§6.2定积分在几何学上的应用(1)

1、1问题的提出问题的提出小结小结 思考题思考题 定积分的应用定积分的应用-元素法元素法2一、问题的提出一、问题的提出按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、 baxxfId)(有了有了N-L公式后公式后,对应用问题来说对应用问题来说关键关键就在于如何写出就在于如何写出被积表达式被积表达式.iniixf )(lim10 得到得到 这个复杂的极限运算问题得这个复杂的极限运算问题得到了解决到了解决.xxfd)(xxfId)(d )1(是所求量是所求量 I 的微分的微分.iI 于是于是, 称称xxfId)(d 为量为量 I 的的微元微元或或元素元素. .取近似、取近似、 求和、求

2、和、 取极限取极限 ,3)2( I这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为元素法元素法或或微元法微元法. .xxfd)( ba方法方法简化步骤简化步骤)1(求出求出上任取一小区间上任取一小区间在在,d,xxxba+ +也是它的也是它的的近似值的近似值上所求量上所求量(d,Ixxx + +即即的微分的微分,d)()xxf.d)(xxfI 4Oxyab)(xfy xxxd+ + bxaxxfy 、直直线线设设曲曲边边梯梯形形由由)(.轴围成轴围成与与x这个小区间上所这个小区间上所对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积面积元素面积元素xxfAd)(d 得得 曲边梯形面积的积

3、分式也可以用曲边梯形面积的积分式也可以用元素法。元素法。 Axxfd)( ba地等于长为地等于长为f(x)、宽为、宽为dx 的的小矩形面积小矩形面积,故有故有近似近似Adxxfd)(上任取一小区间上任取一小区间在在,ba,d,xxx+ +5平面图形的面积平面图形的面积体体 积积 第一节第一节 定积分定积分在几何学上的应用在几何学上的应用6一、平面图形的面积一、平面图形的面积 回忆回忆 baxxfd)(的几何意义的几何意义:, 0)(, xfba内内若若在在的值的值则则 baxxfd)(轴轴之之间间与与等等于于介介于于xbxaxxfy ,),( 启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成

4、区域的面积也可以用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线. 注注7Oxy,上上设在区间设在区间ba,)(的上方的上方xgy ),()(xgxf 求这两条曲线求这两条曲线及直线及直线bxax ,所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.)(xgy )(xfy ab上上任任取取一一个个在在,ba,d,xxx+ +的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 Ad xxgxfAd)()(1) )()(xgxf xd ab位于曲线位于曲线曲线曲线)(xfy 即即A1. .直角坐标系中图形的面积直角坐标系中图形的面积小区间小区间xxxd+ +8(2) 由曲线

5、由曲线)()(ygyf 和直线和直线dycy ,所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.上上任任取取一一个个在在,dc,d,yyy+ +的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应 yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd+ +)(),(ygxyfx cdA小区间小区间Oxy9例例解解.2, 02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程组解方程组: xxyyx202交点交点).3 , 3(),0 , 0(面积元素面积元素 Ad,3 , 0 x法一法一 + + xxxAd)3(2.

6、2903选选 为积分变量为积分变量, xxd )2(2xx x确定积分限确定积分限,OxyA xxxd+ +xxxd)3(2+ + xxy22 )3 , 3( 0 yx10Oxy法二法二 选选y为积分变量为积分变量,3 , 1 y.2, 02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 面积元素面积元素 1dAyd )11(+ + +y y )11(+ + +y)11(+ + yyd Ayyd12 + +1 003yyyd)11( + + + + 29 法三法三 将图形看成将图形看成:3 , 0上方的三角形上方的三角形减去减去在在3 , 2上方的曲边梯形上方的曲边梯形,再再加上加上2 ,

7、 0下方的曲边梯形下方的曲边梯形: Axxd30 xxxd )2(322 xxxd)2(0202 + +29 2dA2A1A31 0 yxxxy22)3 , 3(11解解曲线的参数方程为曲线的参数方程为 tbytaxsincos由对称性由对称性,d40 axyA 4Attabdsin4202 .ab 作变量代作变量代换换,costax ,时时当当ax ,0时时当当 x例例其中其中22xaaby 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积不易积分不易积分.ttaxdsind ;2 t. 0 t)cos(dta02 abtbsinOxy.12222的面积的面积求椭圆求椭圆 + +b

8、yax圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体二、体 积积这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕由一个平面图形绕这平面内一条直线这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体1. 旋转体的体积旋转体的体积)(xfy ba,bax Vdxxd+ +旋转体的体积旋转体的体积xxfVd)(2 采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(xfy 直线直线bxax ,及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,上上任任取取小小区区间间在在,ba,d,xxx+ +xd取取以

9、以为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素 2)(xfxdab(1)OxyxyyVd)(2 )(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(yx dycy ,及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体, 体积为多少体积为多少?(2)直线直线 Vd体积元素体积元素 2)(y yd旋转体的体积旋转体的体积cdOxycd解解1 , 0 x.1 , 02轴旋转形成的体积轴旋转形成的体积上绕上绕在在求求xxy xyVdd2 体积元素体积元素xx d4 dxxV4 例例取积分变量为取积分变

10、量为x,5 01oxy12xy 旋转体的体积：旋转体的体积： dxxfVba2)( 轴轴所围成图形绕所围成图形绕和和求抛物线求抛物线yxyxy 2.旋旋转转所所得得旋旋转转体体的的体体积积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为).1 , 1()0 , 0(和和绕绕y轴旋转轴旋转 V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103 )1 , 1( xyO 1 04d)(yyy 例例 例例 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h, , r)的直线、直线的直线、直线x h及及x轴围轴围成一个直角三角形成一个直角三角形 将它绕将它绕x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为r、高、高为

11、为h的圆锥体的圆锥体 计算这圆锥体的体积计算这圆锥体的体积 圆锥体的体积公式推导：圆锥体的体积公式推导： 解解 解 直角三角形斜边的直线方程为xhry dxxhrVh20)( hxhr032231231hrhxhr032231231hr aaaadxxaabdxyV)(22222解（解（1）则旋转椭球体的体积为则旋转椭球体的体积为 椭球体的体积公式推导：椭球体的体积公式推导： 例例 计算由椭圆计算由椭圆 所成的图形分别绕所成的图形分别绕x, y 轴旋转而轴旋转而成的旋转体的体积。成的旋转体的体积。 12222+byaxaaxxaab313222234abaaaadxxaabdxyV)(2222

12、2 aaxxaab313222234ab x () 若椭圆 绕轴旋转 只需用上半椭圆 )( 只需用右半椭圆轴旋转绕若椭圆y . ,aax :积分区间 :微分元素 dd2yxV .d)(2222yybbaOxyaabb2 2222 4d ()d. 3 bbbbaVVbyya bb解（解（2） 三、典型例题选解三、典型例题选解1. 用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 31)32(+y2y332以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. O

13、xy22xyxy 11Mx2.解解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy , 轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 ) 1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV 12 07(2)d. 6Vxxx :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy 22xy) 1 , 1 ( M交点 .1 , 0 x圆环的面积圆环的面积Oxy22xyxy 11M ) 2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV d d2 1 21 0 121+VVVVV :计算体积 . 2 , 1 1 , 0y , 1 0, 上在区间 .