第七讲非参数检验

1、第第12章章 非参数检验非参数检验 说明：非参数检验这章，请看下面吴 喜之教授的讲义，更为具体的可参看 统计分析与SPSS的应用薛薇 编著 人大出版社，2002.7第二次印刷 非参数检验的概念非参数检验的概念 是指在总体不服从正态分布且分布情况是指在总体不服从正态分布且分布情况 不明时，用来检验数据资料是否来自同不明时，用来检验数据资料是否来自同 一个总体假设的一类检验方法。由于这一个总体假设的一类检验方法。由于这 些方法一般不涉及总体参数故得名。些方法一般不涉及总体参数故得名。 这类方法的假定前提比参数性假设检验这类方法的假定前提比参数性假设检验 方法少的多，也容易满足，适用于计量方法少的多

2、，也容易满足，适用于计量 信息较弱的资料且计算方法也简单易行，信息较弱的资料且计算方法也简单易行， 所以在实际中有广泛的应用。所以在实际中有广泛的应用。 非参数检验的过程非参数检验的过程 1. Chi-Square test 卡方检验卡方检验 2. Binomial test 二项分布检验二项分布检验 3. Runs test 游程检验游程检验 4. 1-Sample Kolmogorov-Smirnov test 一个样本一个样本 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验斯米诺夫检验 5. 2 independent Samples Test 两个独立样本检验两个独立样本检验 6. K ind

3、ependent Samples Test K个独立样本检验个独立样本检验 7. 2 related Samples Test 两个相关样本检验两个相关样本检验 8 . K related Samples Test 两个相关样本检验两个相关样本检验 12.1 卡方检验卡方检验 Chi-Square test 这里介绍的卡方检验可以检验列联表中某一个变量的各这里介绍的卡方检验可以检验列联表中某一个变量的各 个水平是否有同样比例或者等于你所想象的比例个水平是否有同样比例或者等于你所想象的比例(如如 5:4:1) 实例实例1：掷骰子：掷骰子300次，变量次，变量LMT，1、2、3、4、5、 6分别代

4、表六面的六个点，试问这骰子是否均匀。数据分别代表六面的六个点，试问这骰子是否均匀。数据 data12-01（300个个cases）。）。 nAnalyze Nonparametric TestsChi Square nTest Variable: lmt 想要检验的变量想要检验的变量 n由于这是一个均匀分布检测，使用默认选择（由于这是一个均匀分布检测，使用默认选择（Expected Values：All categories equal作为零假设）；作为零假设）； n比较有用的结果：比较有用的结果：sig=.1110.5，不能拒绝零假设，认为均，不能拒绝零假设，认为均 匀。匀。 实例实例1的数

5、据可以组织成：两个变量（的数据可以组织成：两个变量（side面和面和 number次数），次数），6个个cases。但在卡方检验前要求用。但在卡方检验前要求用 number加权。结果同。加权。结果同。 补充：补充：卡方检验实例 实例：心脏病人猝死人数与日期的关系，收集实例：心脏病人猝死人数与日期的关系，收集168个观个观 测数据。其中用测数据。其中用1、2、3、4、5、6、7表示是星期几表示是星期几 死的。而人数分别为死的。而人数分别为55、23、18、11、26、20、15。 推 断 心 脏 病 人 猝 死 人 数 与 日 期 的 关 系 是 否 为推 断 心 脏 病 人 猝 死 人 数 与

6、 日 期 的 关 系 是 否 为 2.8:1:1:1:1:1:1。（变量。（变量2个：死亡日期和死亡人数，个：死亡日期和死亡人数， Cases 7个）个） 加权：加权：DataWeight Cases：死亡人数死亡人数 Analyze Nonparametric TestsChi Square nTest Variable:死亡日期死亡日期 nExpected Values： 2.8:1:1:1:1:1:1 n比较有用的结果：比较有用的结果：sig=.2560.5，不能拒绝零假设，认为心，不能拒绝零假设，认为心 脏病人猝死人数与日期的关系为脏病人猝死人数与日期的关系为2.8:1:1:1:1:1

