向量与空间解析几何 向量函数空间曲线

1、 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程10.5 空间曲线空间曲线例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭

2、圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面222

3、ayx 上以上以角速度角速度w w绕绕z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升 （其中（其中w w、v都是常数），那么点都是常数），那么点M构成的图形叫做构成的图形叫做 螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程A MM M在在xoy面面的的投投影影)0 ,(yxM taxw wcos tayw wsin vtz tw w螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(w ww w vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:0

4、0 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影

5、类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为

6、曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z例例5 5 求抛物面求抛物面xzy 22与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面)(3442222yxzyxz 和和锥锥面面面面设设一一个个立立体体，由由上上半半球球例例

7、所所围围成成，面面上上的的投投影影求求它它在在xoy解解 )(342222yxzyxzC交交线线得得消消去去 z122 yx面的投影为面的投影为在在则则xoyC 0122zyx面面上上的的一一个个圆圆，这这是是 xoy面面上上的的投投影影即即为为于于是是所所求求立立体体在在 xoy. 1| ),(22 yxyxxzy空间曲线的切线和弧长空间曲线的切线和弧长 )()()(tzztyytxx设设曲曲线线),(),(0000ttzyxM 此此时时处处的的切切线线考考虑虑在在点点M),(111zyxP的的方方程程为为：割割线线 MP010010010zzzzyyyyxxxx 即即)()()()()()(010010010tztzzztytyyytxtxxx )()()()()()(000000000tzttzzztyttyyytxttxxx ttzttzzzttyttyyyttxttxxx )()()()()()(000000000切线方