人教版高中数学必修第二册课后巩固练习第八章测评《(含解析)

1、第八章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知边长为1的菱形ABCD中,A=3,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为() A.32B.34C.66D.68答案D解析在菱形ABCD中,AB=1,A=3,则菱形的面积为S菱形ABCD=2SABD=21211sin3=32.所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S=24S菱形ABCD=68.2.如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4,则这个圆锥的体积为()A.153B.833C.153D.833答案C解析圆锥的侧面展开图为扇形,此扇

2、形的半径R=4,设其弧长为l,侧面积为扇形的面积,所以扇形的面积S1=12Rl=4,解得弧长l=2,所以圆锥的底面周长为2,由此可知底面半径r=1,所以底面面积为S=,体高为h=15,故圆锥的体积V=13Sh=153.3.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30B.60C.90D.120答案C解析如图,由AB=BC=1,ABC=90知AC=2.M为AC的中点,MC=AM=22,且CMBM,AMBM,CMA为二面角C-BM-A的平面角.AC=1,MC=MA=22,CMA=90,故选C.4.如图,

3、在四边形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A.(60+42)B.(60+82)C.(56+82)D.(56+42)答案A解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=r22+(r1+r2)l2+r1l1=52+(2+5)5+222=(60+42).故选A.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105答案D解析在平面A1B1C

4、1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.C1EB1D1C1EBB1C1E平面BDD1B1,C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.BC1=22+12=5,C1E=2222=2,sinC1BE=C1EBC1=25=105.6.已知:平面平面,=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和平面内,且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13B.151C.123D.15答案A解析如图,连接AD.,AC,DB.在RtABD中,AD=AB2+BD2=42+122=160=410.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=32+160=13.7.在空间四边形ABCD中,

5、AD=2,BC=23,E,F分别是AB,CD的中点,EF=7,则异面直线AD与BC所成角的大小为()A.150B.60C.120D.30答案D解析如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EOAD,FOBC,则EOF是AD,BC所成的角或其补角,又EO=12AD=1,FO=12BC=3,EF=7,根据余弦定理,得cosEOF=1+3-723=-32,所以EOF=150,异面直线AD与BC所成的角为30.8.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,PA底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为92的同一球面上,则PA的长为()A.3B.2C.1D.12答案C解析连接AC,BD

6、交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OEPA.PA平面ABCD,OE底面ABCD,可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,可得R=12PC=12PA2+8,可得4312PA2+83=92,解得PA=1.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是()A.若,=n,mn,则mB.若m,n,mn,则C.若m,n,mn,则D.若n,n,m,则m答案ABC解析选项A的已知条件中加上m,那么命题就是正确的,也就是

7、面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n,n可得,又因为m,所以m.10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列四种说法中正确的是()A.C1MACB.BD1ACC.BC1与AC所成的角为60D.CD与BN为异面直线答案BCD解析由正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1D1和AA1的中点,可知:在A中,ACA1C1,A1C1C1M=C1,C1M与AC是异面直线,

8、故A错误;在B中,ACDD1,ACBD,BDDD1=D,AC平面BDD1,又BD平面BDD1,故BD1AC,故B正确;在C中,ACA1C1,BC=A1C1=BA1,BC1与AC所成的角为60,故C正确;在D中,CDAB,ABBN=B,故CD与BN为异面直线,故D正确.故选BCD.11.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是()A.PD平面OMNB.平面PCD平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90D.ONPB答案ABD解析连接BD,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PDON,由线面平行的判定定理可得,

9、PD平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MNAB,又底面为正方形,所以ABCD,所以MNCD,由线面平行的判定定理可得,CD平面OMN,又由选项A得PD平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD平面OMN,B正确;因为MNCD,所以PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以PDC=60,故直线PD与直线MN所成角的大小为60,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PBPD,又PDON,所以ONPB,D正确.故选ABD.12.(2020届山东模拟考)正方体ABCD-A1B1C1D1的

10、棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC解析AD1EF,平面AEF即平面AEFD1,故A错误.A1GD1F,A1GAEFD1,A1G平面AEFD1,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为98,故C正确.点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆柱的高是8 cm,表面积是130 cm2,则它的底面圆的半径等于cm,

11、圆柱的体积是cm3.答案5200解析设圆柱的底面圆的半径为r cm,则S圆柱表=2r8+2r2=130.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.圆柱的体积V=528=200(cm3).14.如图,已知平面平面=l,EA,垂足为A,EB,垂足为B,直线a,aAB,则直线a与直线l的位置关系是.答案平行解析EA,平面平面=l,即l,lEA.同理lEB.又EAEB=E,l平面EAB.EB,a平面,EBa.又aAB,EBAB=B,a平面EAB,al.15.已知在菱形ABCD中,AB=2,A=120,沿对角线BD将ABD折起使二面角A-BD-C为120,则点A到BCD所在平面的距离为.答案32解析设A

12、CBD=O,则翻折后AOBD,COBD,即AOC即为二面角的平面角,所以AOC=120,且AO=1,故d=1sin 60=32.16.(2019全国高考)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3 cm,则

13、此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且CFBF=CGDG=12.求证:(1)四边形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.证明(1)E,H分别是边AB,AD的中点,EHBD,且EH=12BD,又CFCB=

14、CGCD=13,FGBD,且FG=13BD,因此EHFG且EHFG,故四边形EFGH是梯形.(2)由(1)知EF,HG相交,设EFHG=K,KEF,EF平面ABC,K平面ABC,同理K平面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,KAC,故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.18.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时A1

15、MAM的值.解沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1B(如图).(1)矩形BB1B1B的长为BB=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为62+22=210.(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1=42+22=25.显然RtABMRtA1C1M,所以A1M=AM,即A1MAM=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为25,此时A1MAM的值为1.19.(12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m

16、.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积为V1=13Sh=1316224=2563(m3).若按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积为V2=13Sh=1312228=96(m3).(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.圆锥的母线长为l1=82+42=45(m),则仓库的表面积为S1=845

17、=325(m2).若按方案二,仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l2=62+82=10(m),则仓库的表面积为S2=610=60(m2).(3)V1V2,S2S1,方案二比方案一更加经济.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC=AD=CD=12AB=2,ABDC,ADCD,PC平面ABCD.(1)求证:BC平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥N-AMC的体积.(1)证明连接AC,在直角梯形ABCD中,AC=AD2+DC2=22,BC=(AB-CD)2+AD2=22,AC2+BC2=AB2,即BCAC

18、.PC平面ABCD,BC平面ABCD,BCPC.又ACPC=C,BC平面PAC.(2)解点N是PB的中点,理由如下:点M为PA的中点,点N为PB的中点,MNAB,又ABDC,MNCD,M,N,C,D四点共面,即点N为过C,D,M三点的平面与线段PB的交点.BC平面PAC,N为PB的中点,点N到平面PAC的距离d=12BC=2.如图所示,SACM=12SPAC=1212PCAC=14222=2,V三棱锥N-AMC=13SAMCd=1322=23.21.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.E是BC的中点,A1HAE,CA1H是异面直线AE与A1C所成角.底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,AEBC,A1