百炼百胜北师大版九年级数学上册学案：第一章特殊平行四边形

1、第一章特殊平行四边形专题一菱形的性质、判定及应用1 . 如图，在四边形 ABCD中, AC=BD=6 E F、G H分别是 AB BC CD DA的中点,贝y eG+fH=2顺次连接四边形是（ ）A.菱形C.矩形阅读材料：我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型， 通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形 形、等腰梯形等）来逐步认识四边形 我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识请解决以下问题：（1）如图，我们把满足 AB=AD CB=CD1 AB BC的四边形 出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外）B

2、.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形3.ABCA定来逐步认识这个事物.比如我们（继续学习它们的特殊类型如矩再探索发现其性质和判ABCD叫做“筝形”，写并选出一个进行证明备用图1（写性质用）备用图2（写判定方法用）备用图3（证明判定方法用）专题二4.矩形的性质、如图，将矩形点C处，点D落在D处，其中M是BC的中点连接AC、 三角形的个数是（）.2C判定及应用ABCD寸折,得折痕PQ再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的BC，则图中共有等腰5. 如图，P是矩形ABCDF方一点，将 PCD绕P点顺时针旋转60。后恰好使D点与A 点重合，得到 PEA连接EB ABE是什么特殊三角形请说明理

3、由 6.如图，在梯形 ABCDK AD如图，矩形ABCD勺对角线相交于点 ADO,DE/ AC CE/ BD(1)求证：四边形 OCE是菱形；(2)若/ ACB= 30 ，菱形OCE啲面积为8.一 38. 如图，矩形 ABCD中，点P是线段AD上一动点，0为BD的中点，PO的延长线交B 于Q.(1) 求证：OP=OQ(2) 若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD 是菱形.专题三正方形的性质、判定及应用9. 正方形ABCD以CD为边作等边 CDE则/ AED的度数是.10. 如图

4、，在一张厶ABC纸片中，/ C=90，/ B=60 , DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：邻边不等的矩形； 等腰梯形；有一个角为锐角的菱形；正方形那么以上图形一定能被拼成的个数为（）11.A. 1B. 2C. 3D. 4长为1，宽为a的矩形纸片（-2a 1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）;再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个0C边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为第二次操作12.从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正

5、方形后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图），可以拼成一个平行四边形（如图）.现有一平行四边形纸片 ABCD如图），已知/ A= 45, AB= 6, AD= 4.若将该纸片按 图方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图方式拼图，则得到的大正方形的面积图AB图图【知识要点】1. 几种特殊四边形的性质和判定：(1) 特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质 (2) 判别菱形：说明是平行四边形+邻边相等；说明是平行四边形+对角线垂直；四条边相等。判定矩形：说明是平行四边形+90角；说明是平行四边形+对角线 相等；有三个90角。判定正方形：说明是菱形+90角；说明是矩形+邻边

6、相 等；两条对角线互相平分垂直且相等的四边形2. 几种特殊四边形的面积问题：(1)设矩形ABCD勺两邻边长分别为 a,b，则S矩形=ab.( 2)设菱形ABCD的一边长为a,高为h,贝U S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，贝U S1 一 2 一菱形=ab.(3)设正方形 ABCD的一边长为a，则S正方形=a ；若正方形的对角线的长为a,21 2 1则S正方形=a . (4)设梯形ABCD的上底为a,下底为b，高为h,则S梯形=(a b)h .2 2【温馨提示】(1) 矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时， 则构成一个等边三角形； 在判定矩形时，要

7、注意利用定义或对角线来判定时， 必须先证明此 四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。 很多同学容易忽视这个问题 (2) 在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，？通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决.正方形的性质很多， 要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷.【方法技巧】面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此， 熟悉它们的面积的计算方法是十分必要的.答案1.36 【解析】如图，连接 EF, FG, GH EH, EG与FH相交于点O./ E、H分别是 AB DA的中点， EH是厶ABD的中位

8、线.111 EH=BD=3.同理可得 EF=GHAC=3 FGBD=3.222 EH=EF=GH=FG=3.四边形 EFGH为菱形. EGL HF,且垂足为 O. EG=2OE FH=2OH.在Rt OEH中，根据勾股定理得：OE+OH=E#=9.22等式两边同时乘以 4得：4OE+4OH=9X 4=36.( 2OE 2+ (2OH 2=36,即 E(G+FHf=36.2. D 【解析】如下图所示：顺次连接任意四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理，易得HG/ AC/ EF,且HG1 AC EF，则HG与EF平行且相等，所以四边形 EFGH2当且仅当 AC= BD时，HB HG此时口

