§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释

1、12.32.3几种重要的离几种重要的离散型分布散型分布 2 如果一个随机变量如果一个随机变量X X只有一个取值，则称只有一个取值，则称X X一、单点分布一、单点分布服服从从单点分布单点分布显然，它的显然，它的分布列分布列为为 1,P XC 分布函数分布函数为为 0,1,.xCF xxC 任何常数都可以看作是一个随机变量，并称任何常数都可以看作是一个随机变量，并称为为常数值随机变量常数值随机变量3如果一个随机变量只有两个可能取值，则如果一个随机变量只有两个可能取值，则二、两点分布二、两点分布称服从称服从两点分布两点分布新生婴儿是男还是女；新生婴儿是男还是女； 一次抽样的结果是正品还是次品；一次抽

2、样的结果是正品还是次品； 掷一枚骰子是否掷出点掷一枚骰子是否掷出点2 2；一次投篮是否投中；一次投篮是否投中； 一次投标是否中标一次投标是否中标 都可以用一都可以用一个服从两点个服从两点分布的随机分布的随机变量来描述变量来描述 4任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型XP01p 1p 1P(1),0,1 .kkXkppk 或用公式表示为或用公式表示为此时，称服从此时，称服从参数为参数为的的0-10-1分布分布，p其其分布分布函数函数为为 0,0,1,011,1.xF xpxx ，5三、二项分布三、二项分布 ,kkn knP XkC p q 努利努利

3、试验中成功的次数，则可把试验中成功的次数，则可把伯努利公式伯努利公式(1.9)(1.9)重新写成如下的形式重新写成如下的形式 若若X X表示每次试验成功概率为表示每次试验成功概率为的的p重伯重伯n其中其中 01 ,1,pqp 称称X X服从服从参数为参数为0, 1, 2,kn ,.XB n p的二项分布的二项分布，记作，记作 ,n p6 00C1.nnnkkn kknkkpp qpq 二项式定理二项式定理kkn kknpC p q 每个每个恰好是二项式恰好是二项式 npq 展开展开式中的各项，这就是式中的各项，这就是“二项分布二项分布”这个名这个名称称的来历的来历 分布列正则性验证：分布列正则

4、性验证： 7 例例2.72.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有设从学校乘汽车到火车站的途中有3 3个交通岗，个交通岗，其概率均为其概率均为0.40.4，求途中遇到红灯的概率，求途中遇到红灯的概率. .交通岗交通岗交通岗交通岗交通岗交通岗1 1在各交通岗遇到红灯是相互独立的，在各交通岗遇到红灯是相互独立的，特别地，若特别地，若则服从参数为则服从参数为 1,XBp的的0-10-1分布分布p8 3, 0.4 .XB中遇到红灯的次数，则就是在每次成功概率为中遇到红灯的次数，则就是在每次成功概率为0.40.4的的3 3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而重伯努利试验中恰好成功的次数，从而于是，所求概率为于

5、是，所求概率为 110P XP X 003310.40.60.784 .C 解解 考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红灯或没有遇到红灯，即成功或失败灯或没有遇到红灯，即成功或失败用表示途用表示途9解解 由由 3191101127P XP Xp得得 1,3p 故故 13,3XB于是于是 2231222.339P XC 例例2.82.8 设随机变量设随机变量X X服从参数为服从参数为,n p的二的二项分布，已知项分布，已知求求 191,27P X 2 .P X 10 例例2.92.9

6、 已知某种疾病患者自然痊愈率为已知某种疾病患者自然痊愈率为0.10.1，为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给1010个病个病人服用，且事先规定一个决策准则：这人服用，且事先规定一个决策准则：这1010个病人个病人中至少有中至少有3 3个人治好此病，则认为这种药有效，提个人治好此病，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反之，则认为此药无效求新药完高了痊愈率；反之，则认为此药无效求新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率全无效，但通过试验被认为有效的概率 解解 每次成功每次成功( (病人痊愈病人痊愈) )的概率为的概率为0.10.1，用，用X X表表 10,0.1