7、:1 。 12.2 二项分布检验二项分布检验 Binomial test 二项分布：在现实生活中有很多的取值是二项分布：在现实生活中有很多的取值是两类两类的，如人的，如人 群的男和女、产品的合格和不合格、学生的三好学生和群的男和女、产品的合格和不合格、学生的三好学生和 非三好学生、投掷硬币的正面和反面。这时如果某一类非三好学生、投掷硬币的正面和反面。这时如果某一类 出现的概率是出现的概率是P，则另一类出现的概率就是，则另一类出现的概率就是1-P。这种。这种 分布称为二项分布。分布称为二项分布。 实例实例1：掷一枚比赛用的挑边器：掷一枚比赛用的挑边器31次，变量次，变量tbh，1为为 出现出现A

8、面、面、2为出现为出现A面，试问这挑边器是否均匀。数据面，试问这挑边器是否均匀。数据 data12-03（31个个cases）。）。 nAnalyze Nonparametric Tests Binomial nTest Variable: tbh n由 于 这 是 一 个 均 匀 分 布 检 测 ， 使 用 默 认 选 择 （由 于 这 是 一 个 均 匀 分 布 检 测 ， 使 用 默 认 选 择 （ T e s t Proportion：0.5）；）； n比较有用的结果：两组个数和比较有用的结果：两组个数和sig=1.000.5，不能拒绝零假，不能拒绝零假 设，认为挑边器是均匀。设，认为

9、挑边器是均匀。 实例实例1的数据可以组织成：两个变量（的数据可以组织成：两个变量（side面和面和 number次数），次数），2个个cases。但在二项分布检验前要。但在二项分布检验前要 求用求用number加权。结果同。加权。结果同。 补充：二项分布检验实例补充：二项分布检验实例 实例：为验证某批产品的一等品率是否达到实例：为验证某批产品的一等品率是否达到90，现，现 从该批产品中随机抽取从该批产品中随机抽取23个样品进行检测，结果有个样品进行检测，结果有19 个一等品（个一等品（1一等品，一等品，0非一等品）。（变量非一等品）。（变量2个：个： 一等品和个数，一等品和个数，Cases 2

10、个：个：1 19 和和0 4） 加权：加权：DataWeight Cases：个数个数 Analyze Nonparametric Tests Binomial nTest Variable:一等品一等品 nTest Proportion：0.9 n比较有用的结果：两组个数和比较有用的结果：两组个数和sig=.1930.5，不能拒绝零假，不能拒绝零假 设，认为该批产品的一等品率达到了设，认为该批产品的一等品率达到了90 。 12.3 游程检验Runs test 单样本变量随机性检验是对某变量值单样本变量随机性检验是对某变量值出现是否随机出现是否随机进行进行 检验。检验。 实例实例1（同二项分布

11、检验）（同二项分布检验） ：掷一枚比赛用的挑边器：掷一枚比赛用的挑边器31 次，变量次，变量tbh，1为出现为出现A面、面、2为出现为出现A面，试问这挑面，试问这挑 边器出现边器出现AB面是否随机。数据面是否随机。数据data12-03（31个个 cases）。）。 nAnalyze Nonparametric Tests Runs nTest Variable: tbh nCut Point：Custom：2 n比较有用的结果：比较有用的结果： 总总case数（数（31）、）、 游程游程Run数（数（21）、）、 sig=.1420.5， 不能拒绝零假设，不能拒绝零假设， 认为挑边器出现认为

12、挑边器出现AB面是随机的。面是随机的。 Runs Test 2 31 21 1.469 .142 Test Value a Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed) TBH User-specified.a. 12.4 一个样本柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验 1-Sample Kolmogorov-Smirnov test 单样本单样本KS检验是利用样本数据推断总体是否服从某一理论分布，检验是利用样本数据推断总体是否服从某一理论分布， 适用于探索连续型随机变量的分布形态（适用于探索连续型随机变量的分布形态（判断定距变量的分布情判断定距变

