2021_2022学年新教材高中数学第2章函数3函数的单调性和最值课件北师大版必修第一册

1、3函数的单调性和最函数的单调性和最值值自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.理解增函数和减函数的定义理解增函数和减函数的定义.2.理解函数单调性的含义理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函掌握利用定义证明函数单调性的方法数单调性的方法.3.能利用函数单调性的定义或图象求函数的单能利用函数单调性的定义或图象求函数的单调区间调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题能够利用函数的单调性解决有关问题.4.进一步体会数学抽象和逻辑推理的过程进一步体会数学抽象和逻辑推理的过程,提高提高逻辑推理能力逻

2、辑推理能力.一、增函数与减函数一、增函数与减函数【问题思考】【问题思考】1.观察下面两个图象观察下面两个图象,从图形上看从图形上看,它们有什么特征它们有什么特征?(1) (2)提示提示:从图形上看从图形上看,(1)的图象是上升的的图象是上升的;(2)的图象是下降的的图象是下降的.2.观察下表观察下表,通过表中对应值你发现了什么通过表中对应值你发现了什么?提示提示:当自变量当自变量x的值增大时的值增大时,y=-x+1对应的函数值对应的函数值y随着减随着减小小,y=x2(x0)对应的函数值对应的函数值y随着增大随着增大.3.填空填空:设函数设函数y=f(x)的定义域是的定义域是D:如果对于任意的如

3、果对于任意的x1,x2D,当当x1x2时时,都都有有 f(x1)f(x2) ,那么就那么就称函数称函数y=f(x)是增函数是增函数.特别地特别地,当当I是定义域是定义域D上的一个区间上的一个区间时时,也称函数也称函数y=f(x)在区间在区间I上单调递增上单调递增.如果对于任意的如果对于任意的x1,x2D,当当x1f(x2) ,那么就那么就称函数称函数y=f(x)是减函数是减函数.特别地特别地,当当I是定义域是定义域D上的一个区间上的一个区间时时,也称函数也称函数y=f(x)在区间在区间I上单调递减上单调递减.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间I上单调递增或单调递减上单调递增或单调递减,那

4、么就称函那么就称函数数y=f(x)在区间在区间I上具有上具有单调性单调性.此时此时,区间区间I为函数为函数y=f(x)的单的单调区间调区间.4.想一想想一想:(1)如果在函数如果在函数y=f(x)中有中有f(1)f(2),能否得到函数能否得到函数f(x)为增函数为增函数?(2)若函数若函数y=f(x)在在D上是减函数上是减函数,D1 D,则则y=f(x)在在D1上是什么上是什么函数函数?(3)任何函数在定义域上都具有单调性吗任何函数在定义域上都具有单调性吗?提示提示:(1)不能不能,函数单调性的定义中任取函数单调性的定义中任取x1,x2,当当x1x2时时,f(x1)f(x2),则函数则函数y=

5、f(x)为增函数为增函数,而而1和和2只是定义域上的只是定义域上的两个特殊值两个特殊值,不能说明对任意的不能说明对任意的x1x2,都有都有f(x1)f(x2),所以由所以由f(1)f(2).( )(3)函数函数y=x2在区间在区间-1,2上是单调的上是单调的.( )探究探究一一 证明证明函数的单调性函数的单调性【例【例1】 已知已知函数函数 ,且此函数图象过点且此函数图象过点(1,5).(1)求实数求实数m的值的值;(2)判断函数判断函数f(x)在区间在区间(2,+)上的单调性上的单调性,并用定义证明你的并用定义证明你的结论结论.分析分析:(1)把点的坐标代入函数把点的坐标代入函数f(x)的解

6、析式求的解析式求m;(2)要证明函数的单调性要证明函数的单调性,只需用定义证明即可只需用定义证明即可.证明函数单调性的方法主要是定义法证明函数单调性的方法主要是定义法(在解答选择题或填空在解答选择题或填空题时有时可用图象法题时有时可用图象法),利用定义法证明函数单调性的步骤利用定义法证明函数单调性的步骤探究探究二二 确定确定(求求)函数的单调区间函数的单调区间【例【例2】 (1)如图所示为定义在区间如图所示为定义在区间-5,5上的函数上的函数y=f(x)的图的图象象,则函数的单调递减区间是则函数的单调递减区间是、,在区在区间间、上单调递增上单调递增.解析解析:(1)观察题中图象可知观察题中图象

7、可知,y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2,-2,1, 1,3,3,5.其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2,1,3上单调递增上单调递增,在在区间区间-2,1,3,5上单调递减上单调递减.答案答案:(1)-2,13,5-5,-21,3(2)(-,1),(1,+)利用函数图象确定函数的单调区间利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法具体做法:先化简函数解先化简函数解析式析式,再画出它的草图再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置、最后根据函数定义域与草图的位置、状态状态,确定函数的单调区间确定函数的单调区间.求函数的单调区间不能忽视定义求函数的单调区间不能忽视定义域域,单调

