高中数学《正态分布》[共57页]

1、1正态分布4 . 221在频率分布直方图中，纵坐标的含义是在频率分布直方图中，纵坐标的含义是_，用小矩形的，用小矩形的_表示数据落在该组中表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条其越来越接近于一条_面积面积光滑的曲线光滑的曲线温故知新：33对于对于XB(，p)，则，则E(X)_，D(X)_，当，当n1时，是时，是_分布分布npnp(1p)两点两点44.100个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距55.200个产

2、品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距66.样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线77.产品 尺寸(mm)总体密度曲线814.2图图.,.,.14.2?的某一球槽内的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方最后掉入高尔顿板下方与层层小木块碰撞与层层小木块碰撞程中程中小球在下落过小球在下落过通道口落下通道口落下上方的上方的让一个小球从高尔顿板让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃前面挡有一块玻璃隙作为通道隙作为通道空空小木块之间留有适当的小木块之间留有适当的木块木块形小形小柱柱互平行但相互错开的圆

3、互平行但相互错开的圆排相排相在一块木板上钉上若干在一块木板上钉上若干图图板示意板示意所示的就是一块高尔顿所示的就是一块高尔顿图图你见过高尔顿板吗你见过高尔顿板吗新知传授：?.,.,球槽的个数多少球槽的个数多少球掉入各球掉入各槽的堆积高度反映了小槽的堆积高度反映了小各个球各个球会越来越高会越来越高堆积的高度也堆积的高度也越来越多越来越多数就数就各个球槽内的小球的个各个球槽内的小球的个掉入掉入随着试验次数的增加随着试验次数的增加重复进行高尔顿板试验重复进行高尔顿板试验中中第几号球槽第几号球槽就可以考察到底是落在就可以考察到底是落在如果把球槽编号如果把球槽编号9N=500, P=0.5 M=10N=

4、500, P=0.5 M=1010.24.2,.,图图图图可可以以画画出出频频率率分分布布直直方方标标为为纵纵坐坐入入各各个个球球槽槽内内的的频频率率值值以以小小球球落落横横坐坐标标以以球球槽槽的的编编号号为为布布规规律律角角度度探探究究一一下下小小球球的的分分我我们们进进一一步步从从频频率率的的况况个个球球槽槽内内的的小小球球分分布布情情落落在在在在各各验验次次数数的的增增加加为为了了更更好好地地考考察察随随着着试试05.010.015.020.025.030.035.0O1234567891011槽槽的的编编号号频频率率24.2图图11.34.2,图图线线会会越越来来越越像像一一条条钟钟形

5、形曲曲这这个个频频率率直直方方图图的的形形状状随随着着重重复复次次数数的的增增加加:)(下下列列函函数数的的图图象象或或近近似似地地这这条条曲曲线线就就是是 ,x,e21x222x, .,x.0,简简称称图图象象为为的的我我们们称称为为参参数数和和其其中中实实数数正正态态分分布布密密度度曲曲线线正正态态曲曲线线34.2图图Oxy12xyo44.2图图 dxxbXaPb, aX.X,1X,ba,的概率为的概率为落在区间落在区间个随机变量个随机变量是一是一则则接触时的坐标接触时的坐标次与高尔顿板底部次与高尔顿板底部球第球第表示落下的小表示落下的小用用宽度宽度其刻度单位为球槽的其刻度单位为球槽的轴轴

6、底部建立一个水平坐标底部建立一个水平坐标并沿其并沿其中最下边的球槽中最下边的球槽如果去掉高尔顿板试验如果去掉高尔顿板试验.b, aX),44.2(x,x0 , b0 , a,的的概概率率的的近近似似值值落落在在区区间间就就是是分分的的面面积积中中阴阴影影部部图图面面积积轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的及及轴轴的的垂垂线线的的两两条条和和点点过过点点即即由由正正态态曲曲线线13 ., NX,X., N,).ondistributinormal(X,dxxbXaPX, ba,22ba,为为则则记记服服从从正正态态分分布布如如果果随随机机变变量量记记作作因因此此正正态态分分布布常常确确定定和