7、.XB示示1010个病人中痊愈的人数，则个病人中痊愈的人数，则于是，所求概率为于是，所求概率为 210100310.10.90.0702.kkkkP XC 11四、泊松分布四、泊松分布 两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 ,0,1, 2,!kP Xkekk 若离散型随机变量的分布列若离散型随机变量的分布列为为景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学家家泊松泊松的名字来命名的名字来命名其中其中则称服从则称服从参数为参数为0, 的泊松分布的泊松分布， .XP 记作记作120001.!kkkkkkpeeeekk 服从或

8、近似服从泊松分布的例子是大量存服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在：在：分布列正则性验证：分布列正则性验证： 服务系统在单位时间内来到的顾客数；服务系统在单位时间内来到的顾客数；击中飞机的炮弹数；击中飞机的炮弹数； 大量螺钉中不合格品出现的次数；大量螺钉中不合格品出现的次数；数字通讯中传输数字中发生的误码个数；数字通讯中传输数字中发生的误码个数；母鸡在一生中产蛋的只数母鸡在一生中产蛋的只数 13例例2.102.10 某城市每天发生火灾的次数某城市每天发生火灾的次数 1 ,XP 203131kP XP XP Xk 求该城市一天内发生求该城市一天内发生3 3次或次或3 3次以上火灾的概率次以上火

9、灾的概率 解解 2101110.9200.08.!kkek 对立事件公式对立事件公式 查泊松分布查泊松分布表（附表表（附表1 1） 14泊松分布有一个非常实用的特性泊松分布有一个非常实用的特性二项分二项分 ,XB n p布的泊松近似布的泊松近似具体地讲，设具体地讲，设 ,YP 其中其中 n较大，较大， p很小，而很小，而 ,np 如果要计算如果要计算 1,n kkknP XkC pp ,1.!knpn kkknnpC ppek 很很大大很很小小那么可近似计算那么可近似计算 .!kP Ykek 即即 15这个结论可叙述为：这个结论可叙述为：的二项分布的概率计算问题的二项分布的概率计算问题可以转化

10、可以转化成参数成参数pp较大，较大，n很小的条件下，参数为很小的条件下，参数为,n 在在的泊松分布的概率计算问题的泊松分布的概率计算问题np 为为 例例2.112.11 在例在例2.92.9中，根据二项分布我们已中，根据二项分布我们已经计算出了认为新药有效的概率约为经计算出了认为新药有效的概率约为7.027.02，现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认为新药有效的概率为新药有效的概率16解解 kkkkP XC 101010330.10.9kkek 10131!二项分布的泊松二项分布的泊松近似近似 查泊松分布查泊松分布表（附表表（附表1 1） 0.080

11、3.它与例它与例2.92.9的结果相比较，近似效果是良好的的结果相比较，近似效果是良好的 如果如果p p较大，那么二项分布不宜转化泊松较大，那么二项分布不宜转化泊松分布，该如何办的问题将在分布，该如何办的问题将在5.35.3中回答中回答17例例2.122.12 某出租汽车公司共有出租汽车某出租汽车公司共有出租汽车500500辆，辆，解解 设设X X是每天内出现故障的出租汽车数，则是每天内出现故障的出租汽车数，则 500,0.01XB， 10010kP XP Xk 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.010.01，试求，试求一天内出现故障的出租汽车不超过一天内

12、出现故障的出租汽车不超过1010辆的概率辆的概率101050055000050.010.990.986.!kkkkkkCek18例例2.132.13 设有设有N N件产品，其中有件产品，其中有M M件是次品，件是次品，随随* *五、超几何分布五、超几何分布n机地从这件产品中抽取机地从这件产品中抽取件产品，我们关件产品，我们关心心的是在所抽的的是在所抽的件产品中恰有件产品中恰有kn件次品的概率件次品的概率 解解 显然，显然，且在所抽的且在所抽的,kM kn n件件产产,NM 品中的正品数也不能超过整个产品的正品数品中的正品数也不能超过整个产品的正品数即即于是于是.nkNM 满足约束条件满足约束条

