第四章弯曲应力(下)

1、1、纯弯曲、纯弯曲一般情况下，梁的横截面上既有剪力，又有弯矩。剪力是相切于横截面的内力系的合力；弯矩是垂直于横截面的内力系的合力。因此，剪力只与横截面上的切应力 有关；弯矩只与横截面上的正应力有关。4 44 4梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件fs(-)(+)(+)mfffafa2 2 纯弯曲时横截面上的正应力纯弯曲时横截面上的正应力考虑一段纯弯曲梁，若只用静力平衡条件，不能找出应力分布规律，因此先来做一个实验。2 纯弯曲时横截面上的正应力纯弯曲时横截面上的正应力2 纯弯曲时横截面上的正应力纯弯曲时横截面上的正应力2 纯弯曲时横截面上的正应力纯弯曲时横截面

2、上的正应力dd xmmd)(ymmyyyddd)()(eyy )(yey )(aayfd)(n( )dyamzyaz( )damyyayey )()(00n弯矩mmmfzyaaayeayf0dd)(n0eazsay0d( )dyamzyaz( )d()amyyam弯矩amayemd2zaziay d2miezzeim1yey )(zimyy )(zimyy )(zimyy )(maxmaxyimzmaxyiwzzzwmmaxzwmmaxmaxyiwzz2123hbh62bhmaxyiwzz2644dd323ddddda)1 (32 43maxadyiwzz圆环bbhh)1 (6 332maxb

3、hbhbhyiwzz回字框zimyy )(zwmmaxmaxmaxzimy例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1-1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知e=200gpa，求1-1截面的曲率半径。q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax12120180zy解：画m图求截面弯矩knm60)22(121xqxqlxm30q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax12120zyknm5 .678/3608/22max qlm451233m10832. 5101218012012bhiz34m1048.

4、 62/ hiwzz11233560 1060 10 61.7mpa5.832 10zm yi 求应力18030( (压应力压应力) )311max460 1092.6mpa6.48 10zmwm 4 .194106010832. 51020035911meiz3maxmax467.5 10104.2mpa6.48 10zmw求曲率半径q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax1212018030max max zmwmax/ zzzm wmwmw强度校核：选择截面：确定许可荷载：4 45 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 1dn2a

5、afaiymmazd)d(11ayimmazd)d(11aysazd11*n2)d(zzsimmf*n1zzsimf*n2)d(zzsimmf*n1zzsimfxbxbfddd 0 xf0dn1n2fffxbsimsimmzzzzd)d(*xbimszzdd*sddmfx*szzf si b*szzf si bsfzi*zsb*szzf si bddba 11)4(2dd22*zaayhbabas22s( )()24zfhyyi022ssmax33122482szff hfhibhbh2222s( )()()824zfbb hyhhyi bsmax43fasmax2fa*s,maxmaxzzf

6、 si b*,maxzsb*szzf si b20b3*mm2100091020244020zsmm240mm400m3kn85bhlfmm240mm400m3kn85bhlfmaxsmax127.5kn m 85knmf4933mm1028. 11240024012bhizfs (kn)zabaiym92mpa.191028. 1200105 .1279649mm1028. 1zimpa96. 9zcbciymmpa0dmpa96. 9e92mpa.19ffs (kn)fa49mm1028. 1zi*szcezf si b2401028. 1150)240100(1085930996mpa.

7、 0maxd32sfa33mpa. 14002402108533fs (kn) 对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有剪力，又对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有剪力，又有弯矩有弯矩。梁除满足正应力强度条件外，还要满足切应力强。梁除满足正应力强度条件外，还要满足切应力强度条件。度条件。2 切应力强度条件切应力强度条件 等直梁的最大切应力一般发生在最大剪力所在的截面的中等直梁的最大切应力一般发生在最大剪力所在的截面的中性轴上各点处，这些点处的正应力为性轴上各点处，这些点处的正应力为0 0，在略去纵截面间，在略去纵截面间的挤压应力后，最大切应力所在点处于纯剪切应力状态的挤压应力后，最大切

8、应力所在点处于纯剪切应力状态。于是，可按照纯剪切应力状态下的强度条件来建立梁的切于是，可按照纯剪切应力状态下的强度条件来建立梁的切应力强度条件：应力强度条件：*max szzf si b铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，m 较小，而较小，而fs较大时，要校核切应力较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力。 在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条在选择梁的

9、截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。在选择危险截面时，通常先按正应力强度选择截面，件。在选择危险截面时，通常先按正应力强度选择截面，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再进行切应按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再进行切应力校核。除非碰到以下特殊情况力校核。除非碰到以下特殊情况：解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7mpa，=0. 9 m pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。smax3600 35400n22qlfn