13、量的分布情 况况）：）：Normal正态分布、正态分布、Uniform均匀分布、均匀分布、Poisson泊松分布、泊松分布、 Exponential指数分布。指数分布。 实例实例 ：卢瑟福和盖革作了一个著名的实验，他们观察了长为：卢瑟福和盖革作了一个著名的实验，他们观察了长为7.5秒秒 的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射物资放出的的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射物资放出的alfa粒子质粒子质 点数，共观察了点数，共观察了2608次。数据次。数据data12-05（1个变量个变量zd， 2608 个个cases，按，按010排序）。试问这种分布规律是否服从泊松分布排序）。试问这种分布规

14、律是否服从泊松分布 nAnalyze Nonparametric Tests1-Sample K-S nTest Variable: zd nTest Distribution： Poisson n比较有用的结果：比较有用的结果： 均值（均值（3.8673）、）、 sig=.8500.5， 不能拒绝零假设，不能拒绝零假设， 认为服从泊松分布。认为服从泊松分布。 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 2608 3.8673 .012 .010 -.012 .611 .850 N MeanPoisson Parameter a,b Absolute Positive

15、 Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) ZD Test distribution is Poisson.a. Calculated from data.b. 12.5 两个独立样本检验两个独立样本检验 2 independent Samples Test 通过分析两个样本数据，推断它们的分布是否存在显著性差异。方通过分析两个样本数据，推断它们的分布是否存在显著性差异。方 法有四种：法有四种： nMann-Whitney U:是通过对平均秩的研究来实现推断的是通过对平均秩的研究来

16、实现推断的 nKS Z：是通过对分布的研究来实现推断的：是通过对分布的研究来实现推断的 nMoses extreme reactions：一个作为控制样本，另一个作为实验样本一个作为控制样本，另一个作为实验样本 nWald Wolfwitz Runs:是通过对游程的研究来实现推断的是通过对游程的研究来实现推断的 实例实例 ：甲乙两种安眠药服用后的效果。数据：甲乙两种安眠药服用后的效果。数据data12-06（2个变量：个变量： 组别组别zb和延长时间和延长时间ycss， 20个个cases）。试问这两种药物的疗效）。试问这两种药物的疗效 是否有显著性差异。是否有显著性差异。 nAnalyze

17、Nonparametric Tests 2 independent Samples nTest Variable: ycss nGrouping： zb（1，2） nTest type：四种均选：四种均选 n比较有用的结果：比较四个比较有用的结果：比较四个sig值，有三个值，有三个sig.5，不能拒绝零，不能拒绝零 假设认为疗效无显著性差异。假设认为疗效无显著性差异。 12.6 多个独立样本检验多个独立样本检验 K independent Samples Test 通过分析多个样本数据，推断它们的分布是否存在显著性差异。方通过分析多个样本数据，推断它们的分布是否存在显著性差异。方 法有三种：法

18、有三种： nMedian：是通过对中位数的研究来实现推断的：是通过对中位数的研究来实现推断的 nKW：是通过对推广的平均秩的研究来实现推断的：是通过对推广的平均秩的研究来实现推断的 nJT：与两个独立样本检验的：与两个独立样本检验的Mann-Whitney U类似类似 实例实例 ：某车间用四种不同的操作方法检测产品优等品率的实验数：某车间用四种不同的操作方法检测产品优等品率的实验数 据。数据据。数据data12-07（2个变量：个变量： 方法方法ff和优等品率和优等品率ydpl， 21个个 cases）。试问这四种不同的操作方法对产品优等品率是否有显著）。试问这四种不同的操作方法对产品优等品率

19、是否有显著 性差异。性差异。 nAnalyze Nonparametric Tests K independent Samples nTest Variable: ydpl nGrouping： ff（1，4） nTest type：三种均选：三种均选 n比较有用的结果：比较三个比较有用的结果：比较三个sig值，值，K-W方法的方法的sig.009.5，但不用，原因是观测量太，但不用，原因是观测量太 少。少。 12.7 两个相关样本检验两个相关样本检验 2 related Samples Test 同一个被测试者，前后测两次，彼此相关。方法有四种。同一个被测试者，前后测两次，彼此相关。方法有四

