用能量法求变形

1、武汉工业学院武汉工业学院材材 料料 力力 学学教师：教师： 宋少云宋少云QQ:584554223QQ:584554223E-mail: E-mail: 0 绪论1 内力及内力方程2 内力图3 平面图形的几何性质预预备备知知识识强强度度问问题题4 轴向拉伸与压缩5 剪切与挤压6 扭转7 弯曲8 应力状态和强度理论9 组合变形的强度问题11 积分法求变形12 叠加法求变形13 能量法求变形刚刚度度问问题题10 疲劳强度14 压杆稳定稳稳定定性性15 超静定问题16 动载荷高高级级话话题题能量法求变形能量法求变形第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节

2、虚功原理第第1节节 背景背景L 问题问题 铰接点的竖值位移是多少？铰接点的竖值位移是多少？第第1节节 背景背景DCABDC1、计算四根杆的变形。、计算四根杆的变形。2、由伸长后的、由伸长后的BC、AC确定确定C点点3、由、由AD 、伸长后的、伸长后的AC确定确定D点点 问题问题 桁架变形后桁架变形后BD长是多少？长是多少？第第1节节 背景背景 问题问题 钢架变形后尖端的位移是多少？钢架变形后尖端的位移是多少？第第1节节 背景背景如何求解复杂结构的变形？如何求解复杂结构的变形？本章需要解决的主要问题本章需要解决的主要问题1. 何谓应变能？如何计算杆件系统的应变能？2. 何谓功能原理？如何用功能原

3、理计算变形？举一个例子。4. 何谓单位载荷法？如何用单位载荷法计算变形？举一个例子。3. 何谓虚功原理？它与理论力学的虚功原理的联系和区别？第第8 8章章 能量法能量法第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节 虚功原理第第2节节 杆件的应变能杆件的应变能应变能应变能 杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对外作功的能力，这种能量称为弹性应变能，简称应变能应变能.FP第第2节节 杆件的应变能杆件的应变能拉伸变形的应变能拉伸变形的应变能dx+dudxFNxFNx微元的位移微元的应变能dxEAFNdxEAF

4、duFdUNN2212杆件的应变能LNLdxEAFdUU0202EALFUN22某一段内力，截面不变化的梁第第2节节 杆件的应变能杆件的应变能扭转变形的应变能扭转变形的应变能微元偏转的角度微元的应变能杆件的应变能某一段内力，截面不变化的梁dxGITTddUP2212LPLdxGITdUU0202PGILTU22第第2节节 杆件的应变能杆件的应变能弯曲变形的应变能弯曲变形的应变能(只考虑弯矩只考虑弯矩)d微元偏转的角度dxEIxMdxd)(微元的应变能dxEIxMdxMdU2)()(212杆件的应变能200( )2llM xUdudxEI第第2节节 杆件的应变能杆件的应变能组合变形的应变能组合变

5、形的应变能第第8 8章章 能量法能量法第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节 虚功原理第第3节节 功能原理功能原理构件系统的应变能在数值上等构件系统的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即所做的功，即 U=W 例例1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端功能原理求自由端B的挠度。的挠度。CL12TU4解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d ()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例例2：利用功能

6、原理求：利用功能原理求C截面的挠度。截面的挠度。解：解：UMxEIxl22( )dP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab1210222022ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例例3：利用功能原理求力的作用点的水平位移。其：利用功能原理求力的作用点的水平位移。其中中1，2，3，4杆的长度均为杆的长度均为L.P12345第第8 8章章 能量法能量法第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节 虚功原理第第4节节 虚功原理虚功原理回顾：理论力学中的虚功原理回顾

7、：理论力学中的虚功原理具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做的虚功之和等于所做的虚功之和等于0.0.第第4节节 虚功原理虚功原理材料力学中的虚功原理材料力学中的虚功原理在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于梁的内力在虚变形上所做的虚功。等于梁的内力在虚变形上所做的虚功。初始状态初始状态平衡状态平衡状态给定虚位移后的状态给定虚位移后的状态第第4节节 虚

8、功原理虚功原理材料力学中的虚功原理材料力学中的虚功原理在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于梁的内力在虚变形上所做的虚功。等于梁的内力在虚变形上所做的虚功。外力虚功外力虚功 = = 内力虚功内力虚功 = = 虚应变能虚应变能第第8 8章章 能量法能量法第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节 虚功原理问题： 如何求C点的位移？（1）抄录原结构形成新结构（不要外力）（2）在新结构的C点施加单位载荷（3）新结构在单位载荷下处于弹性平

