线性系统理论chapter线性系统的能控性和能观测性PPT学习教案

1、会计学1线性系统理论线性系统理论chapter线性系统的能控性线性系统的能控性和能观测性和能观测性2卡尔曼在20世纪60年代初，首先提出和研究了能控性和能观测性这两个概念；对系统控制和系统估计问题的研究具有重要性；本章以线性系统为对象，首先给出能控性和能观测性严格的数学定义；随后导出判别线性系统的能控性和能观测性的各种准则。返回第1页/共57页3研究“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映例1，例2第2页/共57页4定义4.1, 4.2 系统，对初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在t1J，t1 t0，和一个无约束容许控制u(t)，tt0，t1，使状态由x0转移到t1时x(t1)

2、 = 0，则称此x0是在t0时刻为能控的。如果从 x(t0) = 0转移到x(t1) = xf，则称此xf是在t0时刻为能达的。JtutBxtAx,)()(: 线性时变系统定义4.3 系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0 J )时刻为能控/能达的，则称系统在时刻t0是完全能控/能达的。第3页/共57页5定义4.4 系统，取定初始时刻t0J ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能控/能达的，则称系统在时刻t0是不完全能控/能达的。无约束控制：输入的每个分量的幅值不加以限制即可取为任意大到所要求的值。约束控制：输入的每个分量均是在J上平方可积的。定义4.5 系统对任意

3、初始时刻t0 J均为完全能控/能达，即系统的能控/能达性与初始时刻t0 J的选取无关，则称系统是一致完全能控一致完全能控/能达的能达的。第4页/共57页6)()()()(),()(),()()(000tutDduBttCxtttCtytt)()()()(),()()()(0tutDduBttCtytytt令00),()()(xtttCty也可写成xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(:000所谓能观测性即是研究x0的可由 的完全估计性，等价于研究u = 0时y来估计x0的可能性。y第5页/共57页7定义4.6 系统，对初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在一个有限时刻t1J，t1 t

4、0，使对所有tt0，t1有y(t) = 0，则称此x0在t0时刻是不能观测的。 定义4.7 系统，如果状态空间中的所有非零状态都不是时刻t0(t0 J )不能观测状态，则称系统在时刻t0是完全能观测的。如果对任意初始时刻t0 J均为完全能观测，则称系统是一致完全能观测的。定义4.8 系统，取定初始时刻t0J ，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能观测的，则称系统在时刻t0是不完全能观测的。返回第6页/共57页80,)(,00txtxBuAxx 方程证 充分性：Wc0,t1为非奇异，欲证系统完全能控。 构造法, 0, 0)(1011ttxtWeBtuctATTnAtAtccAtA

5、ttttAAtRxxexextWtWexedttBuexetx000011100)(01, 0, 0)()(11111110结论4.1格拉姆矩阵判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是，存在t10，使格拉姆(Gram)矩阵为非奇异。101, 0ttATAtcdteBBetWT第7页/共57页9 必要性：系统完全能控，欲证Wc0,t1为非奇异。 反证法，设Wc0,t1为奇异，则有非零 ，使0 x0, 0010 xtWxcT11020000010, 00ttATttATAtTcTdtxeBdtxeBBexxtWxTT, 0, 010ttxeBtATT 系统完全能控，对非零 ，有0 x111001)

6、()(0tAtAtAtdttBueexetx100)(tAtdttBuex1100000020)()(ttATTTtAtTdtxeBtuxdttBuexxxT00020 xx即矛盾，原题得证第8页/共57页10结论4.3PBH秩判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2, ,n)，成立 rankliI A, B = n, i=1,2, ,n或等价 ranksI A, B = n, sR结论4.4PBH特征向量判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是A不能有与B所有列相正交的非零左特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足 aTA liaT, aTB = 0的左特征向