20、种。 实例实例 ：某校：某校15名男生的长跑锻炼后晨脉变化数据。数名男生的长跑锻炼后晨脉变化数据。数 据据data12-08（2个变量：个变量： 锻炼前锻炼前dlq和锻炼后和锻炼后dlh优，优， 21个个cases）。试问锻炼前后的晨脉有无显著性差异。）。试问锻炼前后的晨脉有无显著性差异。 nAnalyze Nonparametric Tests 2 related Samples nTest Pairs: dlqdlh nTest type：选一种或多种：选一种或多种 n比较有用的结果：看比较有用的结果：看sig值，值，sig Nonparametric Tests k related Sa

21、mples nTest Variables: a b c nTest type：选一种或多种：选一种或多种 n比较有用的结果：看比较有用的结果：看sig值，值，sig.05，不能拒绝正态分布，不能拒绝正态分布(Normal)零假零假 设。设。 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 50 1.0021 1.07647 .182 .173 -.182 1.284 .074 N Mean Std. Deviation Normal Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Ko

22、lmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) X Test distribution is Normal.a. Calculated from data.b. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 2 50 .02 4.12 .450 .450 -.020 3.182 .000 N Minimum Maximum Uniform Parameters a,b Absolute Positive Negative Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig.

23、 (2-tailed) X Test distribution is Uniform.a. Calculated from data.b. w由于由于sig=.000.05，不能拒绝指数分布，不能拒绝指数分布 (Exponential)零假设零假设 w比较三种分布检验，认为是该数据服从指数分布比较三种分布检验，认为是该数据服从指数分布 SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 使用我们的使用我们的ksdata.sav数据。数据。 选项为选项为AnalyzeNonparametric Tests1 Sample K-S。 然后把变量（这里是然后把变量（这里是x）选入）选入Variable Lis

24、t。 再在下面再在下面Test Distribution选中零假设的分选中零假设的分 布（布（Normal、Poisson、Uniform和和 Exponential）作为零假设。）作为零假设。 在点在点Exact时打开的对话框中可以选择精确方时打开的对话框中可以选择精确方 法（法（Exact），），Monte Carlo抽样方法抽样方法 （Monte Carlo）或用于大样本的渐近方法）或用于大样本的渐近方法 （Asymptotic only）。最后）。最后OK即可。即可。 关于随机性的游程检验（关于随机性的游程检验（run testrun test） 游程检验方法是检验一个取两个值的变 量

25、的这两个值的出现是否是随机的。假 定下面是由0和1组成的一个这种变量的 样本（数据run1.sav）： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 其中相同的0（或相同的1）在一起称为 一个游程（单独的0或1也算）。 这个数据中有4个0组成的游程和3个1组 成的游程。一共是R=7个游程。其中0的 个数为m=15，而1的个数为n=10。 关于随机性的游程检验（关于随机性的游程检验（run testrun test） 出现0和1的的这样一个过程可以看成是参数为 某未知p的Bernoulli试验。但在给定了m和n之 后，在0和1的出现是随机的零

26、假设之下，R的 条件分布就和这个参数无关了。根据初等概率 论，R的分布可以写成（令N=m+n） 11 2 11 (2 ), 1111 22 11 (21) mn kk P Rk N n mnmn kkkk P Rk N n 关于随机性的游程检验（关于随机性的游程检验（run testrun test） 于是就可以算出在于是就可以算出在 零假设下有关零假设下有关R的的 概率，以及进行有概率，以及进行有 关的检验了。利用关的检验了。利用 上面公式可进行精上面公式可进行精 确检验；也可以利确检验；也可以利 用大样本的渐近分用大样本的渐近分 布和利用布和利用Monte Carlo方法进行检方法进行检

