北京市石景山区2019届高三3月统一测试(一模)数学(理)试题

1、2019年石景山区高三统一测试数学（理）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在 答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40 分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项.1.已知集合P =x R |x 1 , Q =2, 3,贝U下列关系中正确的是B. P uQC. Q uPD. PUQ= R2设i是虚数单位，若复数（1i）z=2i，贝U复数z的模为A. 1B. 23某几何体的三视图如右图所示,.几何体的体积为A. 2B. 6C. 10D. 244九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智

2、C. 3D. 2俯视图游戏.在某种玩法中，用an表示解下n（n 1,9.若变量x, y满足约束条件y_x 1,则z=2x y的最小值为 .x 1,10等比数列an的首项印=2 , a4 =16，贝U其前n项和& = .11 在极坐标系中，直线PsinT=2与圆p = 4sin日的位置关系为 （填.“相交”、“相切”或“相离”）12 若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其表面 积的.值可能是（只需写出一个可能的值）2 213过双曲线笃-占=1的一个焦点F作其渐近线的平行线I，直线I与y轴交 a b.于点P，若线段0P的中点为双曲线的虚轴端点（0为坐标原点），则双曲线的离 心率为.

3、1在直角坐标系xOy中，点A X1,%和点B X2,y2 ,设集合4. M x, y | x2 y2 =1，且A, B M，AB=1，则玄2 *5= ；点A, B到x轴距离之和的最小值为.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题13分)在厶ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a ,b, c，b= 23，c= 3，cosB=-】.3(I) 求sinC的值；(U)求 ABC的面积.16. (本小题13分)某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均 相同.(I) 一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出 2个红球的概率；(U)每次从纸

4、箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；(川)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论.17. (本小题14分)如图，在四棱锥E _ABCD中，平面ABCD _平面AEB ,且四边形ABCD为矩形,.BAE= 120，AE= AB= 4，AD= 2，F ,G 分别为 BE ,AE 的中点，H 在线段 BC 上(不包括端点)I)求证:CD / 平面 FGH ;(U)求证：平面 DAF _平面CEB ；(川)是否存在点h，使得二面角h -gf B的大小为n?若存在，求BC若不存在，说明理由.18

5、. (本小题13分)设函数 f(x)二ex -ax 1， a 0 .(I)若曲线y=f(x)在点(1, f (1)处的切线与x轴平行，求a ;(U)当x =：1时，函数f(x)的图象恒在x轴上方，求a的最大值.19 .(本小题满分14分)已知椭圆C：4 匚=1(a b 0)的离心率为-，右焦点为F(c,0)，左顶点为A，a b2右顶点B在直线l : x =2上.(I) 求椭圆C的方程；(n)设点P是椭圆C上异于A , B的点，直线AP交直线I于点D，当点P运动 时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.20.(本小题13分)若项数为n的单调递增数列an满足： ai =1 ; 对

6、任意 k ( N *，2 k n )，存在 i, j ( i N *, j N *，1 i j 7 ;(ii)求数列an中所有项的和的最小值.2019年石景山区高三统一测试 数学（理）试卷答案及评分参考 、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CBBADCAC、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30 分.9. _1；10.2n 2;11.相交；12 . 2、3或 15或 33 15 ；1312 -141厶,J2422三、解答题：本大题共6个小题，共80 分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （本小题13 分）1解：（I ）在 VABC 中，

7、cosB二-，3 sinB= .1-cos2 B= 1 -(1)233b = 2：:：-3 ， c= 3，由正弦定理角=盏得寻h佥， sinCl31(II)由余弦定理 b2 二 a2 + c2-2accosB 得 12 二 a2 + 9-2 3a ()，32 a2a -3= 0，解得a= 1或a= -3 (舍)1Sv ABC 二acs inB216.（本小题13分）解：（I ）设一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出 2个红球”为事件A.C21则 P（ACT=2.（n ） 可能取 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .p（ “）心弓）0（1-4）4P（ =2）二雳（3）2（1一3）244社4 3

8、43 0P（ =4） =C4（? （1-?2562712881P（门七白心）344就33331P（ =3）=C4（：） （1-二）4464，2764，所以的分布列为匕01234P132727812566412864256256（m）75.17 .（本小题14分）（I）证明：在矩形ABCD中，CD / AB ,T F ,G分别为BE , AE的中点， FG AB，且 fg=ab , CD / FG ,t CD 二平面 FGH , FG 二平面 FGH , CD / 平面 FGH .（n）证明：在矩形 ABCD中，AD_AB ,矩形ABCD _平面AEB，且平面 ABCD I平面AEB= AB ,

