统是线性定常的，并且在t=0时系统的响应及其各阶导数都为零（即初始条件为零，或称初始状态为零，或称零状态），则其响应与输入之间应满足齐次性和线性关系， c(t)=h(t)r(t)h(t)-算子辨识的基本任务就是确定算子，可以理解为它必定由系统的结构与参量或者说是由系统的特性决定的。确定算子的步骤为：1、给定输入的函数形式，原则是既便于数学处理又在实际中便于实现。一般采用单位脉冲函数建模7电气工程学院首页上页下页末页结束自动

5、控制理论2021-7-2脉冲函数的表达式为： ( )1t dt, 0( )0, 0, Atr ttt A-脉冲面积或称脉冲强度 A=1、0的脉冲函数，称为单位脉冲函数(t), 0( )0 , 0tttt)(tA08电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2, ()0 , ttt当脉冲延迟时间 发生时，t)(t)(t9电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-20( )( ) ()r tr tt 当任意连续输入r(t)在（0t）,可以将它用一系列矩形脉冲来近似描述10电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2 2、以单位脉冲函数作用到零初始条件

6、的线性定常系统，得到的输出称为系统的单位脉冲响应单位脉冲响应，也称为权函数（它的拉氏变换就是系统的传递函数传递函数）00( )( ) () ( )() ( )c tH ttrg tr ( )( ) ( )g tH tt()( ) ()Ag tAH ttt0() =(-)()ctgtrd11电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2二、机理分析法建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。 利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态

7、空间模型。12电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2三、线性元件的微分方程（机理分析法）1微分方程：微分方程：是一种输入是一种输入-输出描述，输出描述，给定量给定量和和扰动量扰动量作为作为系统输入量，被控制量作为系统的输出系统输入量，被控制量作为系统的输出. .2、线性系统：、线性系统：满足叠加原理（可加性和齐次性）满足叠加原理（可加性和齐次性）对于输入u=u1+u2,输出y=f(u)=f(u1)+f(u2) 可加性输出y=f(au)=af(u）齐次性例如：对于输入x=k(x1+x2),若输出y=f(x)=x, 则f(x)= x=k(x1+x2), 线性若输出y=f(x)

8、=x2, f(x)= x2=k2(x1+x2)2 k2x12+k2x22 则非线性13电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2（1）确定系统的输入量和输出量（2）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。（3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。3 3列写线性系统微分方程的主要步骤列写线性系统微分方程的主要步骤14电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2举例说明线性元件微分方程的建立例2-1: 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)

9、为输出量的网络微分方程。解：设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程组如下： 22cUU(5)dtiCUc2221(4)2221ccUiRU(3)dtiiCUc)(12111(2)1111cUiRU(1)U 1R 1R 2U 2C 1C 2图图2-3 RC2-3 RC组成的四端网络组成的四端网络 i1i215电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2dtdUCdtdUCic22222由导出： dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111将i1、i2代入、，则得 22211cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc由、得：16电气

10、工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-222222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRR这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。17电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2课本P12 RLC电路的微分方程说明：一般来讲，系统有几个储能元件，就是几阶系统，最终输入输出微分方程就是几阶。 对于上面的两个例子，都是二阶系统，输入/输出描述都是二阶微分方程 课本其他举

11、例可参考18电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2例2-2 试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。 图图2-4 2-4 电机相似系统电机相似系统 B1B2K1K2XrXc （a）机械系统）机械系统R2C2R1C1UrUc (b)电气系统电气系统19电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2 对电气网络(b)，列写电路方程如下：rcc1rc12c2K(X -X ) B(X -X ) K XB Xc121211()X()XrcrBBKKXBK X 解： 对机械网络(a) ：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，

12、可列出其运动方程式1c12c2 CUC Uc1c1iURU 12c1c2r(R)iUUUR 212111rR iidtRiidtUCC20电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2利用、求出 代入，将两边微分得1)211 (21)211 (RCCRRUcCCUri121121111()()ccrrRR UUR UUCCC21电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2力-电压相似 机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的

13、系统）去研究机械系统. 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。1/C21/C1电阻R2电阻R1电气弹性系数K2弹性系数K1阻尼B2阻尼B1机械图 2-522电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2例2-3 求图2-6 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。图图2 2- -6 6 电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图SM负负载载-LaRaEaW

14、mJ mf mUaifia23电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2解： 电枢控制直流电动机的工作实质是 将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程 24电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2电枢回路电压平衡方程：Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，

15、即Ea=Cem（t） Ce反电势系数（v/rad/s）( )( )( )aaaa aadi tUtLR i tEdt25电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2电磁转距方程：( )( )mm aMtC i tmC-电动机转距系数 （Nm/A）( )mMt-是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）电动机轴上的转距平衡方程：电动机轴上的转距平衡方程：( )( )( )( )mmmmmcdtJftMtMtdtJm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgmfm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）26电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-

16、7-2、求出ia(t)，代入同时亦代入得： 2( )( )()()( )( )( )( )mmamamamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdM tC UtLR M tdt在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化简化为12( )( )( )( )mmmacdtTtKUtK M tdt 2ammeRKRafC C1mammeCKR fC CammammeR JTR fC C电动机机电时间常数（s） 27电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化简化

17、为( )( )emaCtUt( )mt( )aUt电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。28电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2四 线性微分方程的求解还可分为(t) = (t) + t(t) 稳态解 暂态解1.经典解法(. (t) = p(t) + h(t) 特解 通解29电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2四 线性微分方程的求解2.数学工具拉普拉斯变换与反变换 (t) = 1(t) + 2(t) 零状态解 零输入解（自由响应）)()0()()0( )0()(0122sassasssa)()0()(1sUbUssUb

18、gogg)()()(21sss)(012201sUasasabsbg 012211220000asasaubaasag010122)()()(btUbatatag线性系统的微分方程：其拉氏变换为：整理得：其拉氏反变换为：30电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-21。求解所用数学工具拉普拉斯变换与反变换0( )stf t edt 0( ) ( )( )stF sL f tf t edt 拉氏变换定义设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：拉氏变换基本定理11221122( )( )( )( )L a ftafta Fsa Fs线

19、性定理 ( )()atL ef tF sa位移定理 ()( )sL f teF s延迟定理31电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2( )( )(0)df tLsF sfdt222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt1( )(0)( )F sfLf t dtss1222( )(0)(0)( )F sffLf t dtsss0lim( )lim( )tsf tsF s 初值定理微分定理积分定理0lim( )lim( )tsf tsF s 终值定理32电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-21212() ()()()()()() ()(

20、)mnkszszszBsFsAsspspsp 1212( )nnaaaF sspspsp ( )()kkkspaF s sp 拉氏反变换：F(s)化成下列因式分解形式：aF(s)中具有不同的极点时，可展开为11( ) ( )( )2jstjf tLF sF s e dsj 33电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2 312123( )()()nnaaa saF sspspspsp111212 ( )()()spspa saF s spspb.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为34电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2021-7-2 c.F(s)含有多重极点时，可展开为 111111