专题05 勾股定理在折叠问题中的应用（解析版）

1、专题05 勾股定理在折叠问题中的应用折叠问题是中考的热点也是难点问题,通常与动点问题结合起来,这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠,通过分析折叠前后图形的变换,借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。此类问题立意新颖,充满着变化,要解决此类问题,除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外,还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。下面就从以下的题目中逐一进行论述.题1. 如图1-1,在RtABC中,A=90,AB=3,AC=4,现将ABC沿BD进行翻折,使点A刚好落在BC上,则CD=_图1-1【参考参考参考答案】.【解析】A=90,AB=3,AC=4在RtABC中,由勾股定理得：BC=

2、5.由折叠的性质知：AB=AB=3,AD=ADAC=2设CD=x,则AD=AD=4x在RtADC中,由勾股定理得：CD2=AC2+AD2x2=4+(4x)2解得：. 故参考参考参考答案为.题2. 如图2-1,ABC是一张纸片,C=90,AC=6,BC=8,现将其折叠使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为（ ）A1.75 B3 C3.75 D4图2-1【参考参考参考答案】C.【解析】C=90,AC=6,BC=8,在RtABC中,由勾股定理得：AB=10.由折叠的性质知：AD=BD=3,AE=BE=5.设CD=x,则BD=AD=8x,在RtADC中,由勾股定理得：AD2=AC2+CD2(8x)

3、2=36+x2解得：x=1.75 . BD=6.25.在RtBDE中,由勾股定理得：DE=3.75.故参考参考参考答案为C.题3. 如图3-1,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把B沿AE折叠,使点B落在点B处当CEB为直角三角形时,BE的长为 【参考参考参考答案】3或1.5.【解析】分两种情况讨论：图3-2当CEB=90时,如图3-2所示.由折叠性质得：AB=AB,四边形ABE B是矩形.所以四边形ABE B是正方形.此时,BE=AB=3.来源:图3-3当CBE=90时,如图3-3所示.由折叠性质知,ABC=90,所以ABC+CBE=180.点A、B、C共线

4、在RtABC中,由勾股定理得AC=5由折叠得：AB= AB=3所以BC=2设BE=x,则BE=x,EC=4x在RtABC中,由勾股定理得：EC2=BE2+BC2即：（4-x）2=x2+22解得：x=1.5.综上所述,BE的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论,并作出相应图形利用折叠的性质及勾股定理解题. 题4. 如图4-1,四边形ABCD中,ADBC,B=90, E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角（A,B）向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是（ ）图4-1A. B. C. D. 【参考参考参考答案】A.【解析】由折叠性

5、质知：AE=EF,AD=DF,BE=EF,BC=CFCD=CF+FD=8,AE=BE=EF.AED=DEF,BEC=CEFAED+DEF+BEC+CEF=180DEC=90在RtBCE中,由勾股定理得：CE2=BE2+BC2同理得：DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得：EF=.故参考参考参考答案为A.题5. 如图5-1,在长方形ABCD中,将DBC沿BD对折至DBC位置,BC与AD交于点E.（1）试说明：BE=DE；（2）如果AB=6,BC=8,求EBD的面积.图5-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】（1）证明

6、：由折叠性质知：EBD=DBC,ABCD是长方形,ADBCEDB=DBCEBD=EDBBE=DE.（2）解：设DE=BE=x,则AE=8-x,在RtABE中,由勾股定理得：即解得：x= .EBD的面积为.题6. 如图6-1所示,把长方形纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,求AF的长度.图6-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】由折叠性质知：BAF=FAE,AB=AEE是长方形ABCD的边CD的中点,AE=CD=2DEDAE=30BAF=FAE=30设BF=x,则AF=2x来源:在RtABF中,由勾股定理得：即解得：x=.AF=2x=.题7. 如图7-1,

7、在矩形OABC 中,OA=5,AB=4,点D 为边AB 上一点,将BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处,分别以OC,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系. 求点D的坐标.图7-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】由折叠性质可知：BD=DE, BC=CE=5OC=AB=4在RtOCE中,由勾股定理得：.AE=OA-OE=2.设AD=x,则BD=DE=4-x,在RtADE中,由勾股定理得：解得：x=.因为D点在第三象限,所以D点坐标为.题8. 如图8-1,在中,点,分别是边,上的动点,沿所在的直线折叠,使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形,则的长为 【参

8、考参考参考答案】或1.【解析】通过观察及分析可知,C点不可能为直角顶点,分两种情况讨论.图8-2当CM B=90时,如图8-2所示.由折叠知：BMN=BMB=45,又因为B=45,所以BNM=90,MNB=90即BNM+MN B=180,所以B、N、B三点共线,此时B与点A重合. 所以,图8-3当CBM=90时,如图8-3所示.由折叠知B=B=45,因为C=45,可得BMC=45,所以BMC是等腰直角三角形设BM= BM=x,BC=x,则MC= x因为BC=+1来源:ZXXK所以x+x=+1解得：x=1,即BM=1.故参考参考参考答案为：或1.题9. 如图9-1,AD是ABC的中线,把ADC沿

9、直线AD翻折,点C落在点C的位置,若ADC=45,BC=4. 求BC的长.图9-1【参考参考参考答案】见解析.【解析】由折叠性质得：ADC=ADC=45,CD=CDCDC=BDC=90如图9-2所示.来源:Zxxk.Com图9-2BDC为等腰直角三角形,BD=CD=2,根据勾股定理,得BC =.故BC的长为.题10. 已知,如图10-1长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则ABE的面积为图10-1【参考参考参考答案】6.【解析】由折叠性质得：DE=BE设AE=x,则BE=DE=9-x,在RtABE中,由勾股定理得：解得：x=4.所以三角形

10、ABE的面积为：.故参考参考参考答案为6. 题11. 动手操作：在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5. 如图11-1所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A处,折痕为PQ,当点A在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A在BC边上可移动的最大距离为 .图11-1【参考参考参考答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时,A的位置处于最左端,当点P与点B重合时,点A的位置处于最右端. 根据分析结果,作出图形,利用折叠性质分别求出两种情况下的BA或CA的长度,二者之差即为所求.当点Q与点D重合时,A的位置处于最左端,如图11-2所示.确定点A的位置方法：因为在折叠过程中,AQ=AQ,所以以点Q为圆心,以AQ长为半径画弧,与BC的交点即为点A. 再作出AQA的角平分线,与AB的交点即为点P. 图11-2 由折叠性质可知,AD= AD=5,在RtACD中,由勾股定理得,当点P与点B重合时,点A的位置处于最右端,如图11-3所示.图11-3来源:确定点A的位置方法：因为在折叠过程中,AP=AP,所以以点P为圆心,以AP长为半径画弧,与BC的交点即为点A. 再作出APA的角平分线,与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知,AB= AB=3,所以四边形AB AQ为正方形. 所