第七节 傅里叶(Fourier)级数

1、第七节第七节 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数一、周期运动一、周期运动二、三角级数、三角函数系的正交性二、三角级数、三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题的背景问题的背景 在物理学、电工电子学和工程技术等问题中在物理学、电工电子学和工程技术等问题中, 经常经常会遇到周期函数会遇到周期函数, 而正、余弦函数是最简单的周期而正、余弦函数是最简单的周期函数函数, 在弹簧振动、单摆运动以及交流电路等许多在弹簧振动、单摆运动以及交流电路等许多问题中都会遇到问题中都会遇到. 那么任何一个周期函数能否用下那么任何一个周期函数能否用下列无穷三角级数列无穷三角级数来表示？把

2、函数展开成三角级数的理论对数学和来表示？把函数展开成三角级数的理论对数学和其他学科与领域的发展起着极为重要的作用其他学科与领域的发展起着极为重要的作用,下面下面我们就来研究我们就来研究. 10)sincos(2nnnnxbnxaa一、周期运动一、周期运动非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otf11Zkktkktktf ,)12(2, 12)12(, 1)( 当当当当简单的周期运动简单的周期运动 :)sin( tAy(谐波函数谐波函数)( A为为振幅振幅, 为为角频率角频率, 为为初相初相 ),7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 在研究过程中在研究过程中,人

3、们发现可以用不同频率的正弦人们发现可以用不同频率的正弦波叠加来逼近矩形波波叠加来逼近矩形波 f(t):tfsin4 )3sin31(sin4ttf )5sin513sin31(sin4tttf )7sin715sin513sin31(sin4ttttf ) 12sin(1215sin513sin31(sin4)( tnnttttf )0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttf 一个比较复杂的周期运动可以看作是许多不同频率一个比较复杂的周期运动可以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加的简谐振动的叠加. .二、三角级数及二、三角级数及 三角函数系的正交性三角

4、函数系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf 1.三角级数三角级数谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA ,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb , tx 得函数项级数得函数项级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa称上述形式的级数为三角级数称上述形式的级数为三角级数.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系 1,cos x, sin x, cos2x, sin2x, ,cos nx, sin nx, 在在 上正交上正交.即任意两个不同函数之积在即任意两个不同函数之积在 上的积分等于上的积分等于0 .两个

5、相同函数乘积在两个相同函数乘积在 上的积分不等于上的积分不等于 0 .且有：且有： ,2d11 xxxn dsin2 xxn dcos2 ), 2, 1( n, . xxnkxnkd)cos()cos(21 证证 xnxdcos1 xnxdsin1, 0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos , 0 )(, 0dsinsinnkxxnxk 同理可证同理可证 :),2,1( n xnkxnk)(cos)(cos21 )(. 0dsincosnkxxnxk 三、函数展开成傅里叶三、函数展开成傅里叶(Fourier)级数级数问题问题: : (1) 若若 f(x) 能展成三角级数能

6、展成三角级数, )sincos(210 nnnnxbnxaa an , bn是什么是什么?(2) 若若 f(x) 能展成三角级数能展成三角级数,要满足什么条件才会有要满足什么条件才会有 )(xf 10)sincos(2nnnnxbnxaa1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有 xkxbkxaxaxxfkkkd)sincos(d2d)()1(10 ,0 a .d)(10 xxfa 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有xxnaxxnxfdcos2dcos)()2(0 1k xxnxkakdcoscos xxnxkbkdcossin

7、xxnandcos2 , na ,dcos)(1 xnxxfanxxnaxxnxfdsin2dsin)()3(0 1k xxnxkakdsincos xxnxkbkdsinsinxxnbndsin2 , nb ,dsin)(1 xnxxfbn ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1(,dcos)(1;d)(10nxnxxfbnxnxxfaxxfann傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaaf f (x) 的的 n 阶傅里叶多项式：阶傅里叶多项式：)sincos(2)(10kxbkxaaxFknkkn 2. 收敛定理收敛定理 (也称也称 D

