2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷 （解析版）

1、2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）1已知a=（x，3），b=（3，1），且ab，则x（）A9B9C1D12若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30，则a在b方向上的投影为（）A2B3C23D43在ABC中，a3，b5，sinA=13，则sinB（）A15B59C53D14在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3+a4+a5（）A33B72C84D1895在ABC中，A90，AB=(2-k，2)，AC=(2，3)，则k的值是（）A5B5C32D-326ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若sinB-sinAsinC=

2、3a+ca+b，则角B的大小为（）A6B56C3D237下列命题正确的是（）A若ab=bc，则a=cB|a+b|=|a-b|，则ab=0C若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量D若a0与b0是单位向量，则a0b0=18如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB，且BP=3PA，则（）Ax=23，y=13Bx=13，y=23Cx=14，y=34Dx=34，y=149已知ABC中，a=5，A=3，b+c=2bc，则ABC的面积为（）A58B34C3D53810九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月

3、织九匹三丈（1匹40尺，一丈10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A12尺B815尺C1629尺D1631尺11一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A5海里B53海里C10海里D103海里12已知函数f(x)=x+3sin(x-12)+12，则f(12019)+f(220

4、19)+f(20182019)=（）A2018B2019C4036D4038二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13在ABC中，若abc，且c2a2+b2，则ABC为 三角形14若向量a、b满足|a|=2，|b|=3，且a与b的夹角为4，则(a-b)2= 15数列an的前n项的和Sn3n2+n+1，则此数列的通项公式 16已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA+PB+PC=0且AB+AC=mAP，那么实数m的值为 三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17求与向量a=(1，2)，b=(2，1)夹角相等的单位向量c的坐标18设A

5、BC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosAsinAcosC+cosAsinC（）求角A的大小；（）若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长19已知等差数列an满足：a12，且a1、a2、a5成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由20已知数列an满足a11，an+1=2anan+2（1）求证数列1an为等差数列；（2）设bnanan+1，求数列bn的前n项和Tn21在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（ac）（sinA+sinC）+（ba）

6、sinB0（1）求C；（2）若c2，2sin2A+sin（2B+C）sinC，求ABC的面积22已知各项均为正数的数列an满足an+12an+1an2an20（nN*），且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式an；（2）若bnanlog12an，Snb1+b2+bn，求Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1已知a=（x，3），b=（3，1），且ab，则x（）A9B9C1D1【分析】利用向量共线定理即可得出解：向量ab，9x0，解得x9故选：A【点评】本题

7、考查了向量共线定理，属于基础题2若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30，则a在b方向上的投影为（）A2B3C23D4【分析】本题根据向量a在b方向上的投影公式为ab|b|，然后代入进行向量的计算可得正确选项解：由题意，可知向量a在b方向上的投影为ab|b|=|a|b|cos30|b|=42322=23故选：C【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属基础题3在ABC中，a3，b5，sinA=13，则sinB（）A15B59C53D1【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值解：a3，b

8、5，sinA=13，由正弦定理得：sinB=bsinAa=5133=59故选：B【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3+a4+a5（）A33B72C84D189【分析】根据等比数列an中，首项a13，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案解：在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21故3+3q+3q221，q2，a3+a4+a5（a1+a2+a3）q2212284故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的性质要理解和记忆好等

9、比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用5在ABC中，A90，AB=(2-k，2)，AC=(2，3)，则k的值是（）A5B5C32D-32【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值解：ABC中，A90，AB=(2-k，2)，AC=(2，3)，ABAC=2（2k）+320，求得k5，故选：A【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题6ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若sinB-sinAsinC=3a+ca+b，则角B的大小为（）A6B56C3D23【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2b2=-3ac，由余弦定理可得cos

10、B=-32，结合范围B（0，），即可解得B的值解：在ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，可得：sinB=b2R，sinA=a2R，sinC=c2R，sinB-sinAsinC=3a+ca+b，可得：b-ac=3a+ca+b，整理可得：c2+a2b2=-3ac，由余弦定理可得：cosB=c2+a2-b22ac=-32，B（0，），B=56故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7下列命题正确的是（）A若ab=bc，则a=cB|a+b|=|a-b|，则ab=0C若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是