7、量aT 0。 例结论4.2秩判据 线性时不变系统完全能控的充要条件 rank B AB An-1B = nn为A的维数，Qc=rankB An-1B为系统的能控性判别阵 第9页/共57页11结论4.5约当规范形判据 线性时不变系统特征值两两相异时，完全能控的充要条件是约当规范形中， 不包含元素全为零的行。结论4.6 能控性约当规范形判据特征值有重根 li(si重)，i=1, ,l，且(s1+ + sl) = n，完全能控的充要条件是约当规范形uBxxnlll21uBxAxB第10页/共57页12其中lpnlnnBBBJJA,1)(1)(iiiiiiipiiiiBBBJJJaa,1)(1)(ri

8、kikikprikiirrikbbbBJikikik,1121)()(ll第11页/共57页13而(ri1+ ri2+ + ) = i，由 的最后一行所组成的矩阵对i = 1,2, ,l均为行线性无关。iira), 1(iikkBaiririribbba21第12页/共57页14CxytxxAxx0,)0(,0方程结论4.12格拉姆矩阵判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是，存在t10，使格拉姆矩阵为非奇异。101, 0tAtTtAodtCeCetWT证明：充分性 构造法 必要性 反证法 类似能控性证明第13页/共57页15结论4.13秩判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是，或 ra

9、nk CT AT CT (AT)n-1 CT = nn为A的维数，Qo= CT AT CT (AT)n-1 CT为系统的能观测性判别阵。 nCACACn1rank第14页/共57页16结论4.14PBH秩判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2, ,n)，成立或等价 也即(sI - A)和C是右互质的。 ninAICi, 2 , 1,ranklCsnAsIC,rank结论4.15PBH特征向量判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是A没有与C所有行相正交的非零右特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足 的特征向量 0。 0,aalaCAia第15页/共57页

10、17结论4.16约当规范形判据 线性时不变系统特征值两两相异时，完全能观测的充要条件是约当规范形中， 不包含元素全为零的列。结论4.17 特征值有重根 li(i重)，i=1, ,l，且(1+ + l) = n，完全能观测的充要条件是约当规范形xCyxxnlll21xCyxAx, C第16页/共57页18其中lnqlnnCCCCJJA,21)(1)(iiiiiiiiqiiiiCCCCJJJaa,21)(1)(rikikikrqikiirrikcccCJikikik,1121)()(ll第17页/共57页19而(ri1+ ri2+ + ) = i，由 的第一列所组成的矩阵对i = 1,2, ,l均

11、为列线性无关。iira), 1(iikkCaiiiiccca12111,第18页/共57页20JttxtxutBxtAx000,)(,)()(方程结论4.23格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻t0完全能控的充要条件是存在t1J，t1 t0，使格拉姆矩阵为非奇异。10),()()(),(,0010ttTTcdttttBtBttttW结论4.24秩判据 线性时变系统在时刻t0完全能控的充分条件是，存在t1J，t1 t0，使成立 rank M0(t1) M1(t1) Mn-1(t1) = n其中 第19页/共57页21)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMd

12、tdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtBtMnnn证明：略第20页/共57页22xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(000结论4.25格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻t0完全能观测的充要条件是存在t1J，t1 t0，使格拉姆矩阵为非奇异。10),()()(),(,0010ttTTodttttCtCttttW第21页/共57页23结论4.26秩判据 线性时变系统在时刻t0完全能观测的充分条件是，存在t1J，t1 t0，使成立其中 ntNtNn)()(rank1110)()()()()()()()()()(2210010tNdtdtAtNtNtNdtdtAtNtN

13、tCtNnnn返回第22页/共57页24定义 线性时变离散系统，对初始时刻hJk和状态空间所有非零状态x0，存在lJk，l h，和对应的控制u(k)，使得x(l) = 0，则称系统在时刻h为完全能控。如果对初始时刻hJk和初始状态x(h)=0，存在lJk，l h，和相应的控制u(k)，使得x(l)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻h为完全能达。kJkkukHkxkGkx),()()()() 1(:第23页/共57页25结论4.28能控性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统，系统矩阵G(k)对所有k h, l-1非奇异，则系统在时刻hJk完全能控的充要条件是，存在lJk，l h，使格拉姆矩阵