27、验。利用上面数据验。利用上面数据 的结果是的结果是: : Runs Test .5000 25 7 -2.345 .019 .017 .006 Test Valuea Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. (2-tailed) Point Probability X User-specified.a. 关于随机性的游程检验（关于随机性的游程检验（run testrun test） 当然，游程检验并不仅仅用于只取两个值的变量，它还当然，游程检验并不仅仅用于只取两个值的变量，它还 可以用于某个连续变量的取值小于

28、某个值及大于该值的可以用于某个连续变量的取值小于某个值及大于该值的 个数（类似于个数（类似于0和和1的个数）是否随机的问题。看下面例的个数）是否随机的问题。看下面例 子。子。 例例 (run2.sav): 从某装瓶机出来的从某装瓶机出来的30盒化妆品的重量盒化妆品的重量 如下（单位克）如下（单位克） 71.6 71.0 71.8 70.3 70.5 72.9 71.0 71.0 70.1 71.8 71.9 70.3 70.9 69.3 71.2 67.3 67.6 67.7 67.6 68.1 68.0 67.5 69.8 67.5 69.7 70.0 69.1 70.4 71.0 69.9

29、 为了看该装瓶机是否工作正常，首先需要验证是否大于为了看该装瓶机是否工作正常，首先需要验证是否大于 和小于中位数的个数是否是随机的（零假设为这种个数和小于中位数的个数是否是随机的（零假设为这种个数 的出现是随机的）。的出现是随机的）。 关于随机性的游程检验（关于随机性的游程检验（run testrun test） 如果把小于中位数的记为0，否则记为 1，上面数据变成下面的01序列 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 这就归为上面的问题。当然这里进行 这种变换只是为了易于理解。实际计 算时，用不着这种变换，计算机

30、会自 动处理这个问题的。 直接利用这个数据，通过SPSS，得到 下面游程检验结果的输出。 Runs Test 70.20 15 15 30 8 -2.787 .005 .005 .002 Test Value a Cases = Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. (2-tailed) Point Probability LENGTH Mediana. SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 用run2.sav数据。 选项为AnalyzeNonparametric TestsRun

31、s。 然后把变量（这里是length）选入Variable List。 再在下面Cut Point选中位数（Median）。当然， 也可以选其他值，如均值（Mean），众数 （Mode）或任何你愿意的数目（放在Custom）。 注意在对前面的由0和1组成的序列（run1.sav 进行随机性检验时，要选均值(为什么？）。 在点Exact时打开的对话框中可以选择精确方法 （Exact），Monte Carlo抽样方法（Monte Carlo）或用于大样本的渐近方法（Asymptotic only）。最后OK即可。 Wilcoxon (Mann-Whitney)秩和检验秩和检验 这里介绍常用的这里介

32、绍常用的Wilcoxon (或称或称Mann-Whitney)秩和秩和 检验。它的原理很简单，检验。它的原理很简单， 假定第一个样本有假定第一个样本有m个观测值，第二个有个观测值，第二个有n个观测值。个观测值。 把两个样本混合之后把这把两个样本混合之后把这m+n个观测值升幂排序，个观测值升幂排序， 记下每个观测值在混合排序下面的秩。之后分别把两个记下每个观测值在混合排序下面的秩。之后分别把两个 样本所得到的秩相加。记第一个样本观测值的秩的和为样本所得到的秩相加。记第一个样本观测值的秩的和为 WX而第二个样本秩的和为而第二个样本秩的和为WY。这两个值可以互相推算，。这两个值可以互相推算， 称为称

33、为Wilcoxon统计量。统计量。 该统计量的分布和两个总体分布无关。由此分布可以得该统计量的分布和两个总体分布无关。由此分布可以得 到到p-值。值。 直观上看，如果直观上看，如果WX与与WY之中有一个显著地大，则可以之中有一个显著地大，则可以 选择拒绝零假设。选择拒绝零假设。 该检验需要的唯一假定就是两个总体的分布有类似的形该检验需要的唯一假定就是两个总体的分布有类似的形 状（不一定对称）。状（不一定对称）。 Wilcoxon (Mann-Whitney)秩和检验秩和检验 下面数据（下面数据（GDP.sav）是地区）是地区1的十个城市和的十个城市和 地区地区2的的15个城市的人均个城市的人均