11、共线向量D若a0与b0是单位向量，则a0b0=1【分析】当b=0 时，可得A、C不正确，把|a+b|=|a-b| 平方可得 ab=0，得到B正确，根据 a0b0=11cosa0，b0，可得D不正确解：当b=0 时，ab=bc 成立，而a与c 的大小和方向都是不确定的，故A不正确由|a+b|=|a-b| 可得 a2+b2+2ab=a2+b2-2ab，ab=0，故B正确当b=0 时，a与b是共线向量，b与c是共线向量，但a与c的大小和方向都是不确定的，故C不正确若a0与b0是单位向量，则a0b0=11cosa0，b0=cosa0，b0，故D不正确故选：B【点评】本题考查两个向量共线的定义和性质，两

12、个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点8如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB，且BP=3PA，则（）Ax=23，y=13Bx=13，y=23Cx=14，y=34Dx=34，y=14【分析】由BP=3PA，利用向量三角形法则可得OP-OB=3(OA-OP)，化为OP=34OA+14OB，又OP=xOA+yOB，利用平面向量基本定理即可得出解：BP=3PA，OP-OB=3(OA-OP)，化为OP=34OA+14OB，又OP=xOA+yOB，x=34，y=14故选：D【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9已

13、知ABC中，a=5，A=3，b+c=2bc，则ABC的面积为（）A58B34C3D538【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出解：由余弦定理a2b2+c22bccosA，5b2+c2bc（b+c）23bc2（bc）23bc，解得bc=52，或bc1（舍去），SABC=12bcsinA=125232=538，故选：D【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题10九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹40尺，一丈10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用

14、功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A12尺B815尺C1629尺D1631尺【分析】利用等差数列的求和公式即可得出解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列an，a15（尺），S30940+30390（尺），设公差为d（尺），则305+30292d=390，解得d=1629故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船

15、的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A5海里B53海里C10海里D103海里【分析】如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，由此能求出这艘船的速度解：如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是50.5=10（海里/小时）故选：C【点评】本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用12已知函数f(x)=x+3sin(x-12)+12，则f(12019)+f(22019)+f(20182019)

16、=（）A2018B2019C4036D4038【分析】根据题意，求出f（1x）的解析式，进而可得f（1x）+f（x）2，又由f(12019)+f(22019)+f(20182019)=f（12019）+f（20182019）+f（22019）+f（20172019）+f（10092019）+f（10102019），分析可得答案解：根据题意，函数f(x)=x+3sin(x-12)+12，则f（1x）（1x）+3sin（12-x）+12=32-x3sin（x-12），则f（1x）+f（x）2，f(12019)+f(22019)+f(20182019)=f（12019）+f（20182019）+f（

17、22019）+f（20172019）+f（10092019）+f（10102019）100922018故选：A【点评】本题考查函数值的计算，注意分析f（x）+f（1x）的值，属于基础题一、选择题13在ABC中，若abc，且c2a2+b2，则ABC为锐角三角形【分析】利用余弦定理即可得出解：c2a2+b2，cosC=a2+b2-c22ab0，C为锐角abc，C为最大角ABC为锐角三角形故答案为：锐角【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题14若向量a、b满足|a|=2，|b|=3，且a与b的夹角为4，则(a-b)2=1362【分析】根据条件可求出ab=32，然后进行数量积的运算即可求出(a-

18、b)2的值解：|a|=2，|b|=3，且a与b的夹角为4，ab=2322=32，(a-b)2=a2+b2-2ab=4+9-62=13-62故答案为：13-62【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题15数列an的前n项的和Sn3n2+n+1，则此数列的通项公式an=5，(n=1)6n-2，(n2)【分析】首先根据Sn3n2+n+1求出a1的值，然后根据anSnSn1求出当n时数列的递推关系式，最后计算a1是否满足该关系式解：当n1时，a15，当n2时，anSnSn13n2+n+13（n1）2n+116n2，故数列的通项公式为an=5，(n=1)6n-2，(n2)