7、和态态分分布布完完全全由由参参数数正正的的分分布布为为则则称称满满足足随随机机变变量量如如果果对对于于任任何何实实数数一一般般地地正正态态分分布布 .,;,计计可可以以用用样样本本标标准准差差去去估估小小的的特特征征数数动动大大是是衡衡量量随随机机变变量量总总体体波波用用样样本本均均值值去去估估计计可可以以平平的的特特征征数数是是反反映映随随机机变变量量取取值值水水参参数数14.,X1,.,布布所所以以它它近近似似服服从从正正态态分分果果撞撞的的结结是是众众多多随随机机碰碰底底部部接接触触时时的的坐坐标标次次与与高高尔尔顿顿板板因因此此小小球球第第向向左左或或向向右右下下落落球球随随机机地地每

8、每次次碰碰撞撞的的结结果果使使得得小小木木板板碰碰撞撞多多小小小小球球下下落落过过程程中中要要与与众众验验中中尔尔顿顿板板试试例例如如高高态态分分布布它它就就服服从从或或近近似似服服从从正正之之和和然然因因素素作作用用结结果果次次的的偶偶不不相相干干的的、不不分分主主多多的的、互互一一个个随随机机变变量量如如果果是是众众经经验验表表明明15.);(;.,一一般般都都服服从从正正态态分分布布湿湿度度、降降雨雨量量等等气气温温、平平均均某某地地每每年年七七月月份份的的平平均均管管的的使使用用寿寿命命等等器器的的电电容容量量、电电子子的的纤纤度度、电电容容零零件件的的尺尺寸寸、纤纤维维如如品品正正常

9、常生生产产条条件件下下各各种种产产穗穗长长、单单位位面面积积产产量量等等的的株株高高、一一定定条条件件下下生生长长的的小小麦麦高高、体体重重、肺肺活活量量等等身身某某一一地地区区同同年年龄龄人人群群的的例例如如长长度度测测量量误误差差态态分分布布近近似似地地服服从从正正很很多多随随机机变变量量都都服服从从或或在在现现实实生生活活中中16.,.! n,1733分分布布们们也也称称正正态态分分布布为为高高斯斯人人因因此此并并研研究究了了它它的的性性质质它它时时从从另另一一个个角角度度导导出出了了测测量量误误差差德德国国数数学学家家高高斯斯在在研研究究之之后后到到了了正正态态分分布布的的近近似似公公

10、式式得得法法国国数数学学家家棣棣莫莫弗弗就就用用年年早早在在。,中中占占有有重重要要地地位位正正态态分分布布在在概概率率和和统统计计际际之之中中然然现现象象、生生产产和和生生活活实实正正态态分分布布广广泛泛存存在在于于自自所所以以17xyo44.2图图 ?,x, 44.2,吗吗的特点的特点曲线曲线说正态说正态能说能说你你率的性质率的性质解析式及概解析式及概的的合合结结图图察察观观思考思考:,正正态态曲曲线线有有如如下下特特点点可可以以发发现现 ;x,x1轴轴不不相相交交与与轴轴上上方方曲曲线线位位于于 ;x,2对对称称它它关关于于直直线线曲曲线线是是单单峰峰的的 ;x3处处达达到到峰峰值值曲曲

11、线线在在 .1x4轴轴之之间间的的面面积积为为曲曲线线与与18信息技术应用信息技术应用变化而变化的特点变化而变化的特点和和着着随随用计算机研究正态曲线用计算机研究正态曲线19).2(54.2(,);1(54.2(,.,图图取不同值的图象取不同值的图象作出作出值值再固定再固定图图的图象的图象取不同值取不同值作出作出值值先固定先固定不妨不妨认识正态曲线的特点认识正态曲线的特点来来对正态曲线的影响对正态曲线的影响和和所以可以通过研究所以可以通过研究确定确定和和因为正态分布完全由因为正态分布完全由xxyyOO0 0 1 15.0 5.0 1 2 112211 1 254.2图图:曲线的下述特点曲线的下

