第八章 随机解释变量

1、第八章 随机解释变量预备知识：估计量的统计性质n小样本性质线性无偏性有效性n大样本性质（渐近性质）渐近无偏性渐近无偏性一致性一致性渐近有效性渐近有效性 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性性）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数； （2 2）无偏性）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； （3 3）有效性）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。最小二乘估计量的性质（4 4）渐近无偏性）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的

2、均值序列趋于总体真值；（5 5）一致性）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6 6）渐近有效性）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计最佳线性无偏估计量量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本大样本或或渐近性质渐近性质：n关于一致性几乎所有经济学家都同意一致性是对一个估计量的最起码要求。“如果你在n趋于无穷大时还不能正确地得到它，那你就不应该做这

3、件事”格兰杰 （如果你给出一特定总体参数的估计量不是一致的，那你是在浪费时间）n一致性的含义一致性的含义：随着样本容量的增加，参数估计量的分布越来越紧密的分布在其真实值的周围 由于最小二乘估计量拥有一个由于最小二乘估计量拥有一个“好好”的估计量的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。 )/lim()/lim()lim()lim()lim()lim(212111nxPnxPxxPPkPPiiiiiiii1110),(QQXCov本章知识要点n一、随机解释变量问题（定义）n二、实际经济问题中的随机解释变量问题 n三、随机解释变量的后果n四、

4、工具变量法n五、案例 一、随机解释变量问题一、随机解释变量问题基本假设基本假设: :解释变量X1,X2,Xk是确定性变量。 如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题随机解释变量问题。 假设假设X2为随机解释变量。对于随机解释变量问为随机解释变量。对于随机解释变量问题，分题，分三种三种不同情况：不同情况： 对于模型 ikikiiiXXXYL221101. 1. 随机解释变量与随机误差项独立随机解释变量与随机误差项独立0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 2. 随机解释变量与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneo

5、usly uncorrelated)(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 3. 随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously correlated)(contemporaneously correlated)。 0)()(2,2iiiixEXCov随机解释变量问题随机解释变量问题 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。 于是于是随

6、机解释变量问题随机解释变量问题主要主要表现于：表现于：用滞用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况后被解释变量作为模型的解释变量的情况。二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 例如：例如： 耐用品存量调整模型： 耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当期收入It共同决定： Qt=0+1It+2Qt-1+t t=1,T这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量Qt-1只与t-1相关，与t不相关，属于上述的第2种情况。实际经济问题中的随机解释变量问题实际经济问题中的随机解释变量问题合理预期的消费函

7、数模型 合理预期理论合理预期理论认为消费Ct是由对收入的预期Yte所决定的：tettYC10 预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设 ettetYYY1)1 (容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一随机解释变量，且与 (t-t-1)高度相关。属于上述第3种情况。实际经济问题中的随机解释变量问题实际经济问题中的随机解释变量问题 计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，不同性质的随机解释变量会产生不同的后果。 三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果 随

8、机解释变量与随机误差项相关图随机解释变量与随机误差项相关图 （a）正相关 （b）负相关 拟合的样本回归线拟合的样本回归线可能低估截距项，而可能低估截距项，而高估斜率项。高估斜率项。 拟合的样本回归线拟合的样本回归线高估截距项，而低高估截距项，而低估斜率项。估斜率项。三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果 对一元线性回归模型： tttXY10 OLS估计量为2121ttttttxxxyx 1、如果、如果X与与 相互独立，得到的参数估计相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。量仍然是无偏、一致估计量。 已经得到证明 随机解释变量X与随机项 的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会

9、不同。 三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果 2、如果X与同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。 kt的分母中包含不同期的X；由异期相关性知：kt与 t相关，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但是三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果 3、如果X与同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。 注意：注意： 如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机误差项同期相关时，OLS估计量是有偏的、且是非一致的。 即使同期无关，其OLS估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。 2的证明中已得到三、随机解释变量的后果三、随

10、机解释变量的后果 模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，OLS估计量是有偏的。 如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量； 但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量法（Instrument variables）。 四、工具变量法四、工具变量法 1 1、工具变量的选取、工具变量的选取 工具变量工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。 选择为工具变量的变量必须满足以下条件选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）与所替代的随机解释变量高度相关；）与所替代的随机解

11、释变量高度相关； （2）与随机误差项不相关；）与随机误差项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。免出现多重共线性。四、工具变量法四、工具变量法 2 2、工具变量的应用、工具变量的应用 以一元回归模型的离差形式为例说明如下：以一元回归模型的离差形式为例说明如下：iiixy1用OLS估计模型，相当于用xi去乘模型两边、对i求和、再略去xii项后得到正规方程正规方程： 21iiixyx21iiixyx(*)解得四、工具变量法四、工具变量法 然而，如果Xi与i相关，即使在大样本下，也不存在 (xii)/n0 ，则在大样本下也不成立，OLS估

12、计量不具有一致性。21iiixyx由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味着大样本下 (xii)/n0 表明大样本下21iiixyx成立，即OLS估计量具有一致性。工具变量法工具变量法 如果选择Z为X的工具变量工具变量，那么在上述估计过程可改为:iiiiiizxzyz1利用E(zii)=0，在大样本下可得到： iiiixzyz1关于0的估计，仍用XY10完成。 这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法工具变量法(instrumental variable method)，相应的估计量称为工具变量法估计量工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimat

13、or）。工具变量法工具变量法 对于矩阵形式： Y=X + 采用工具变量法（假设X2与随机项相关，用工具变量Z替代）得到的正规方程组为： XZYZ参数估计量为： YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXXLLLL212111211111Z其中称为工具变量矩阵工具变量矩阵工具变量法工具变量法3 3、工具变量法估计量是一致估计量、工具变量法估计量是一致估计量 一元回归中，工具变量法估计量为如果工具变量Z选取恰当，即有 iiiiiiiiixzzxzxz111)(两边取概率极限得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiii

14、iXZxznP因此： 11)lim(P工具变量法工具变量法 1 1、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的、在小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。 注意：注意：0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzE 2 2、工具变量并没有替代模型中的解释变量、工具变量并没有替代模型中的解释变量，只，只是在估计过程中作为是在估计过程中作为“工具工具”被使用。被使用。 上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面的两步OLS回归： 第一步第一步，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归： iiZX10工具变量法工具变量法iiXY10 容易验证仍有: iiiixzyz1 因此，工具变量法仍是工具变量法仍是Y

15、 Y对对X X的回归，而不是的回归，而不是对对Z Z的回归的回归。 3、如果模型中有两个以上的随机解释变量与随如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果用的次序不影响估计结果。工具变量法工具变量法 4 4、OLSOLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。可以看作工具变量法的一种特殊情况。 5 5、如果、如果1 1个随机解释变量可以找到多个互相个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具

16、变独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了量的信息，就形成了广义矩方法广义矩方法（Generalized Method of Moments, GMM）。 在在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。是如何求解成为它的核心问题。 工具变量法是工具变量法是GMM的一个特例。的一个特例。 6 6、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释、要找到与随机扰动项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事变量相关的工具变量并不是一件很容易的事 可以用可以用Xt-1作为原解释变量作为原解释变量Xt的工具变量。的工具变量。 工具变量法工具变量法 在中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：GDPPCONSP10 由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此， 容易判