14、为非奇异。若系统矩阵G(k)奇异，则上述格拉姆矩阵非奇异为系统完全能空的充分条件。1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW结论4.27能达性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统在时刻hJk，完全能达的充要条件是，存在lJk，l h，使格拉姆矩阵为非奇异。1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW第24页/共57页26结论4.29 线性离散系统能控性和能达性为等价的充要条件是其系统矩阵G(k)对所有k h，l-1为非奇异。结论4.30 如果离散时间系统是相应的连续时间系统的时间离散化模型，则其能控性和能达性必是等价。第25页/共57页27, 1 ,

15、0),()() 1(:kkHukGxkx结论4.31能达性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统完全能达的充要条件是，存在时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。10)(, 0lkkTTkcGHHGlW第26页/共57页28结论4.32能控性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统，系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充要条件是，存在时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。10)(, 0lkkTTkcGHHGlW结论4.33能达性秩判据 线性时不变离散系统完全能达的充要条件是 rankQkc = rank H GH Gn-1H = n第27页/共57页29结论4.35最小拍控制 考虑单输入离散时不变系统 x(k+1)

16、=Gx(k)+hu(k)，k = 0,1, G为非奇异，系统为完全能控时，可构造如下控制使在n步内将任意状态x(0)=x0转移到状态空间的原点。0121,) 1()0(xhGhGhGnuun结论4.34能控性秩判据 线性时不变离散系统，系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充要条件是 rankQkc = rank H GH Gn-1H = n若G奇异，则上式为系统完全能控的充分条件第28页/共57页30)()()(),()() 1(kxkCkyJkkxkGkxk定义 线性时变离散系统，对初始时刻hJk的任一非零初态x0，存在有限时刻lJk，l h，且可由h，l上的输出y(k)唯一的确定x0，则称系

17、统在时刻h为完全能观测的。结论4.36 线性离散时不变系统，能控性和能达性为等价的充要条件是其系统矩阵G为非奇异。结论4.37 如果离散时间线性时不变系统是相应的连续时间线性时不变系统的时间离散化，则其能控性和能达性必是等价。第29页/共57页31结论4.38能观测性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统在时刻hJk，完全能观测的充要条件是，存在有限时刻l Jk，l h，使格拉姆矩阵为非奇异。1), 1()()(), 1(,lhkTTohkkCkChklhW结论4.39能观测性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统完全能观测的充要条件是存在离限时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。10)(,lkkTkToC

18、GCGlhW第30页/共57页32结论4.40能观测性秩判据 线性时不变离散系统完全能观测的充要条件是 或 rankCT GTCT (GT)n-1CT = nnCGCQnok1rankrank第31页/共57页33结论4.41 考虑单输入离散线性时不变系统 x(k+1)=Gx(k)， k = 0,1, y (k)=cx(k) x(0) = x0系统为完全能观测时，可只利用n步内的输出值构造出任意的非零初态x0：) 1()0(110nyycGcxn返回第32页/共57页34xtCyutBxtAx)()()(:TTTTTTTTdtBtCtA)()()(:对偶),(),(00ttttTd对偶系统 的

19、运动是状态点在状态空间中由t0至t的正时向转移，而对偶系统 运动是协状态点在状态空间中由t至t0的反时向转移。d第33页/共57页35结论4.42线性属性和时变属性 无论连续还是离散时间系统，线性原构系统的对偶系统d也为线性系统，时变(或时不变)原构系统的对偶系统d也为时变(或时不变)系统结论4.43系数矩阵对偶属性原构系统和对偶系统d 的系数矩阵之间具有如下对应关系 d 系统矩阵 = 系统矩阵的转置 d 输入矩阵 = 输出矩阵的转置 d 输出矩阵 = 输入矩阵的转置结论4.44状态转移矩阵对偶属性原构系统和对偶系统d 的状态转移矩阵之间具有如下对偶属性 d(t, t0) = (t, t0)逆