12、述特点正态正态由上述过程还可以发现由上述过程还可以发现 ;x,5轴平移轴平移变化而沿变化而沿的的曲线随着曲线随着一定时一定时当当20 ., ,;, ,.,6表示总体的分布越分散表示总体的分布越分散胖胖矮矮曲线越曲线越越大越大表示总体的分布越集中表示总体的分布越集中瘦高瘦高曲线越曲线越越小越小确定确定曲线的形状由曲线的形状由一定时一定时当当xyO0 1 15.0 1122 1xyO0 5.0 1 2 11 254.2图图 dxxaXaP, 0a, NX,aa,2概率概率则对任何实数则对任何实数若若进一步进一步21特特别别有有周周围围概概率率越越大大集集中中在在即即的的概概率率越越大大落落在在区区

13、间间越越小小这这说说明明的的减减少少而而变变大大该该面面积积随随着着而而言言和和对对于于固固定定的的中中阴阴影影部部分分的的面面积积为为图图.X,a, a(X,.,a,64.222,6826.0XP,9544.02X2P,9974.03X3Paa64.2图图表示表示上述结果可用图上述结果可用图74.224674.2图图%26.68%44.95%74.9923.,0026.0.3, 3,可能发生可能发生况在一次试验中几乎不况在一次试验中几乎不通常认为这种情通常认为这种情值的概率只有值的概率只有而在此区间以外取而在此区间以外取之内之内区间区间正态总体几乎总取值于正态总体几乎总取值于可以看到可以看到

14、.3,)3,3(X, N,2原则原则并简称之为并简称之为之间的值之间的值只取只取的随机变量的随机变量布布通常认为服从于正态分通常认为服从于正态分在实际应用中在实际应用中24正态总体的函数表示式222)(21)(xexf当= 0，=1时),(x2221)(xexf标准正态总体的函数表示式),(x25（1）当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.（2） 的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf正态总体的函数表示式21, 0(（，（，+）012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线22()21( )2xf xe),(x =x262 正态曲

15、线222)(21)(xexf012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征),(x27例例1、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知

16、一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 )C知识运用：282、已知、已知XN (0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 = , = .4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).(, 2) (0)P X (

17、 22)PX D0.50.954429【思路点拨】【思路点拨】要确定一个正态分布的概率要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数个参数，的值，其中的值，其中决定曲线的对称轴决定曲线的对称轴的位置，的位置，则与曲线的形状和最大值有关则与曲线的形状和最大值有关例例2303132XN(，2)关于关于x对称随机变量对称随机变量X的取值区间在的取值区间在(a，b上的概率等于正态曲线上的概率等于正态曲线与直线与直线xa，xb以及以及x轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形的面积的面积利用正态分布的对称性求概率利用正态分布的对称性求概率33 设设XN

18、(1,22)，试求：，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)【思路点拨】【思路点拨】首先确定首先确定1，2，然后，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解点求解【解】【解】因为因为XN(1,22)，所以，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.6826.例例33435【思维总结】【思维总结】(1)充分利用正态曲线的对充分利用正态曲线的对称性和曲线与称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1；(2)正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而在关对称，从而在关于于x对称的区间上概率相等对称的区间上概率相等36互动探究互动探究本例条件不变，试求本例条件不变，试求P(X5)37正态分布是自然界中最常见的一种分布，许正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量多现象都近似地服从正态分布，如长度测量的误差，正常生产条件下各种产品的质量指的误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等，由此可确定一些决策性的指标标等，由此可确定一些决策性的指标 一次数学考试中，某班学生的分数一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，且知满分，且知满分150分，这个班共有分，这个班共有54人，求这个班在这次数学考试中及格人，求这个班在这次数学考试中及格(不小不小于于