【公开课课件】必修第二册第六章6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理 课件

1、人教2019A版必修 第二册6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 第六章 平面向量及其应用课程目标课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形

2、边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律. 1课堂导入引例：引例： 在在 中，已知中，已知 ，求，求b、a. .ABC304510CAc,分析：分析：由余弦定理由余弦定理 列出方程组列出方程组 解方程组即可。解方程组即可。.coscosCabbacAbccba22222222；.abbabba30210452010222222coscos；提出问题：提出问题：这两个方程都是二次的，解起来比较麻烦，那么有没这两个方程都是二次的，解起来比较麻烦，那么有没有简便方法呢？这就是我们本节课要研究的内容有简便方法呢？这就是我们本节课要研究的内容正弦定理。正弦定理

3、。2学习目标1 1、理解并掌握正弦定理的内容；、理解并掌握正弦定理的内容；2 2、掌握正弦定理证明的方法；、掌握正弦定理证明的方法；3 3、正确选择正、余弦定理解简单的斜三、正确选择正、余弦定理解简单的斜三角形。角形。问题问题2 2：上述两等式间有联系吗？（以上述两等式间有联系吗？（以c为媒介）为媒介）问题问题1：直角三角形中直角三角形中sinA、sinB与与a、b、c之间由什之间由什么关系么关系? ABCcbacBbAasinsin1CsinCcBbAasinsinsin3新课讲解cbBcaAsin,sin该式子形式统一和谐，请同学们认真感受数学之美，并回想以下数学该式子形式统一和谐，请同学

4、们认真感受数学之美，并回想以下数学中还有哪些公式向我们展现了和谐之美。中还有哪些公式向我们展现了和谐之美。正弦定理的证明：2则如图所示，则如图所示，RCDDaAa2sinsinRCcBbAa2sinsinsin即即:方法一：方法一：设三角形设三角形ABC的外接圆圆心为的外接圆圆心为O，连连CO交圆与交圆与D，连，连BD.问题问题3:3: 是否对所有三角形都成立，如何证明？是否对所有三角形都成立，如何证明？CcBbAasinsinsin=2R同理同理:BbsinCcsin=2RCBAOacbD方法二：用向量知识证明正弦定理3分析：分析：可用由诱导公式：可用由诱导公式：sin=cos(90)转化。

5、转化。 ACBCCBjAABjACj222,则：则：夹角的确定为我们构造数量积创造了有利条件。夹角的确定为我们构造数量积创造了有利条件。向量的数量积的定义向量的数量积的定义 中两向量的中两向量的夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？夹角是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？cosbabaj这一转化产生了新角这一转化产生了新角90，为了方便证明，为了方便证明，就需要添加垂直于三角形一边的单位向量就需要添加垂直于三角形一边的单位向量 。j同理，过同理，过C作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 ，可得，可得CBj在锐角三角形形中证明正弦定理4ABCBAC由向量的加法可知：由向量的加

6、法可知：ABjCBACj)()cos()cos(cosAABjCCBjACj222AcCasinsin 即即CcAasinsinCcBbsinsinCcBbAasinsinsinbacACB证明：证明：在锐角在锐角 中，过中，过A作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 ， ABCACjjCCBjAABjACj222,则：则：证明：证明：在钝角在钝角 中，不妨设中，不妨设A为钝角为钝角, ,过过A作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 ， ABCACj在钝角三角形中证明正弦定理5)cos()cos(cos222AABjCCBjACjCCBjAABjACj222,则：则：由向量的加法可知：由向量的加法可知

7、：ABCBACABjCBACj)(AcCasinsin 即即CcAasinsin同理，过同理，过C作单位向量作单位向量 垂直于垂直于 ，可得，可得CBjCcBbsinsinCcBbAasinsinsinACBacbj正弦定理的内容6正弦定理：正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即角的正弦的比相等，即RCcBbAa2sinsinsin备注：备注：（1）其中）其中R为三角形外接圆的半径；为三角形外接圆的半径； （2）正弦定理适合任意三角形。）正弦定理适合任意三角形。4典例剖析例例1: 在在 中，已知中，已知 ，求，求b（保留（保留两个有效数字）两个

8、有效数字）. ABC304510CAc,解：解： 且且CcBbsinsin105180)(CAB193010510sinsinsinsinCBcb我们先来解决以下引例中的问题我们先来解决以下引例中的问题结论：结论：(1)(1)正弦定理可以解决正弦定理可以解决已知两角，及其中已知两角，及其中一角的对边一角的对边(AAS)的解三角形问题的解三角形问题。（比我们开始用的余弦定理简单）。（比我们开始用的余弦定理简单）（2 2）(AAS)的解三角形问题只有一组解。的解三角形问题只有一组解。例例2: 在在 中，已知中，已知 ，求，求b（保（保留两个有效数字）留两个有效数字）. ABC1054510BAc,

9、解：解： 且且CcBbsinsin30180)(BAC193010510sinsinsinsinCBcb结论：结论：(1)(1)正弦定理可以解决正弦定理可以解决已知两角，及其中已知两角，及其中一角的对边一角的对边(ASA)的解三角形问题的解三角形问题。（2 2）(ASA)的解三角形问题只有一组解。的解三角形问题只有一组解。例例2:在在ABC中，已知中，已知a20，b28，A40，求，求B（精确到（精确到1）和）和c（保留两个有效数字）。（保留两个有效数字）。解：解：,.sinsinsin89990204028aAbBB164，B2116，当当B164时，时，C1180（B1A）180（6440