9、衡（3）新结构在单位载荷下处于弹性平衡（4）让新结构的C点发生虚位移，其大小等于原结构在C点的实位移（4）让新结构的C点发生虚位移，其大小等于原结构在C点的实位移（5）让新结构的D,E点如同C点一样发生虚位移（5）让新结构的D,E点如同C点一样发生虚位移（6）让新结构的其它点如同C点一样发生虚位移，并把这些新点连成线原结构：要求原结构：要求C点的点的位移位移新结构：施加单位新结构：施加单位载荷载荷让新结构发生虚位让新结构发生虚位移，每个点的虚位移，每个点的虚位移等于原结构对应移等于原结构对应点的实位移点的实位移小结单位力法单位力法虚位移原理：在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一个虚位移原理

10、：在外力作用下处于平衡的梁结构，任意给它一个虚位移，则虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功，等于，等于梁的内力在虚梁的内力在虚变形上所做的虚功变形上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功梁的内力在虚变形上所做的虚功梁的内力在虚变形上所做的虚功=？梁的内力在虚变形上所做的虚功梁的内力在虚变形上所做的虚功梁的内力在虚变形上所做的虚功梁的内力在虚变形上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功外力在虚位移上所做的虚功单位力法的使用步骤单位力法的使用步骤（1）计算原结构的弯矩方程（2）在所求点施加单位载荷，得到单位载荷结构（3）计算单位载荷结构的弯矩方程（4）使用公

11、式进行计算例例1：试用莫尔定理计算：试用莫尔定理计算图图所所示悬臂梁自由示悬臂梁自由端端B的的挠度。挠度。解解：（1）计算原结构的弯矩方程。）计算原结构的弯矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成单位载荷结构）形成单位载荷结构（3）计算单位载荷结构的弯矩）计算单位载荷结构的弯矩1QM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：解解：（1）计算原结构的弯矩方程。）计算原结构的弯矩方程。（2）形成单位载荷结构）形成单位载荷结构（3）计算单位载荷结构的弯矩）计算单位载荷结构的弯矩（4）使用公式计算）使用公式计算B点位移点位移直接用功能原理求解此题直接用功能原理求解此题P力在力在B

12、点竖直方向做的功能等于点竖直方向做的功能等于杆件杆件AB储存的应变能。储存的应变能。（1）计算结构的弯矩方程。）计算结构的弯矩方程。（2）使用功能原理求）使用功能原理求B点位移点位移用积分法求解此题用积分法求解此题（1）计算结构的弯矩方程。）计算结构的弯矩方程。（2）得到挠曲线微分方程）得到挠曲线微分方程用积分法求解此题用积分法求解此题（2）得到挠曲线微分方程）得到挠曲线微分方程（3）代入边界条件求）代入边界条件求c和和d.用积分法求解此题用积分法求解此题（2）得到挠曲线微分方程）得到挠曲线微分方程（3）代入边界条件求）代入边界条件求c和和d.（4）得到）得到B点的挠度点的挠度三种方法的比较三

13、种方法的比较积分法积分法功能原理功能原理单位载荷法单位载荷法例例2：试用莫尔定理计算试用莫尔定理计算图图所所示悬臂梁自由示悬臂梁自由端端B的转角的转角。（1）计算原结构的弯矩方程。）计算原结构的弯矩方程。PQM(x)x由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：（2）形成单位载荷结构）形成单位载荷结构（3）计算单位载荷结构的弯矩）计算单位载荷结构的弯矩由力矩平衡，有：由力矩平衡，有：x1QM(x)（4）使用公式计算）使用公式计算B点位移点位移问问 题题 1可以用功能原理直接可以用功能原理直接计算计算B点的转角吗？点的转角吗？如何用积分法计算如何用积分法计算B点的转角？点的转角？问问 题题 2C如何计算任意

14、点如何计算任意点C的位移和转角？的位移和转角？例例3 3 试求图示刚架试求图示刚架ABCABC在均布荷载在均布荷载 q q 的作用下的作用下A A点的垂点的垂直位移和直位移和C C点的转角。尺寸点的转角。尺寸L L和和EIEI已知。刚架剪力和轴已知。刚架剪力和轴力忽略不计。力忽略不计。例例2 2 试求图示刚架试求图示刚架ABCABC在均布荷载在均布荷载 q q 的作用下的作用下A A点的垂点的垂直位移和直位移和C C点的转角。尺寸点的转角。尺寸L L和和EIEI已知。刚架剪力和轴已知。刚架剪力和轴力忽略不计。力忽略不计。qLRqLRqLRcycxA, 2/, 2/解解：1 1、求刚架的、求刚架