8、区间应是定义域的子集单调区间应是定义域的子集.探究探究三三 函数函数单调性的应用单调性的应用【例【例3】 已知函数已知函数f(x)=-x2-ax-5.若若f(x)在区间在区间(-1,1)上单调递上单调递减减,求实数求实数a的取值范围的取值范围.分析分析:先求对称轴先求对称轴,再结合图象和已知条件求再结合图象和已知条件求a的取值范围的取值范围.解解:函数函数f(x)在区间在区间(-1,1)上单调递减上单调递减,函数函数f(x)的图象的对称轴在区间的图象的对称轴在区间(-1,1)的左侧的左侧,即即 ,解得解得a2,故实数故实数a的取值范围是的取值范围是2,+).1.若函数若函数f(x)=ax2-2

9、x+2在区间在区间(-,4)上单调递减上单调递减,求实数求实数a的取的取值范围值范围.3.若函数若函数y=f(x)在定义域在定义域(-1,1)上是减函数上是减函数,且且f(1-a)f(2a-1),求求实数实数a的取值范围的取值范围.函数单调性应用的两个关注点函数单调性应用的两个关注点(1)单调性的定义的单调性的定义的“双向性双向性”:利用定义可以判断、证明函数利用定义可以判断、证明函数的单调性的单调性,反过来反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围的取值范围.(2)若一个函数在区间若一个函数在区间a,b上是单调的上是单调的,则此函数在这一单调则

10、此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的区间内的任意子集上也是单调的.【变式训练【变式训练3】 已知函数已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数若函数f(x)的图象过点的图象过点(1,4)和和(2,5),求求f(x)的解析式的解析式.(2)若函数若函数f(x)在区间在区间1,2上不单调上不单调,求实数求实数a的取值范围的取值范围.探究探究四四 利用利用单调性求函数的最值单调性求函数的最值1.若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增,则则f(x)的最大值为的最大值为f(b),最小值为最小值为f(a).2.若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递减上单调递

11、减,则则f(x)的最大值为的最大值为f(a),最小值为最小值为f(b).3.若函数若函数y=f(x)有多个单调区间有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中选出最大再从各区间的最值中选出最大(小小)值值.函数的最大函数的最大(小小)值是整值是整个值域范围内最大个值域范围内最大(小小)的的.4.如果函数定义域为开区间如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的则不但要考虑函数在该区间上的单调性单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.1x1x22,x1-x20,x1x2-40,f(x1)f(x2),函数函数f(

12、x)在区间在区间1,2上单调递减上单调递减.同理可证函数同理可证函数f(x)在区间在区间2,4上单调递增上单调递增.当当x=2时时,f(x)取得最小值取得最小值4;当当x=1,或或x=4时时,f(x)取得最大值取得最大值5.混淆了单调区间与在区间上单调致误混淆了单调区间与在区间上单调致误【典例】【典例】 若函数若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是的单调递减区间是(-,4,则实数则实数a的值是的值是.错解错解 函数函数f(x)的图象的对称轴为直线的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间由于函数在区间(-,4上单调递减上单调递减,因此因此1-a4,即即a-3.答案答案 a

13、-3以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调错解中把单调区间误认为是在区间上单调,导致解题错导致解题错误误.正解正解:因为函数的单调递减区间为因为函数的单调递减区间为(-,4,且函数图象的对称且函数图象的对称轴为直线轴为直线x=1-a,所以有所以有1-a=4,即即a=-3.答案答案:a=-3认真审题认真审题,对题目逐字逐句审读对题目逐字逐句审读,弄清题目含义弄清题目含义,然后解题然后解题.【变式训练】【变式训练】 函数函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在

14、区间在区间5,+)上单调递上单调递增增,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是()A.6,+)B.(6,+)C.(-,6D.(-,6)解析解析:函数函数f(x)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=a-1.因为函数因为函数f(x)在区间在区间5,+)上单调递增上单调递增,所以所以a-15,解得解得a6.答案答案:C答案答案:D 解析解析:选项选项A,C,D中的函数在区间中的函数在区间(0,+)上都是单调递减的上都是单调递减的,只只有函数有函数y=x2+1在区间在区间(0,2)上是单调递增的上是单调递增的.答案答案:B3.若函数若函数f(x)在在R上是增函数上是增函数,且且f(m)nB.mnC.mnD.mn解析解析:因为因为f(x)在在R上是增函数上是增函数,且且f(m)f(n),所以所以mn.答案答案:B4.如图为函数如图为函数y=f(x)的图象的图象,则函数的单调递减区间为则函数的单调递减区间为.(1)求函数求函数f(x)的定义域