线性代数线性方程组的解PPT学习教案

1、会计学1线性代数线性方程组的解线性代数线性方程组的解2第1页/共35页3元元齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要条条件件是是系系数数矩矩定定理理阵阵的的秩秩2( ).m nnRxnAAO ABAxb 如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵和和增增广广矩矩阵阵的的秩秩，讨讨论论线线性性方方程程组组的的解解问题：有有非非零零解解不不可可逆逆0( )n nA x OAAR An 只只有有零零解解可可逆逆0( )n nA x OAAR An 第2页/共35页4111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax m nAxO 则则

2、 存存在在 阶阶非非零零子子式式(),rR ArArD 同同解解于于rAxOD xO 第3页/共35页5证必要性.AxO 设设方方程程组组有有非非零零解解，nm 当当时时, ,此此时时方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解。且且有有( )min, .R Am nmn元元齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要条条件件是是系系数数矩矩定定理理阵阵的的秩秩2( ).m nnRxnAAO , ,用用反反证证证证明明当当。时时法法nm ( )min, ,( ).R Am nR An假假设设，( )R An 子子式式，0nD方方程程只只有有零零解解. .nD xO于是，方程组Ax=O只有零

3、解.( ).R An第4页/共35页6如如：21 03203 125,00 04300 000A 充分性只只含含 个个非非零零行行，Br初初等等行行变变换换设设，行行阶阶梯梯型型矩矩阵阵( )()R Arn AB rn ，故故而而有有无无穷穷多多组组解解。元元齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要条条件件是是系系数数矩矩定定理理阵阵的的秩秩2( ).m nnRxnAAO 同同解解于于.AxOBxO 12600 x 第5页/共35页7证必要性,有解设方程组bAx 则B的行简梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0=1.元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有解解的的充充要要条条

4、件件是是系系数数矩矩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵| | 的的秩秩定定理理)3(.m nnBAxAbAb 所以，方程组无解 .( )( ),R AR B 设设( )( ).R AR B 于于是是，有有 解解( )( | )Ax bRARA b 第6页/共35页8充分性.Br则则 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中含含 个个非非零零行行，,rn nrn 个个未未知知数数，有有个个方方程程。故故而而有有解解。元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵| | 的的秩秩定定理理)3(.m nnBAxAbAb ( )min ,

5、 ,R Am n 设设 ( )( ),R AR Br 第7页/共35页9如如：21 03203125(| ),00 04300 000BA b 3476034x 同同解解于于124234423232543xxxxxxx 第8页/共35页10总结2、非齐次线性方程组 解的情况：( )( )R AR Br ( )( )R AR B m nAxb 有有唯唯一一解解。m nAxb 有有无无穷穷多多组组解解。m nAxb 无无解解。方方程程组组有有解解rnrn 1、齐次线性方程组 解的情况：( )R An m nAxO 只只有有零零解解。( )R An m nAxO 有有无无穷穷多多组组解解。m nAx

6、O m nAxb 第9页/共35页11总结（方阵的情形）2、非齐次线性方程组 解的情况：1、齐次线性方程组 解的情况：( )R An 只只有有零零解解n nAxO ( )R An 有有无无穷穷多多组组解解m nAxO 0A 0A ( )R An 有有唯唯一一解解n nAxb 0A ( )( )R AR B 无无解解n nAxb 0A ( )( )R AR B 无无穷穷多多解解n nAxb n nAxO n nAxb 第10页/共35页12nr 含含个个参参数数的的方方程程组组的的任任一一解解，称称为为线线性性方方程程定定义义：组组的的通通解解二、线性方程组的解法1、齐次线性方程组：2、非齐次线

7、性方程组：行行初初等等行行变变换换行行阶阶梯梯型型矩矩阵阵A初初等等行行变变换换行行阶阶梯梯型型矩矩阵阵判判断断( | ),( ), ( ).BA bR A R B 第11页/共35页13例1 求解齐次线性方程组12341234123420,2220,430.xxxxxxxxxxxx 解122121221143A A对对系系数数矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换。1221 122rr 13rr 0364 0364 12210364 23rr 000012210000 2( 3)r 40123第12页/共35212rr 51023于是，同解的方程组为134234520

8、,3420,3xxxxxx 13423452,342,3xxxxxx ，( )24R An 该该齐齐次次方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解。第13页/共35页15通通解解为为3412343433445522334242331001xxxxxxxxxxxx 令令，3241,xcxc 1252324.31001cc 13423452,342,3xxxxxx 第14页/共35页16求求解解齐齐次次线线性性方方程程组组练 习124512412345123452033702320222730 xxxxxxxxxxxxxxxxx 解：11021330701123222273A 12133rrrr 142