15、的 支座反力支座反力： 2 2、列出各段的弯矩方程、列出各段的弯矩方程：AB段段：)0(2)(1211LxxqxMBC段段)0(2)(222LxLxqxMARcxRcyR1x2xBLLqACARcxRcyR1xABC2x1sP3 3、计算计算A A点的垂直位移，点的垂直位移，应在应在A A点上加点上加 一个垂直方向单位力一个垂直方向单位力 , ,此时此时：1sP1, 1, 1cycxARRR各段的弯矩方程为：各段的弯矩方程为：)0()(1110LxxxM)0()(2220LxxxMBC段：段：根据莫尔积分法：根据莫尔积分法：EJqLEJdxxMxMfLA247)()(40（正，与（正，与 方向

16、一致）方向一致）sPAB段：段：4 4、计算、计算C C截面转角，截面转角，应在应在C C截面上加截面上加 一个单位力偶一个单位力偶 ，此时：，此时：1sM0,/ 1,/ 1cycxARLRLR)0(0)(110LxxM)0(/1)(2220LxLxxM根据莫尔积分法：根据莫尔积分法：EJqLEJdxxMxMLc12)()(30（负，与（负，与 方向相反）方向相反）sMARcxRcyR1xABC2x1sM各段的弯矩方程为：各段的弯矩方程为：ABAB段：段：BCBC段：段：例例3 3 求图示桁架节点求图示桁架节点D D的垂直位移的垂直位移 及及C C、D D的相对的相对 位移位移 。 DfCDf

17、解解：要求桁架节点：要求桁架节点D D的垂直位移，应在的垂直位移，应在D D点加一垂点加一垂直单位力直单位力 , , 在此单位力作用下各杆内力值在此单位力作用下各杆内力值记为记为 . . 1sP1NiFP12345LLABD3030C112345LLABD3030CAyRByR12345ABDC11为了为了计算节点计算节点C C、D D间的相对位移间的相对位移，应在，应在C C、D D点两点两节点连线上加一对相反的单位力节点连线上加一对相反的单位力, ,并求出这对力作并求出这对力作用下各杆内力用下各杆内力, ,记为记为 . .2NiF根据莫尔积分法根据莫尔积分法: :510139. 4iiNi

18、NiDEAPLEALFFf(正值，方向与正值，方向与 一致一致。) )sP5102577. 0iiNiNiCDEAPLEALFFf（正值，相对位移方向与所（正值，相对位移方向与所 设一对向背的单位力方向一设一对向背的单位力方向一 致致, ,即两点距离加大即两点距离加大。 ) 杆杆 件件 iL NiF 01NiF 02NiF 1 AC 2 CB 3 AD 4 DB 5 CD 3/2L3/2LLL3/ L-P-P2/3PP-1-12/31000012/3P2/3、计算时，、计算时，由单位力和实际载荷分别引起的内力应采用相由单位力和实际载荷分别引起的内力应采用相 同同的正负号规定的正负号规定。 若为

19、正值，则与所加单位力的方向若为正值，则与所加单位力的方向 相同，否则，则相反。相同，否则，则相反。应用莫尔积分法时应注意：应用莫尔积分法时应注意：、欲求的位移和施加的单位力应理解为、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移广义力和广义位移。若若 为两点间的为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两点上的相对线位移，则单位力是施加在两点上的 方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。第第8 8章章 能量法能量法第2节 杆件的应变能第3节 功能原理第1节 背景第5节 单位力法第6节 卡氏定理第4节 虚功原理 2 1 3F1F2F3 332

20、211212121FFFWV,123 2 1 3F1F2F312iiF1122iiFFF112212iiiiVF FFF6012iiF1122iiVFFF1122iiiiFFFF iiVF iiVFiiFV iiFV xFxFEAxFEAxxFFFViiiid)()(2)d(NN2N xFxTGIxTGIxxTFFViiiid)()(2)d(pp2 xFxMEIxMEIxxMFFViiiid)()(2)d(2 ijnjjjiiFFEAlFFV N1NiiFV 2)d(2)d(2)d(2p22N llliEIxxMGIxxTEAxxFFxFxMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFiiid)(

21、)(d)()(d)()(pNN FABCMelae1e11)()(MxlFalMxM 111)(xlaFxM 1)(1e11 lxMxM222)(FxxM 0)(e22 MxM222)(xFxM ABClaFx1x2eRAMFaFllMe 1011d)()(xFxMEIxMwlCABClaFx1x220e222210e11d)()(d)()(xMxMEIxMxMxMEIxMalA 202222d)()(xFxMEIxMa )( )363(13e2 FalaMFlaEI)63(1eFlalMEI MeABCDaa2aMe)(21 eaRRMMaFFFAyD FRDFRAxFRAyFFAx RxMMaFxM)