19、，故答案为an=5，(n=1)6n-2，(n2)【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用anSnSn1求出数列的通项公式，此题难度一般16已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA+PB+PC=0且AB+AC=mAP，那么实数m的值为3【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论解：由题意，根据向量的减法有：AB=PB-PA，AC=PC-PA，AB+AC=mAP（PB-PA）+（PC-PA）mPA；（m2）PA+PB+PC=0，PA+PB+PC=0，m21，m3故答案为：3【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，

20、属于基础题三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17求与向量a=(1，2)，b=(2，1)夹角相等的单位向量c的坐标【分析】设c=(x，y)，则cosa，c=cosb，c可得x+2y=2x+yx2+y2=1，解方程可求解：设c=(x，y)，则cosa，c=cosb，cx+2y=2x+yx2+y2=1x=22y=22或x=-22y=-22c=(22，22)，c=(-22，-22)【点评】本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosAsinAcosC+c

21、osAsinC（）求角A的大小；（）若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长【分析】（）根据2sinBcosAsinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosAsin（A+C），从而可得2sinBcosAsinB，由此可求求角A的大小；（）利用b2，c1，A=3，可求a的值，进而可求B=2，利用D为BC的中点，可求AD的长解：（）2sinBcosAsinAcosC+cosAsinC2sinBcosAsin（A+C）A+CBsin（A+C）sinB02sinBcosAsinBcosA=12A（0，）A=3；（）b2，c1，A=3a2b2+c22bccosA3b2a2+c2B=2D为BC的

22、中点，AD=12+(32)2=72【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角19已知等差数列an满足：a12，且a1、a2、a5成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列的前n项和公式可得Sn，再利用一元二次不等式的解法即可得出解：（1）设等差数列an的公差为d，a12，且a1、a2、a5成等比数列a22=a1a5，即（2+d）22（2+4d），解得d0或4an2，或an2

23、+4（n1）4n2（2）当an2时，Sn2n，不存在正整数n，使得Sn60n+800当an4n2时，Sn=n(2+4n-2)2=2n2，假设存在正整数n，使得Sn60n+800，即2n260n+800，化为n230n4000，解得n40，n的最小值为41【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知数列an满足a11，an+1=2anan+2（1）求证数列1an为等差数列；（2）设bnanan+1，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项

24、相消法的应用求出数列的和解：（1）数列an满足a11，an+1=2anan+2整理得anan+12an2an+1，故1an+1-1an=12（常数），所以数列1an是以1为首项，12为公差的等差数列（2）由于数列1an是以1为首项，12为公差的等差数列所以1an=1+12(n-1)=n+12，故an=2n+1所以bn=anan+1=2n+12n+2=4(1n+1-1n+2)，则：Tn=4(12-13+13-14+1n+1-1n+2)=4(12-1n+2)=2-4n+2【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

25、于基础题型21在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（ac）（sinA+sinC）+（ba）sinB0（1）求C；（2）若c2，2sin2A+sin（2B+C）sinC，求ABC的面积【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C的值（2）利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积解：（1）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（ac）（sinA+sinC）+（ba）sinB0利用正弦定理得：（ac）（a+c）+（ba）b0，整理得：a2c2+b2ab0，即cosC=a2+b2-c22ab=12，由于0C，所以：C=3（2）由于2sin2A+sin（2B+C）sinC，整理得2sin2A+sin（22AC）sinC，化简得：32sin2A-32cos2A=32，所以sin(2A-6)=12，由于0A23，所以-62A-676故2A-6=6或56，解得A=6或2，当A=6时，由于C=3，所以B=2，且c2，则利用勾股定理设ax，b2x，故：（2x）2x24，解得x=233，所以SABC=122332=233当A=2时，C=3，所以B=6同理解得b=233所以SABC=1223