9、rr 11 0 2 1 00013 0021100235 第15页/共35页1732rr24rr 11 02 1 00013 00211342rr 11 0 21002 11000 13 0000022r 11007001020001300000 2313,2rr rr 00026 简梯形矩阵( )35,R A 该该齐齐次次方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解。第16页/共35页18得同解方程组1253545702030 xxxxxxx 可可任任意意取取值值25(,).x x125354572,3xxxxxxx 令令，2251,xcxc 121710.020301cc 通通解解为为125223

10、52545557171020230301xxxxxxxxxxxxx 第17页/共35页19例 求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换，12 31 1( | )31 53 22 1 22 3BA b 123rr 132rr 12 31 1 0 54 01 0 54 0 1 23rr 1231105401 00002( )2( )3,R AR B 故而该非齐次方程组无解第18页/共35页20例 求解非齐次方程组的通解123412341234031.231/2xxxxxxxxxxxx 解 对增广矩阵B进行初等

11、变换1 11 10( | )1 1 1311 1 2 312B Ab 12rr 13rr 111 1 0 00241 10012232rr232rr 111 10 000001001222( 1)r 00000 100122 21rr 111012简梯形矩阵第19页/共35页21得同解方程组：1243412122xxxxx 12243411121000212010 xxxxxx 方程组的通解为1242234441/221/2xxxxxxxxx ( )( ) 23,R ARBn 故方程组有无穷多组解121112100.0212010cc 令令2142,xcxc 第20页/共35页22解解线线性性

12、方方程程组组练 习123412341234124235223431321xxxxxxxxxxxxxxx 解B对对增增广广矩矩阵阵 作作初初等等行行变变换换，12 1352 11 12( | )3 43111 3021BA b 32114123rrrrrr 12 1 3 5 0 1061016 0 5358 0 5156 第21页/共35页2323242rrrr 12 1350 5358 000000020243rr12 1350 5358 0000000202( )( )34R AR Bn由由于于, ,故方程组有无穷多组解.3225rr 1213500000 00101380 11551232

13、3352rrrrr 0010100000 0 1011 10012第22页/共35页24得同解方程组：14243211xxxxx 1211.0110c 令令4xc 通通 解解 为为1424434421211110110 xxxxxxxx 第23页/共35页25例 证证明明方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件是是在在有有解解的的情情况况下下，求求出出它它的的一一切切解解121232343454515123450.xxaxxaxxaxxaxxaaaaaa 解有有解解( )( )AxbR AR B第24页/共35页2612345rrrrr 123411000011000011000011aaaa

14、 5100000nna 12345110000110000110( | )0001110001aaaBA baa ( )( )R AR B 即即非齐次线性方程有解，123450.aaaaa 方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件是是第25页/共35页27得同解方程组 454343232121axxaxxaxxaxx112345223453345445xaaaaxxaaaxxaaxxax 5()x 为为任任意意实实数数5xc 令令，112342234334441111xaaaaxaaacxaaxa 通解为：第26页/共35页28例 设有线性方程组12312321231xxxxxxxxx ？,?

15、 问问 取取何何值值时时 无无解解有有解解 有有无无穷穷多多个个解解并并在在有有解解时时求求出出解解。解21 11( | )111 1BA b 21rr211 11 111 1213rrrr 11 2011220111第27页/共35页29(1)1 , 当当时时 000000001111B( )( )13,.R AR B 方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解同解方程组为12322331xxxxxxx 23(,)xx 为为任任意意实实数数令令2132,xc xc 12111100010cc 1231xxx 12233111010001xxxxx 第28页/共35页30当当时时(2)1 , 223

16、(1)(1)rr 11 011 10111 B23rr 1110 111 20011 1)2 当当时时, ,1 12 4 03 360 003B ( ) 2( ) 3,R ARB 方方程程组组无无解解。第29页/共35页31时时方方程程组组有有唯唯一一解解. .2)2 , ( )( )3,R AR B 212311(1),.222xxx 同同解解方方程程组组为为123233111211xxxxxx 第30页/共35页32 , , 取取何何值值时时，方方程程组组练 习1312312321322xxxxxxxx 无无解解？有有唯唯一一解解？有有无无穷穷多多解解？并并在在有有解解时时，求求出出方方程程的的解解。解1021( | )1 13 221BA b 32112rrrr 1021 0142 0111 23rr 10210111 0 053 1)5,3 当当时时，方方程程无无解解。( )2( )3,R AR B 第31页/共35页332)5 当