10、）76.sinsinsinsin3040762011ACac当当B2116时，时，C2180（B2A） 180（11640）24.sinsinsinsin1340242022ACac思考：思考：例例2 2为什么有两个解？（结合三角形全等和三角为什么有两个解？（结合三角形全等和三角形的边角关系以及三角形内角和定理回答。形的边角关系以及三角形内角和定理回答。答：答：（1）例）例2中给出了两个边和其中中给出了两个边和其中一边的对角一边的对角，即，即（AAS）。而根据全等三角形的判定定理我们知道）。而根据全等三角形的判定定理我们知道AAS的三角形未必全等，所以有两个解。的三角形未必全等，所以有两个解。

11、（2）两个解都不违背大角对大边定理。）两个解都不违背大角对大边定理。（3）两个解都不违背三角形的内角和定理。）两个解都不违背三角形的内角和定理。已知两边和其中一边的对角探究三角形解的个数7例例3 3：(1)(1) 中中 ，已知，已知 ，则，则满足该条件的三角形共有多少个？满足该条件的三角形共有多少个？ABC302422Aba,BC30AD解：解：我们可以通过作图来解答该题我们可以通过作图来解答该题（1 1）作）作 ，固定下，固定下 30AA（2 2）作）作 ，固定下，固定下24 bACC与与 有一个交点有一个交点 ，所以有一，所以有一个这样的三角形。个这样的三角形。ADB（3 3）以）以 为圆

12、心，为圆心， 为半径划弧，为半径划弧，C22已知两边和其中一边的对角探究三角形解的个数7例例3 3：(2)(2) 中中 ，已知，已知 ，则满足，则满足该条件的三角形共有多少个？该条件的三角形共有多少个？ABC30244Aba,解：解：我们可以通过作图来解答该题我们可以通过作图来解答该题（1 1）作）作 ，固定下，固定下 30AA（2 2）作）作 ，固定下，固定下24 bACC（3 3）以）以 为圆心，为圆心， 为半径划弧，为半径划弧，C4与与 有两个交点有两个交点 ，这两，这两个交点都满足题意，所以有两个个交点都满足题意，所以有两个这样的三角形。这样的三角形。AD21BB 、2B1BC30AD

13、已知两边和其中一边的对角探究三角形解的个数7例例3 3：(2)(2) 中中 ，已知，已知 ，则，则满足该条件的三角形共有多少个？满足该条件的三角形共有多少个？ABC30241Aba,C30AD解：解：我们可以通过作图来解答该题我们可以通过作图来解答该题（1 1）作）作 ，固定下，固定下 30AA（2 2）作）作 ，固定下，固定下24 bACC与与 无交点无交点 所以满足条件的三所以满足条件的三角形不存在。角形不存在。AD（3 3）以）以 为圆心为圆心, , 为半径划弧，为半径划弧，C1思考：思考：例例3 3中的中的3 3个小题，有没有别的解法？个小题，有没有别的解法？答：答：我们可以运用例我们

14、可以运用例2 2的方法，直接用正弦定理求的方法，直接用正弦定理求解，求出的结果只要不违背大角对大边，大边对大解，求出的结果只要不违背大角对大边，大边对大角，三角形的内角和定理都是对的。角，三角形的内角和定理都是对的。注意：注意：用代数法求解时，有多个解一定要验证是否用代数法求解时，有多个解一定要验证是否满足大角对大边，大边对大角，三角形的内角和定满足大角对大边，大边对大角，三角形的内角和定理。理。小结：小结：已知已知a,b和和A(锐角），解的个数判断。锐角），解的个数判断。【方案一方案一】无解无解sinBa?是是两解两解否否 sinB=1?否否是是一解一解sinsinbABa 计算否否一解一解

15、注意：注意：sinB1，且已知角多对的且已知角多对的边较小，有两个边较小，有两个解。解。【方案二方案二】sinsinbABa sinabA sinbAAbCBBaasinabA sinbAAbCBasinabA sinbAAbCa正弦定理正弦定理 的变形的变形知识拓展8(1) :sin:sin:sina b cABC (2)2sin,2sin,2sin;aRA bRB cRC(3)sin,sin,sin;222abcABCRRR(4)sinsinABCabAB在中，RCcBbAa2sinsinsin5课堂小结一个一个 定理定理正弦定理正弦定理RCcBbAa2sinsinsin二种二种方法方法

16、平面几何法平面几何法 向量法向量法二个二个应用应用 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有一解） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）（有一解，两解，无解） 例1.在 中，已知 解这个三角形。ABC, 33,45,15cBA解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 120)4515(180)(180BAC120sin)3045sin)33(120sin15sin)33(sinsin（CAca120sin)30sin45cos30cos45)(sin33(262322)33(120sin45sin)33(sinsinCBcb223)21222322)

17、(33(例2.在 中，已知 ，解这个三角形。ABC2,2,30cbB解：由正弦定理，得 所以 22230sin2sinsinbBcC30sin4560sin230sin105sin2sinsin）（BAba此时 因为 于是 或 30,Bbc18030C 45C135C（1）当 时， 45C105A30sin)45sin60cos45cos60(sin21321)22212223(230sin3045sin230sin15sin2sinsin）（BAba此时 （2）当 时， 105C15A30sin)30sin45cos30cos45(sin21321)21222322(2达标检测C1正弦定理：正弦定理：利用正弦定理可以解决的问题：利用正弦定理可以解决的问题：CcBbAasinsinsin 1 1、已知三角形的任意、已知三角形的任意两角与一边两角与一边，求其他两边和另，求其他两边和另一角。一角。2 2、已知三角形的已知三角形的两边与其中一边的对角两边与其中一边的对角，出三角形，出三角形的其他