8、irichlet 充分条件充分条件)设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 若它满足若它满足条件条件： (1)在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点在一个周期内至多只有有限个极值点,则则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数 收敛收敛, , 10)sincos(2nnnnxbnxaa且有：且有： 1) 当当 x 为为 f (x) 的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于 f (x). .2)()( xfxf2) 当当 x 为为 f (x) 的间断点时的间断点时,级数收敛于级数收敛于周

9、期为周期为2 的的周期函数周期函数f (x)满足满足Dirichlet 充分条件充分条件, 则有则有 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxs 当当 x 为为 f (x) 的连续点的连续点,f (x)2)()( xfxf当当 x 为为 f (x) 的间断点的间断点. )(xf0 x ,1 x0,12x 则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在 x = 处收敛于处收敛于例例1 1 设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 , 在在 x = 3 处收敛于处收敛于 ,x yo 1 1在在 x =2 处收敛于处收敛于 ,在在 x =4 处收敛于处收敛于 .22 1 50o

10、tu E E 3 2 3 2 解解所给函数满足所给函数满足Dirichlet充分条件充分条件.,)Z(处处在间断点在间断点 kkt .0傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛于于).(,)(tuZkkt级数收敛于级数收敛于时时当当 ttuad)(10 00d1d)(1tEtE,0 tnttuandcos)(1 00dcos1dcos)(1tntEtntE), 2 , 1(.0 n tnttubndsin)(1 00dsin1dsin)(1tntEtntE)cos1(2 nnE ,)1(12nnE ,sin)1(12)(1 nnntnEtu ),;(Zkktt 所求傅氏级数为所求傅氏级数为 1)12sin

11、(1214)(ntnnEtu 说明说明 函数展开成函数展开成Fourier级数的条件比展开成幂级数的条件比展开成幂级数的条件低的多级数的条件低的多.思考思考: 函数的图形与其函数的图形与其Fourier级数的图形有何区别级数的图形有何区别?例例2 2中函数的图形为：中函数的图形为：otu E E 3 2 3 2 Fourier级数的图形为：级数的图形为：otu E E 3 2 3 2 3. 把周期函数展为把周期函数展为Fourier 级数的步骤：级数的步骤： step1 找出找出 f (x) 的间断点的间断点, 求出级数收敛于的值求出级数收敛于的值. step3 写出写出Fourier级数及其

12、收敛域级数及其收敛域.,)sincos(2)(10Kxnxbnxaaxfnnn step2 对对 f (x) 的连续点的连续点, 按公式计算按公式计算 ,an, bn, 0a4.4. 对非周期函数对非周期函数 f (x) , 若若 f (x) 只在区间只在区间 上有定上有定义义, 且满足且满足Dirichlet条件条件, 也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.作法作法: : 先对先对 f (x) ( x ) 作作周期延拓周期延拓：), )()( xxfxF令令, )()2(xFxF 且且则则 F (x) 是以是以2 为为周期周期的的周期函数周期函数,求出求出 F (x) 傅傅里里叶系数叶系数,

13、写出写出 f (x) 在在 上的傅上的傅里里叶级数叶级数 oyx例例3 3 将将 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. xxxxxf00)(解解将将 f(x) 延拓成周期延拓成周期为为2 的函数的函数F(x), 3 3 则则 F(x) C( + ), xxFad)(10 0d2xx, xnxxFandcos)(1 0dcos2xnxx 02cossin2nnxnnxx ,1)1(22 nn xnxxFbndsin)(1, 0 ,cos1)1(22)(12 nnnxnxf ).( x所求函数的傅里叶级数为所求函数的傅里叶级数为,)12cos()12(142)(12 nxnnxf 说明说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得 2222)12(1513118n ,141312112222 n 设设, )8()12n,)2(161412122222 n ,41312112223 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3. Dirichlet充分条件；充分条件；4.非周期函数