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文档简介

1、求函数周期的方法、定义法周期函数的定义：设函数f(x)定义在数集D上，假设存在常数T0, x D, 且f(x+T)=f(x),那么f x为周期函数，称其 中最小的正常数T为最小正周期。例1 :求函数y =| sinx | + cosx的最小正周期.例2：求函数y Sin2x的最小正周期 根据定乂 T 0,因为 sin2 x T sin2 x 0 ,2x T T 2x T T2sin cos 2cossin 02 2 2 2sin 2x T sin T 0 ,由此可得 sin 2x T 0 或者 sinT 0由于sin2x T 0的通解为T K 2x，显然它是依赖于x,因此求不出依赖于的非零常数

2、解，即这样的 T不能作为周期。由sinT 0 ,得最小的非零正数解为 T ，即它不依赖于x ,所以y sin2x是周期 函数，且其周期为T .性质结论：(1 )假设T是y f(x) , x A的周期， 那么T也是y f(x)的周期.(2)假设T是y f(x),x A的周期， 且x nT A(n Z)，那么nT也是y f(x)的周期.(3 ) 设f(x)有最小正周期T，那 么除K ) 外，函数f(x)无其他周期。(4) 假设f x是周期函数，贝U |f x |也是周期函数，反 之不正确。(5) 假设fx 是定义在， 上的周期函数，且1f x 0,贝U 1也是周期函数，且与f x相同的周期。f x

3、(6) 假设f x 是定义在 ， 上的周期函数，且f x 0，贝u 1也是周期函数，且与f x相同的周期。f x(7) 可导的周期函数的导函数也是周期函数。又假设对于原函数T存在的连续的周期函数f(x)(T是其最小正周期)有，0 f(x)dx 0 ， 贝U其原函数也是周期函数，且它们的周期相同。(8) 设 x是以T为周期的周期函数，f(x)是任意函数， 那么复合函数fx必也是以T 为周期的周期函数，此时f x的最小正周期不一定就是x的最小正周期。例：f x sin 2x可看成g2, sin x复合而成，显然sin2 x的最小正周期 T0，而sin x的最小正周期T0 2、最小公倍数法假设函数f

4、(x)与g(x)都是定义在D上的周期函数，周期分别为T与T2，且卫a，a为有理数，那么f g, fgg,上都是D上的周期函数，其周期T为T与4-，为有理数，所以f(x)也5T2gT2的最小公倍数。例 3 : f x4cos 5sin兰，因为cos与sin上都是周期函数，4545且最小正周期分别为T =8 ，T2=10TiT2是周期函数，且最小正周期为40三、图像法例4：求函数y 2sin(x 3) 1的最小正周期 (2)四、公式法例5：求函数f(x) conn謄的最小正周期 ()五、单位圆法例6：求函数y警的最小正周期()1 tan x六、等周期法理论依据：假设对于任意的x M ,都有 g x T g(x) f (x T) f(x), 且函数 f(x) x M 的最小正周 期为

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