9、EFGH为菱形,一定是平行四边形， 又HE 1 BD ,2BD相等即可.所以，只要四边形 ABCD寸角线AC3. 解：以下任意两条性质即可：（1）只有一组对角相等（或者/ B=Z D Z AZC）;（2）只有一条对角线平分对角；（3）两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一 条平分：（4）两组对边都不平行.以下任意两判定方法即可：（1）只有一条对角线平分对角的四边形是筝形；（ 2） 两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形；（3） ACL BD , Z B=Z D,Z AZC ; （4） AB=AD,Z B=Z D, Z AZC ; （ 5 ） AC 丄 BD, AB= AD.Z AZC

10、 . 判定方法1的证明：己知：在四边形 ABCD，对角线 AC平分Z BAD和Z BCD对角线 BD不平分Z B 和Z D.求证：四边形ABCD为筝形.证明：Z BACZ DACZ BCAZ DCAAC=AC, ABCA =AD CB=CD易知 AC 丄 BD .又 Z ABDZ CBD Z BACZ BCA , AB BC 由、知四边形 ABCD筝形.其他方法请大家自己证明.4. C 【解析】将矩形ABCD寸折，得折痕PQ P、Q分别是AB CD的中点，PQ/ AD / BC PQ垂直平分 AB所以AC = BC , ABC是等腰三角形； M是BC中点， 折叠使 C落在 C , MC= MC

11、= MB Z CMF= C MF= MFC，故 MBC、A MFC都是 等腰三角形.5. 解： ABE是等边三角形，理由如下:因为 PEA是将 PCD绕P点顺时针旋转60后得到的， 所以 PEAA PCD且AE与DC所夹的锐角为60,所以AE= DC.又因为四边形 ABC虎矩形，所以 DC= AB且 DC/ AB所以 AE= AB且/ EAB= 60,所以 ABE是等边三角形.6. 解：（1）证明：连接BD./ DEI BC EF=DE BD=BF, CD=CF在梯形 ABC中, AD.H解：（1）证明： DE/ OC , CE/ OD 四边形 OCE是平BE EF行四边形.四边形ABC是矩形

12、， AO= OC= BO= OD 四边形OCE是菱形.(2)vZ ACB=30,DCO= 90 30 = 60 .又 OD= OC,OC是等边三角形.1过 D作 DF丄 OC于 F ,贝U CF= OC 设 CF= x,贝U OC= 2x , AC= 4x ,2在Rt DFC中 DF 、3x ,由已知菱形 OCE啲面积为8.、3得OC DF= 8 3 ,即 2x , 3x 8 3,解得 x= 2, AC= 4 2 = 8 .8. 解：(1)证明：r四边形ABCD是矩形， AD/ BC./ PDO2 QBO.又 OB=OD / POD2 QOB PODA QOB - OP=OQ.(2) PD=8

13、-t 四边形 ABCD是矩形，/ A=90 ./ AD=8cm AB=6cm, BD=10cm - OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时,又/ ODP2 ADB ODPA ADB.OD AD 刚 5,即PD BD 8 tPQ丄 BD,POD2 A.810解得t 7,即运动时间为 7秒时，四边形PBQD是菱形449. 15。或75 【解析】 如下左图，当点 E在正方形 ABCD外时，在 ADE中，AD=DE/ ADE=90 +60 =150,所以/ AED=1 180 15015 ；如下右图，当点 E在正方2形 ABCD内时，在 ADE中, AD=DE / ADE=90 60 =30 ，所以/

14、 AED=1=1803075 2110. C 【解析】/ DE是厶 ABC的 中位线， DE/ BC 且 DE=上 BC v/ C=90 , / B=60,2 AB= 2BC, AE= BE= BC 又/ C= 90,. AC AB DC BE.如图(1)，把 ADE绕 点E旋转180,使AE与BE重合，由题意可得/ C=/ D=/ F= 90 ,则四边形BCDF 是矩形，且CD BC,所以构成邻边不等的矩形，则成立如图(2)，把 ADE绕点D旋转180 ，使AD与CD重合，由题意可得 BC= BE= EM= MC则四边形BCME是菱 形，且/ B= 60为锐角，则成立.如图 (3)，移动 A

15、DE使A与D重合，D与C 重合，点E在BC的延长线上，由题意可知 DE/ BN且DEM BN,所以四边形 BNDE是 梯形，又DN= BE所以梯形BNDE是等腰梯形，则成立因拼成矩形只有图(1) 一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则不成立.AB=BF=a,贝U CF=CH=1 - a, DH=a- (1 - a),解得 a 3 .11. 或3【解析】第一种情况，如左图,54(1- a) =2a- 1,四边形EGNM口四边形 MNH都是正方形，所以 2DH=CF,即32 (2a- 1) =1 - a,解得 a=3 .第二种情况，如右图， AB=BF=a，贝U CF=CH=1 - a, 5四边形