椭圆的简单几何性质 讲练结合

1、复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxay -axa, -byb 知知 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中, 122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F2cab一、范围：一、范围：观察观察:椭圆椭圆 12222bya

2、x 11625. 122yx口答下列椭圆的范围。练习44, 55yxYXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称椭圆对称性椭圆对称性二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性22221(0)，xyabab在之中 把把(X)换成换成(-X),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(Y)换成换成(-Y),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(X)换成换成(-X), (Y)换成换成(-Y),方程还是不变方程还是不变,说明椭圆关

3、说明椭圆关于于( )对称；对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。oxy 所以，坐标轴是所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。是椭圆的对称中心。Y X 原点原点 ）（中，关于原点对称的是下列方程所表示的曲线49.54.04.2.222222yxDxyxCxyByxA练习练习2.D三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（ ）*顶点顶点：椭圆与它

4、的对称轴椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶的四个交点，叫做椭圆的顶点。点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴和短轴。长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半长半轴长轴长和和短半轴长短半轴长。14922yx标及长轴和短轴长。口答下列椭圆的顶点坐练习练习3. 46)2 , 0()2, 0()0 , 3()0 , 3(，短轴长是长轴长是顶点是：、练习练习4. 画出下列椭圆的草图画出下列椭圆的草图1162522yx142522yx（1）（2）B1 123-1-2-3-

5、44yA1 A2 B2 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB2 A2 B1 A1 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x0问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较却有些比较“扁扁”，有些比较，有些比较“圆圆”，用什么样的量来刻画椭圆用什么样的量来刻画椭圆“扁扁”的程的程度呢？度呢？四四、椭圆的离心率椭圆的离心率ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0e|F1F2|)(c,0)

6、、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0)、(0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称( b,0)、(0, a)ace 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 例例1 求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是:离心率离心率:6 .053ace焦点坐标是焦点坐标是:)

7、0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是:)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=102b=8巩固练习巩固练习：1. 若点若点P（x，y）在椭圆）在椭圆192522yx上，则点上，则点P（x，y）横坐标）横坐标x的取值范围的取值范围 ？ 3. 3. 中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x x轴上，长轴、短轴的长分别为轴上，长轴、短轴的长分别为8 8和和6 6的椭圆方程为的椭圆方程为 ？ 4.说出椭圆说出椭圆 的长轴长，短轴长，顶点的长轴长，短轴长，顶点和焦点坐标和焦点坐标 16422yx2.若点若点P（2，4）在

8、椭圆）在椭圆 上，下列是椭圆上，下列是椭圆上的点有上的点有 （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）) 0( 12222babyax已知椭圆 的离心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 82 ka92b12 kcx 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 满足条件的 或 4k45k思考：例例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程02，A分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标

9、准方程为： ；11422yx椭圆的标准方程为： ；116422yx解：解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当 为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是 或 11422yx116422yx小结小结：1.1.知识小结：知识小结：（1 1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。心率等概念及其几何意义。（2 2） 研究了椭圆的几个基本量研究了椭圆的几个基本量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系2.2.数学思想方法：数学思想方法：（1 1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。（2 2）分类讨论的数学思想）分类讨论的数学思想 练习练习6.6.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 则则它的长轴长是：它的长轴长是： ; ;短