20、的转置 = T (t0, t)第34页/共57页3610),()()(),(rank00ttTTdttttBtBttn10),()()(),(rank00ttTTTTTTdttttBtBtt10),()()(),(rank00ttdTTTTTddttttBtBtt返回 完全能控d完全能观测结论4.47 的完全能控等同于 的完全能观测， 的完全能观测等同于 的完全能控。dd第35页/共57页37 能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性结论4.52线性非奇异变换属性线性非奇异变换不改变能控性和能观测性判别矩阵的秩结论4.53线性非奇异变换属性线性非奇异变换不改变系统的能控性和能观测性第36页/共5

21、7页38 能控规范形结论4.56 完全能控的单入-单出线性时不变系统，引入变换 ，则能控规范形 其中xPx1xcyubxAxcccc:11011010ncAPPAaaa1001bPbc,110nccPc例第37页/共57页39结论4.58 完全能观测的单入-单出线性时不变系统，引入变换 ，推出能观测规范形 其中Qxx xcyubxAxoooo:11011100noQAQAaaa110noQbb 1001cQco例第38页/共57页40返回第39页/共57页41 为(A,B,C)进行线性非奇异变换所导出的结果，有：P为非奇异常阵。成立 ),(CBAPCCBPBPAPA,11ccQQrankran

22、k 证明：cnncPQBPAPBBABABQ11nQnPcrank,rankcccQQPQrankrank,rankminrankccQPQ1cccQQPQrankrank,rankminrank1又证明完成线性非奇异变换，不改变线性系统的能控性和能观测性，也不改变不完全能控和不完全能观测的程度。从而提供了采用线性非奇异变换，对系统实现结构分解的可能性和具体途径。第40页/共57页42CxyBuAxxBAABBQnc1rank能控性判别阵,|,111nkkqqqqQP变换阵结论4.63变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立jiqpjTi , 0结论4.64变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立kj

23、nkiAqpjTi, 2 , 1;, 1, 0结论4.65变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立nkiBpTi, 1, 0第41页/共57页43结论4.66 不完全能控系统，引入变换 ，导出系统结构按能控性分解的规范表达式，k = rank Qc Pxx cccccccccccxxCCyuBxxAAAxx0012第42页/共57页44几点说明：系统被明显的分解为能控部分和不能控部分不完全能控系统的特征值=能控部分特征值(能控振型)+不能控部分特征值(不能控振型)。外输入u的引入，只能改变能控振型的位置，不能改变不能控振型的位置不能控部分不受外部作用影响变换阵P不唯一，分解结果不唯一，但分解形式不

24、改变能控性判别准则：线性定常系统完全能控，当且仅当它不能通过线性非奇异变换进行能控性分解。第43页/共57页45CxyBuAxx变换阵1ranknoCACACQ能观测性判别阵nmmhhhhF11结论4.67 不完全能观测系统，引入变换 ，导出系统结构按能观测性分解的规范表达式，m = rank Qo Fxx oooooooooooxxCyuBBxxAAAxx0021第44页/共57页46结论4.68规范分解定理不完全能控和不完全能观测系统，通过线性非奇异变换实现系统结构的规范分解ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxCCyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx000000000004324232113第45页/共57页47结论4.69 不完全能控和不完全能观测系统，其输入输出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观测的那一部分，即)()()()(11sGBAsICBAsICsGcocococo返回第46页/共57页48返回第47页/共57页4921212160215004xxyuxxxx222116254xyuxxuxx返回第48页/共57页50u(t)，输出为电压y，状态变量为电容端电压x如果初始状态x(t0)