有限元简介,应用

1、有限元方法综述0 0引言随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规 模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。 这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析(FEAFEA，FiniteFinite ElementElementAnalysisAnalysis)方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。有限元法的基本思

2、想是将连续的求解区域离散为一组有限个单元且按一定 方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且 单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数 精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，则近似解 最后将收敛于精确解。1 1有限元方法发展 1 1.1 1有限元方法起源有限元方法是受内外动力的综合作用而产生的。19431943年，柯朗在美国数学 学会公报上发表了平衡和振动问题的变分解法一文，这篇文章实际上是他 19411941年在美国数学学会演讲的书面稿， 在

3、其中柯朗提出了有限元法的核心思想。 大约与柯朗同时，工程师阿格瑞斯在另一个领域独立地提出了有限元法。柯朗和阿格瑞斯各自在数学和工程学领域独立提出了有限元法，他们分别开创了有限元法的数学传统和工程学传统。有限元法被提出来以后，经过一段时间的沉寂期，终于在二十世纪五十年代 和六十年代初有了很大的发展。主要表现为在代数表达形式、单元划分、单元类 型选择和解的收敛性研究上取得的突破。19601960年，克劳夫在平面应力分析中 的有限元的论文中，第一次从数学上说明了将定义域划分成有限的单元能够成 功的原因：他表明对一些特定类型的单元来说， 随着单元尺寸的减小，近似解将 收敛到精确解，这就在某些情况下证明

4、了有限元法的收敛性。 并在此文中第一次 提出了“有限元法”这个名称，这个名称一直沿用至今，标志着有限元法早期发 展阶段的结束。1 1. 2 2国内外发展现状目前，有限元方法在国外的发展主要表现为：第一，建立了严格的数学和工 程学基础；第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域；第三，收敛性得到了 进一步研究，形成了系统的误差估计理论；第四，发展起了相应的、较为完备的 商业软件包。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理）， 胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是由于当时环境所致， 我

5、国有限元方法的研究工作受到阻碍，有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距 离。近年来，随着国家对发展自主 CAECAE （ComputerComputer aidedaided EngineeringEngineering CACA日平台 已经愈发重视，国内CAECAE的研究已经逐渐走出低迷状态，获得了一定的发展， 而且有限元技术不再仅仅停留在高校中，而是更多的走向了企业。1 1. 3 3未来发展趋势在大力推广CADCAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离 不开有限元分析计算，有限元法在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。 目前以分析、优化和仿真为特征的 CAECAE技术在世界

6、范围内蓬勃发展。它通过先 进的CAECAE技术快速有效地分析产品的各种特性、揭示结构各类参数变化对产品 性能的响，进行设计方案的修改和调整，使产品达到性能和质量上的最优， 原材 料消耗最低。因此，基于计算机的分析、优化和仿真的CAECAE技术的研究和应用， 是高质量、高水平、低成本产品设计与开发的保证。当今国际上FEAFEA方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征：1 1、从单纯的结 构力学计算发展到求解许多物理场问题；2 2、由求解线性工程问题进展到分析非 线性问题；3 3、增强可视化的前置建模和后置数据处理功能；4 4、与CADCAD软件的无缝集成；5 5、在WinWin teltel平台上的

7、发展；6 6、扩大仿真分析的范围；7 7、智能化、 人性化和网络化。2 2有限元方法基本思想有限元方法（FEMFEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把 计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为 求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所 选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法 最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在 有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每

8、个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的， 则整个计算域内的解可以看 作是由所有单元上的近似解构成。 在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是 由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采 用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选 择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来 划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又 分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金

9、（GalerkinGalerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数； 最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误 差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N N个配置点。令近似解在选定的N N个 配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0 0。插值函数一般由不同次幕的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知 值，称为拉格朗日（LagrangLagrang多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身， 还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Herm

10、iteHermite）多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比， 二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早， 近来四边形等参元的应用也越来越广。 对于二维三角形和四边形电源单元， 常采 用的插值函数为有LagrangeLagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶 插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。3 3有限元方法求解基本步骤对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和运

11、算求解不同。有限元请求解问题的基本步骤通常为：1 1）建立积分方程。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。2 2）求解域离散化。将求解域近似为具有不同大小和形状且彼此相连的有限 个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细） 则离散域的近似程度越好、计算结果也越精确，但是计算量及误差都将增大，因 此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。3 3）确定状态变量及控制方法。一个具体的物理问题通常可以用一组包含问 题状态变量边界条件的微分方程式表示， 为适合有限元求解，通常将微分方程化 为等价的泛函数形式。4 4）单元分析。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元

12、的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元式函数，以某种方法给出单元各状态变 量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注 意每一种单元的解题性能与约束。 例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精 度低，而且有缺值的危险，将导致无法求解。5 5）总体合成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程，反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元 结点进行，状态变量及其导数连续性建立在结点处。6 6）求解有限元方程及结果解释。有限元法最终导致联立方程组。联立方程 组

13、的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似 值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是 否需要重复计算。4 4总结有限元技术诞生至今已半个多世纪，随着计算机技术与软件技术的不断发展 壮大，有限元的技术手段与应用范围已经不可同日而语，随之而来也诞生了数以百计的有限元软件商。如今的有限元市场是一个群雄割据的年代， 据不完全统计 全球有超过200200种仿真分析的软件在被企业所使用着，昔日的巨头命运也各不相 同，更有着无数的新贵崛起进入人们的视野。 种类繁多的有限元软件为人类探索 未知提供了工具，而有限元软件已经逐渐的被更多的工程人员所接受，在有

14、限元软件中进行着产品的仿真、分析与优化，同时工程和产品的自主创新也为有限元 发展提供了强大的动力。参考文献1林群,微分方程数值解法基础教程，科学出版社,2003.6.2徐长发，李红，偏微分方程数值解法，华中理工大学出版社，2005.53鲁建霞，苟惠芳,有限元法的基本思想与发展过程J,机械管理开发，2009(2):7475.4赵月坤，高常，一维非齐次边值问题的有限元法，枣庄学院学报，2011 (2):4346出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣 不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光 先帝遗德，

15、恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其 刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚 以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”是以众议举宠为督:愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也； 亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。 先帝在时, 每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣， 愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也 .FT臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于 败军之际，奉命于危难之间，尔来二十