10、m4050833600822maxqlmq=3.6kn/mxm+82qlabl=3mfs2ql2ql+x求最大应力并校核强度应力之比maxmaxmaxs216.73zmalwfhq=3.6kn/mxm+82qlfs2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhmwmzsmaxmax1.5 54001.50.12 0.18 0.375mpa0.9mpa fay1y2ga1a2a3a4解：画弯矩图并求危面内力例例3 3 t 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的l=30mpa，y=60 mpa，其截面形心位于c点，y1=52mm， y2=88mm，iz

11、=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明t字梁怎样放置更合理？kn5 .10;kn5 . 2barr)(knm5 . 2下拉、上压cm（上拉、下压）knm4bm画危面应力分布图，找危险点p1=9kn1m1m1mp2=4knabcdx2.5knm-4knmm校核强度mpa2 .2810763885 . 2822zclaiymmpa2 .2710763524813zblaiymmpa2 .4610763884824zbyaiymll2 .28maxyy2 .46maxt字头在上面合理，反之失效。y1y2ga1a2a3a4x2.5knm-4knmmy1y2ga3a4mpa0 .1710763525

12、 . 2811zcyaiym 46 梁的合理设计梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座二、合理选择截面形状二、合理选择截面形状三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形maxmaxwm按强度条件设计梁时，主要是依据正应力强度条件按强度条件设计梁时，主要是依据正应力强度条件。可见，降低最大弯矩，提高弯曲截面系数，或局部加强弯矩可见，降低最大弯矩，提高弯曲截面系数，或局部加强弯矩较大的梁段，都能有效降低梁的最大正应力，从而提高梁的较大的梁段，都能有效降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力，使梁的设计更加合理，工程中经常采用的措施有：承载能力，使梁的设计更加合理，工程中经常

13、采用的措施有：一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座 合理布置载荷合理布置载荷 降低maxm2/ l2/ l4pl （）（） 65l6l（）（） pl3652/ l2/ l4pl（）（） qp/l（）（） 8pl4l4l4l4l（）（） 8pl2p2p合理布置支座位置合理布置支座位置 （）（） 82qlqql 2 . 0l 2 . 0l 6 . 0（+） （-） （-） 402ql 502ql502ql二、合理选择截面形状二、合理选择截面形状maxmaxwmwmax合理截面：合理截面：aw 矩形截面bhz 62hbw 62bhw hbz 空心圆截面比实心圆截面合理空心圆截面比实心

14、圆截面合理32d3zwdz dddda)1 (32 43adwz0)(m 工字形截面是由矩形演变而成工字形截面是由矩形演变而成 ct 的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。zzmaxtmaxc21maxmaxctctyy1y2y北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出: :矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 h/ /b = = 1.5。英英( (t.young) )于于1807年著年著 自然哲学与机械自然哲学与机械技术讲义技术讲义 一书中指出一书中指出: :矩形木梁的合理高矩形木梁的合理高宽比为时，强度

15、最大。宽比为时，强度最大。 2bhbhd 例例4 试用弯曲正应力强度证明：从圆木（设试用弯曲正应力强度证明：从圆木（设d已知）已知）锯出的矩形截面梁合理高宽比为时，强度最大。锯出的矩形截面梁合理高宽比为时，强度最大。 解：要求锯出的矩形截面梁的弯解：要求锯出的矩形截面梁的弯曲曲 强度最大，则截面的强度最大，则截面的w应最大。应最大。 2bhbhd222bdh ) 1 (6)(6w222bdbbh0)3(61ddw22bdb 3db )2( dh32将式（将式（2）代入式（）代入式（1）得：）得： 2bh等强度梁等强度梁等截面梁：等截面梁：w = 常数，常数， maxmaxwm等强度梁是变截面梁

16、，且各截面上的最大正应力都等于等强度梁是变截面梁，且各截面上的最大正应力都等于许用应力：许用应力：)()(maxxwxm)()(xmxw 三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形例例5 图示悬臂梁为等强度梁，截面为矩形，宽度图示悬臂梁为等强度梁，截面为矩形，宽度b = 常数，常数，求高度求高度 。)(xhfxlb)(xh解：解： ( )m xfx（绝对值）（绝对值） )()(maxxwxm( )( ) m xfxw x6)()(2pxxhbxw6()f xhxb弯曲应力小结弯曲应力小结习题讨论习题讨论 本章主要讨论了直梁弯曲时横截面上的正应力和切应力，本章主要讨论了直梁弯曲时横截面上的正应力和切应力，以及相应的强度条件。以及相应的强度条件。 （1）弯曲正应力及其强度条件：）弯曲正应力及其强度条件：zmyiziymmaxmaxmaxmaxmaxwmzzsbisf zzsibsfmaxmaxmax（2）弯曲切应力及其强度条件）弯曲