34、GDP（元）。现在要（元）。现在要 想以此作为两个样本来检验两个地区的人均想以此作为两个样本来检验两个地区的人均 GDP的中位数的中位数m1和和m2是否一样，即双尾检验是否一样，即双尾检验 H0: m1=m2对对Ha: m1m2。由于地区。由于地区2的人的人 均均GDP的中位数大于地区的中位数大于地区1的中位数，因此也的中位数，因此也 可以做单尾检验可以做单尾检验H0: m1=m2对对Ha: m1m2。 地区地区1：3223 45263836278159823216 4710562823034618 地区地区2：5391 39834076594147484600 632545345526569

35、9700854036678 55375257 由由SPSS的输出可以得到下面结果：的输出可以得到下面结果： Test Statistics b 32.000 87.000 -2.385 .017 .016 a .016 .008 .001 Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. 2*(1-tailed Sig.) Exact Sig. (2-tailed) Exact Sig. (1-tailed) Point Probability 人均GDP Not corrected for ties.a. Groupi

36、ng Variable: 地区b. Wilcoxon (Mann-Whitney)秩和检验秩和检验 该结果头两行该结果头两行显示了显示了Mann-Whitney和和 Wilcoxon统计量的值。另外和我们需要结果的统计量的值。另外和我们需要结果的 相关部分为：对于双尾检验相关部分为：对于双尾检验H0: m1=m2对对Ha: m1m2，p-值为值为0.016（见（见“Exact Sig. (2- tailed)”）；而对于单尾检验；而对于单尾检验H0: m1=m2对对Ha: m1 Median = Median PRICE 1.002.003.00 GROUP house.sav数据数据 这里这

37、里 Test Statistics c 75 22.1000 5.561a 2 .062 .058b .052 .064 N Median Chi-Square df Asymp. Sig. Sig. Lower Bound Upper Bound 99% Confidence Interval Monte Carlo Sig. PRICE 0 cells (.0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 9.9. a. Based on 10000 sampled table

38、s with starting seed 299883525. b. Grouping Variable: GROUPc. SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 使用house.sav数据。 选项为AnalyzeNonparametric TestsK Independent Samples。 把变量（这里是price）选入Test Variable List；再把数据中用1、2、3来分类的变量 group输入Grouping Variable，在Define Groups输入1、2、3。 在下面Test Type选中Median。 在点Exact时打开的对话框中可以选择精确 方法（Exa

39、ct），Monte Carlo抽样方法 （Monte Carlo）或用于大样本的渐近方法 （Asymptotic only）。最后OK即可 Friedman秩和检验秩和检验 前面讨论了两因子试验设计数据 的方差分析，那里所用的F检验需 要假定总体的分布为正态分布。 有一种非参数方差分析方法，称 为Friedman （两因子）秩和检验， 或Friedman方差分析。它适用于 两个因子的各种水平的组合都有 一个观测值的情况。 Friedman秩和检验秩和检验 假定第一个因子有k个水平（称为处理， treatment），第二个因子有b个水平（称 为区组）；因此一共有kbkb个观测值。 这里之所以称一

40、个因子为处理，是因为这 是我们想要看该因子各水平是否对试验结 果有显著的不同（它的各个水平的观测值 也就是本小节的多个相关样本）。而另一 个因子称为区组，不同的区组也可能对结 果有影响。下面是一个例子。 数据数据fert.sav 这里有三种肥料作为第一个因子（肥料因子）的 三个水平；而四种土壤为第二个因子（土壤因子） 的四个水平。感兴趣于是否这三种肥料对于某作 物的产量有区别。称肥料因子为处理，而土壤因 子为区组。数据在下表中（表中数字为相应组合 的产量，单位公斤）。肥料种类肥料种类 肥料肥料A肥料肥料B肥料肥料C 土土 壤壤 类类 型型 土壤土壤1224668 土壤土壤2253648 土壤土