9、 AD _ 平面 AEB ,又BE 平面AEB , AD _ BE , AE = AB , F 为 BE 的中点， AF _ BE,又 ADI AF = A , BE _ 平面 ADF ,/ BE 平面 CEB ,平面DAF _平面CEB .(川)在平面ABE内作AB的垂线，如图建立空间直角坐标系A- xyz ,v . BAE = 120, AE= AB= 4 , AD= 2 , A(0,0, 0) , B(0,4,0) , C(0, 4,2),E(2、.3 , -2,0), GG.3, -1,0), F(、3, 1,0),BHBCuuu uuuBH = BC 仝.(0 , 0 , 2) =(

10、0 , 0 , 2 ), H(0, 4, 2 ),uuuuuu - GF =(0 , 2, 0) , FH = (- .3,3, 2 ),设平面FGH的法向量为n = (x , y , z),r uuun GF =0, r uuun FH -0,即23x+ 3y+ 2，z = 0 ,令 x = 2 ,则 z = 3 , n = (2 , 0, , 3)是平面FGH的一个法向量,v AD _ 平面 AEB ,uuiu平面AEB的法向量为AD = (0,0, 2),nr面角H -GF -B的大小623.(2 )23 2r uuuI cos ： n , AD |=v H 在 BC 上, =218 .

11、(本小题13分)解：(I) Q f (x) = ex _ax 1f (x) =ex a ,f (1)=e_a ,由题设知f (1) =o，即e - a = 0，解得a = e .经验证a = e满足题意。(n)方法一：令 f x =0，即 ex =a，则 X = I n a(1) 当 In a : 1 时，即 0 ： a : e对于任意x三，1 n a有f x -i），即x 2故点E到直线PF的距离|2 2k -1|d 二一1 4k24k1 (5)24k2=|2k|1 4k2)2(4k（或直线PF的方程为為x_y-卷-0,故点E到直线PF的距离4k1 ：k2 2k 1 4k2(仁 4k2)21

12、又因为BD= 2R = 4k ,综上得，当点P运动时,2k 8k31 - 4k21 4k2= 2|k|)|1 _ 4k2 |故以BD为直径的圆与直线PF相切.以BD为直径的圆与直线PF相切.解法二:（U）以BD为直径的圆与直线PF相切.证明如下：设点P（xo, yo）,则念 业=1仏=0）433当X时,点P的坐标为（1,弓，直线PF的方程为,点D的坐标为（2, -2）此时以BD为直径的圆（x-2）2 （y1）2 =1与直线PF相切, 当X -1时直线AP的方程为y二（x 2）,X。+2点D的坐标为D（2,，灶）,BD中点E的坐标为（2,X。+22 y0xo22 y0），故知1症1直线PF的斜率

13、为kPF二yoXo -1故直线PF的方程为y=(x_1),即一沁一仁0,xo -1yo|2一y汉自匚_1|所以点E到直线PF的距离d ： 0X2=|=| BE |V yo故以BD为直径的圆与直线PF相切.综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切.20 .(本题13分)解：(I)因为3=1 V ,所以1,3,4,7不具有性质P ;因为2=11 , 3=1 2 , 5 = 2 3，所以1,2,3,5具有性质P .()(i) 因为an是单调递增数列，又aai aj ,所以 ax aj : ak 即 a a ak j，所以 a!2ak4，6=1，所以 a2 _ 2， a3 _ 4， a4

14、_ 8， a5 _ 16， a6 _ 32，又因为an =36，所以n _7 .(ii) 因为 36=18 18，18=9 9，9=3 6，6 =3 3，3 = 1 2,2=1 1 ；所以可以构造数列1 ,2,3, 6 9 18,36满足性质P ;或 36=18 18, 18=9 9, 9=4 5, 5=4 1 , 4=2 2,2=1 1 ,所以可以构造数列1,2,4, 5 9 18,36满足性质P ;上述两个数列的和为75，下面说明75为数列an中所有项的和的最小值.若18在数列an中，要求数列an中所有项的和的最小值，贝U a = 18 ,若18不在数列an中，则ai - aj =36，由(i)知n -