最小二乘法简介

1、最小二乘法的思想方法及其应用 1讲解：XX2021/3/10 目的目的 最小二乘法在农、工、经济等领域都有 广泛使用。 本文旨在向大家介绍最小二乘法的原理 及其应用,使大家对最小二乘法有初步了解， 方便以后使用。 2讲解：XX2021/3/10 主要内容主要内容 一、最小二乘法简介 二、创立思想 三、最小二乘法拟合办法 四、最小二乘法的实际应用 3讲解：XX2021/3/10 一、最小二乘法简介一、最小二乘法简介 最小二乘法，又称最小平方法，是一种数 学技术。它通过最小误差的平方和寻找数据函 数的最佳匹配。最小二乘法是提供“观测组合” 的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测 而获得“最佳”结

2、果或“最可能”表现形式。 最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于 数学，可以称为数理统计学之灵魂。 4讲解：XX2021/3/10 二、创立思想二、创立思想 勒让德 在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法 创立了最小二乘法 高斯 由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。 最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和 估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之 间建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定 参数的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更 接近真实的状态。 在最小二乘法的创立过程中有两位科学家为它 的创立及发展作出了

3、杰出的贡献。 5讲解：XX2021/3/10 设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,.,n),现用近似曲 线y=(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标准 是所选择的(xi)在xi处的函数值(xi)(i=1,2,.,n) 与实际值yi的偏差（也称残差)(xi)-yi(i=1,2,.,n) 最小，使偏差之和(xi)-yi最小来保证每个偏 差都很小。但偏差有正有负,在求和的时候可能 相互抵消。为了避免这种情况，选择使“偏差 平方和(xi)-yi2最小”的原则来保证每个偏差 的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y=(xi)。 6讲解：XX2021/3/10 三、最小二乘法拟合三、最小二乘法拟合 1

4、 12 2m m xaxaxax ) 1(nm 一般而言，拟合函数(x)可以使不同的函数 类,由m个线性无关函数1(x),2(x),.,m(x)的线 性组合而成，即 其中,a1,a2,.,am为待定系数，1(x),2(x),.,m(x) 称为基函数。常用的基函数有： 多项式：1,x, x2,xm; 三角函数：sinx,sin2x,.,sinmx; 指数函数：e1x,e2x,.,emx。 7讲解：XX2021/3/10 1、一元线性拟合、一元线性拟合 已知实测到的一组数据(xi ,yi)(i=1,2,.,n), 设线性关系式为y=a+bx,最小二乘法求出a,b。 0, 0 1 2 b s a s

5、 bxays n i ii 令 ）（ 1 1 () () n ii i n iii i s ya bx a s ya bx x b 20 20 111 2 2 11 11 1 nnn iiii iii nn ii ii nn ii ii nx yxy b nxx b ayx nn 8讲解：XX2021/3/10 2、多元性拟合、多元性拟合 设变量y与n个变量x1,x2,xn(n1)内在联系是 线性的，即有y=a0+ajxj(j=1,.,n)。 0, 0 0 1 2 1 0 j m i ij n j ji a s a s xaays 令 ）（ 0 11 0 01 11 1 0 11 20 20

6、20 mn ijij ij mn ijiji ij mn ijijin ij n s yaa x a s yaa xx a s yaa xx a 的值 m aaa, 10 9讲解：XX2021/3/10 拟合函数拟合函数y=aebx 3、指数函数的拟合、指数函数的拟合 单击添加单击添加 lny=lna+bx Y=lny b0=lna Y=b0+ bx 得到一组数据(xi,yi)(i=1,.,n),还可以考虑用指数函数为基函数来拟合。 10讲解：XX2021/3/10 拟合函数拟合函数y=a+blnxy=a+blnx 4、对数函数的拟合、对数函数的拟合 单击添加单击添加 令X=lnx y=a+b

7、X 得到一组数据(xi,yi)(i=1,.,n),还可以考虑用对数函数为基函数来拟合。 11讲解：XX2021/3/10 OLSE的一般假的一般假 设设 解释变量解释变量xi为确为确 定型变量定型变量 样本容量大于 解释变量个数 等方差等方差 不相关不相关 5、脱离一般假设的最小二乘估计、脱离一般假设的最小二乘估计 12讲解：XX2021/3/10 在实际应用中，采集到的数据不一定 满足OLSE(ordinary least square estimation)的一般假设，即会出现异方 差问题。 利用得到的数据进行残差图检验，若 残差围绕e=0这条线波动，则满足基本假 设，否则，便是异方差现象

8、。对于这种 问题的处理，我们引入加权最小二乘估 计。 13讲解：XX2021/3/10 5.1 加权原理加权原理 n在等方差条件下，偏差平方和S中每一项 的地位是相同的；在异方差条件下，误 差项方差i2大的在S中的作用偏大。 n加权最小二乘估计（WLS,weighted least square）的方法是在平方和中加 入一适当的权数i，以调整各项在平方 和中的作用。 14讲解：XX2021/3/10 5.2 权数的取定权数的取定 n为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 i=1/i2 n在实际问题中，i2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 i=1/xi2 15讲解：XX2021/3/10 5.3 WLS模型模型 n加权后的最小二乘估计模型为: 2 1 0,0 n iii i syabx ss ab （） 令 16讲解：XX2021/3/10 四、最小二