13、件k max 0,min,.MnNkM n(2.4)(2.4) 19典概型容易计算出典概型容易计算出否则相应的概率为否则相应的概率为0 0若若k满足满足(2.4)(2.4)式，则所求概率由式，则所求概率由(2.5)(2.5)式决定，式决定，用用X表示所抽的表示所抽的n件产品的次品数，利用古件产品的次品数，利用古 kn kMNMnNC CP XkC ，(2.5)(2.5) 若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布由式（的概率分布由式（2.5）和）和分布分布. 记作记作 ,.XH n M N(2.4)给出，则称给出，则称X服从服从参数为参数为,n M N的超几何的超几何20 超几何分布与抽样检

14、验有密切的联系，下面超几何分布与抽样检验有密切的联系，下面分布列正则性验证：分布列正则性验证： 1.kn kkn knMNMkMNMNknnnkkNNNC CC CCpCCC 举一个计数抽样方案的例子所谓举一个计数抽样方案的例子所谓计数抽样计数抽样是对是对产品的检验只分产品的检验只分“好好”与与“次次”两种情况，若在两种情况，若在一批一批产品中随机抽取了产品中随机抽取了n件产品，并规定若其中的次件产品，并规定若其中的次品数品数c c，则判定这批产品合格，否则判定不合，则判定这批产品合格，否则判定不合格，通常用格，通常用 (n(nc)c)表示这个抽样方案表示这个抽样方案21 制定一个计数抽样方案

15、就是根据实际情况选制定一个计数抽样方案就是根据实际情况选择合适择合适n的和的和c 例例2.142.14 设有一批产品，批量为设有一批产品，批量为10001000件，假件，假定该批产品的次品率为定该批产品的次品率为11若采用抽样方案若采用抽样方案（1501502 2），求接受这批产品为合格的概率），求接受这批产品为合格的概率解解 此例中，此例中，1000,1000 0.0110,NM 接受产品为合格的概率是接受产品为合格的概率是 150,n 2012P XP XP XP X 22即即当采用（当采用（1501502 2）方）方案时，在每案时，在每100批这样产品批这样产品0150114921481

16、09901099010990150150150100010001000C CC CC CCCC 0.19530.34830.27740.821, 中，约有中，约有82批被判定是合格的批被判定是合格的. 下面我们把二项分布与超几何分布作一比较下面我们把二项分布与超几何分布作一比较N件件M件次品件次品N-M件正品件正品23 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件如果每抽一件产品放回后，再抽下一件XMpN 产品，如此有放回地随机地抽取产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是件，这是n重重伯努利试验，那么所抽的伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数件产品的次品数其中其中表示次品率表示次品率. ,B n p

17、如果产品数量足够多，不放回与放回抽如果产品数量足够多，不放回与放回抽样对下一次抽到次品还是正品影响甚微于样对下一次抽到次品还是正品影响甚微于是，当很大，而是，当很大，而较小时，超几何分布可用较小时，超几何分布可用nN 1.kn kn kkkMNMnnNC CC ppC 二项分布去近似即二项分布去近似即24* *六、几何分布六、几何分布 11111.11kkkkppppp 在一个每次成功概率为在一个每次成功概率为p的伯努利试验序列的伯努利试验序列中，用中，用X X表示首次成功时的试验次数，则表示首次成功时的试验次数，则X X的所有的所有可能可能取值为取值为1 1，2 2，其分布列为，其分布列为

18、11,1,2,kP Xkpp k 称称X X服从服从参数为参数为的几何分布的几何分布，记作，记作p .XG p分布列正则性验证：分布列正则性验证： 25每个每个恰好是几何级数恰好是几何级数 11kkppp 中的各项，这就是中的各项，这就是“几何分布几何分布” 111kkpp 这这一名称的由来一名称的由来 某种产品的次品率为某种产品的次品率为0.010.01，则首次检，则首次检 某投篮手的命中率为某投篮手的命中率为0.80.8，则首次投中，则首次投中 0.8 .YG 0.01 ;XG几何几何分布分布大量大量存在存在查到次查到次品的检查次数品的检查次数 时的投时的投篮次数篮次数26例例2.152.15 某人独立重复地做一个试验，已