41、壤3182120 土壤土壤4111319 Friedman秩和检验秩和检验 Friedman秩和检验是关于位置的，和Kruskal- Wallis检验类似，形式上，假定这些样本有连续 分布F1,Fk，零假设为H0：F1=Fk，备选假设 为Ha：Fi(x)=F(x+qi)，i=1,k，这里F为某连续 分布函数，而且这些参数qi并不相等。 虽然这和以前的Kruskal-Wallis检验一样，但是由 于区组的影响, 要首先在每一个区组中计算各个 处理的秩；再把每一个处理在各区组中的秩相加. 如果Rij表示在j个区组中第i个处理的秩。则秩按 照处理而求得的和为 1 ,1,., b iij j RRik

42、 Friedman秩和检验秩和检验 这样做的目的是在每个区组内比较处理。 例如, 同个年龄段中比较药品的疗效比不分 年龄来比较疗效要合理；在同一个部位比 较不同的材料要比混合起来比较要合理等 等。这里要引进的Friedman统计量定义为 2 2 11 12(1)12 3 (1) (1)2(1) kk ii ii b k QRRb k bk kbk k 第一个式子表明，如果各个处理很不一样，和的平方就第一个式子表明，如果各个处理很不一样，和的平方就 会很大，结果就显著。第二个公式是为了计算方便而导会很大，结果就显著。第二个公式是为了计算方便而导 出的。它有近似的（有出的。它有近似的（有k-1个自

43、由度的）个自由度的）c c2分布。分布。 fert.sav数据数据 Test Statistics a 4 6.500 2 .039 .042 .037 N Chi-Square df Asymp. Sig. Exact Sig. Point Probability Friedman Testa. Ranks 1.00 2.25 2.75 A B C Mean Rank SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 使用fert.sav数据。 选项为AnalyzeNonparametric TestsK Related Samples。 然后把变量（这里是a、b、c）选入Test Variable

44、 List。 在下面Test Type选中Friedman。 在点Exact时打开的对话框中可以选择精确 方法（Exact），Monte Carlo抽样方法 （Monte Carlo）或用于大样本的渐近方法 （Asymptotic only）。最后OK即可 Kendall协同系数检验协同系数检验 在实践中，常需要按照某些特别的性质来 多次对一些个体进行评估或排序；比如几 个（m个）评估机构对一些（n个）学校进 行排序。人们想要知道，这些机构的不同 结果是否一致。如果很不一致，则该评估 多少有些随机，意义不大。 换句话说，这里想要检验的零假设是：这 些对于不同学校的排序是不相关的或者是 随机的；

45、而备选假设为：这些对不同学校 的排序是正相关的或者是多少一致的。 Kendall协同系数检验协同系数检验 一个机构对诸个体（学校）的秩（次序） 的和为1+2+n=n(n+1)/2；所有m个机 构对所有个体评估的总秩为mn(n+1)/2； 这样对每个个体的平均秩为m(n+1)/2。如 果记每一个个体的m个秩（次序）的和为Ri （i=1,n），那么，如果评估是随机的， 这些Ri与平均秩的差别不会很大，反之差别 会很大，也就是说下面的个体的总秩与平 均秩的偏差的平方和S很大。S定义为 2 1 (1) 2 n i i m n SR Kendall协同系数检验协同系数检验 这个和Kendall协同系数（

46、Kendalls Coefficient of Concordance）是成比例的， Kendall协同系数W（Kendalls W）定义为 23 12 () S W m nn 数据数据school.sav 下面是4个独立的环境研究单位对15个学校排序 的结果每一行为一个评估机构对这些学校的排序。 看上去不那么一致（也有完全一致的）： 数据数据school.sav SPSS的Kendall协同系数检验的输出 Test Statistics b 4 .491 27.500 14 .017 N Kendalls Wa Chi-Square df Asymp. Sig. Kendalls Coefficient of Concordancea. Some or all exact signi