概率统计假设检验参考资料

1、第八章 假设检验第六章 假设检验1 假设检验的基本思想一. 引例二. 假设检验的一般步骤三. 两类错误2 单个正态总体参数的假设检验一. U 检验法二. t 检验法2 检验第 22、 23 次课 4 学时第八章 假设检验一 . 教学基本要求1理解显著性检验的基本思想， 了解假设检验可能产生的两类错误。 知道两类错误概率， 并在较简单的情况能计算两类错误概率， 掌握假 设检验的基本步骤。2了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。3了解总体分布假设的 拟合优度检验法。本章重点：正态总体的参数的假设检验。二 . 内容提要 1假设检验的基本概念 假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是

2、否成立的统计方 法。方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时， 就会反映与总体理 论假设的真实差异，从而拒绝理论假设。原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画， 一般都是根据实际问 题的需要以及相关的专业理论知识提出来的。 通常，备选假设的设定反映了收集 数据的目的。检验统计量是统计检验的重要工具， 其功能在用之于构造观察数据与期望数 之间的差异程度。 要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。 检验的名称 是由使用什么统计量来命名的。否定论证是假设检验的重要推理方法， 其要旨在： 先假定原假设成立， 如果 导致观察数据的表现与此假定矛盾， 则否定原假设。 通常使用的一个准则是

3、小概 率事件的实际推断原理。2两类错误概率。第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概 率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。3显著水平检验。 在收集数据之前假定一个准则， 即文献上称之为拒绝域， 一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设。 若在原假设成立条件下， 样本落入拒 绝域的概率不超过事先设定的 ，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平 的检1 / 18验，而称 为显著水平。由定义可知， 所谓显著水平检验就是控制第一类错误概 率的检验。4单正态总体参数检验 我们以单正态总体均值 检验为例，即假定总体 。(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设 已知，检验 其中 已

4、知。(2) 基于 的估计 ，提出检验统计量满足如下要求：(a) 在 下， 的分布完全已知，此处 ；(b) 由 可诱导出与 背离的准则，此处当偏大时与 背离(3) 对给定水平 ，构造水平 检验的拒绝域 其中 为标准正态分布的 -分位点。(4) 基于数据，算出 的观察值 ，如 则拒绝 ，否则只能接受 . 因此检验使用统计量 ，称之为 -检验。当 未知时，改检验统计量 为其中 为修正样本标准差。相应的拒绝域为为自由度 的 分布的 -分位点。其他的检验步骤相同。5 两个正态总体参数的检验是取自正态总体记设 是取自正态总体 的样本， 的样本，且 ， 相互独立。(1)当 已知时，拒绝域为2 / 18当 未

5、知，但 时，拒绝域为（2）当 已知时，拒绝域为其中 。 当 未知时，拒绝域为其中 。6 值和 值检验法 值是在原假设成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的 概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度， 因而也称 值为拟合优 度。例如在正态总体参数检验 的情况，检验统 计量为 ，观察值为 ，则 值为 .值检验法的原则是当 值小到一定程度时拒绝，通常约定：当 称结果为显著；当 ，则称结果为高度显著。学习要点本章内容涉及概念及方法两大部分， 要求理解和掌握假设检验的一些基本概 念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平。弄清显著水平 检验的确切含 义，掌握单正态总体检验的基本方法

6、。习题解答3 / 181. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受 时，可能犯什么错误？ 在一个假设检验问题中， 当检验最终结果是拒绝 时，可能犯什么错误？ 解 (1) 犯拒真的错误， 即第一类错误； (2) 犯采伪的错误， 或者说第二类错 误。2. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布，测得 25 根纤维的纤度，其样本均值 ，试用 值法检验总体均值是否为 1.40.解 原假设 ，统计量 ，观察 值 ，所以 值为因此不能拒绝 ，即可以认为3. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布 ，现安装一台新 机器，观测到九周的周开工成本的样本平均 元，假定标准差不变，试用 值法检验周开工平均成本是否为 1

7、00 的假设。解 ， 统计量 ， 观察值 ， 故 值为：故拒绝 是高度显著，即4. 设 是取自 的一个样本观察值，要检验假设： 试给出显著水平 的检验的拒绝域 .5. 某纤维的强力服从正态分布 ，原设计的平均强力为 6g，现改 进工艺后，某天测得 100 个强力数据，其样本平均为 6.35g，总体标准差假定不 变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高( )？解 设原假设 ， 备选假设 ， 统计量 ， 临界值 ， 拒绝域为今计算 值为因而拒绝 ，即认为改进工艺后强力有显著提高。4 / 186. 监测站对某条河流的溶解氧 (DO)浓度(单位： mg/l)记录了 30 个数据， 并由此算得 ， ，已知

8、这条河流每日的 DO 浓度服从 ， 试在显著水平 下，检验假设 ， .解 统计量 ， 拒绝域为今 . 计算 值为：因而不能拒绝 .7. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了 25 个作寿命测试，得数据(单位：h)：，并由此算得 ， ，已知这种电子元件的使用寿命服从 ，且出厂标准为 h 以上，试在显著水平 下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准， 即检验假设 ， .解 首先所以修正样本标准差的观察值 ， 统计量的观察值为临界值 因 ，不落入拒绝域，不能拒绝8. 随机地从一批外径为 1cm的钢珠中抽取 10 只，测试其屈服强度 (单位 :kg)， 得数据 ，并由此算得 ， ，在显著水平 下分 别

9、检验：(1)；.(2) .解 (1) 拒绝域 ，其中 . 的观察值为 所以拒绝 .(2) 拒绝域 ，其中 ，因而不能拒绝今 的观察值为5 / 189. 一卷烟厂向化验室送去 两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从 中各随机抽取质量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量为： ：24，27，26，21，24：27，28，23，31，26 假设尼古丁含量服从正态分布，且种的方差为 5， 种的方差为 8，取显著水平 ，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？解 设 的含量为 ， 的含量为 ，且 ， ，检验 假设 ， . 拒绝域为：其中 ， . 今计算 ， ，故因而不能拒绝 ，即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异

10、。10. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一 种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下：镍合金铸件（ ）： 72.0， 69.5，74.0， 70.5，71.8铜合金铸件（ ）： 69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0根据以往经验知硬度 ， ，且 ，试 在 水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高。解 假设 ， ，检验统计量拒绝域为 今 ， ， ，因此不能拒绝 ，即不能认为镍合金铸件的硬度有提高。11. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量， 所得数据如下（单位为万分率）：原方法（ ）：26.9，25.7

11、，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1新方法（ ）： 22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2，23.4 假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布， 且方差相同， 问这两种方 法冶炼时杂质的平均含量有无显著差异？取显著水平为 0.05.6 / 18解 设 ， ，检 验 假设 为 ， ，检验统计量为拒绝域为 ，其中今 ， ， ， 所以因此拒绝 ，即认为二种方法有显著差异。12. 随机地挑选 20 位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠 延长时间（单位： h），算得， ， ，

12、，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、 乙二种安眠药的延长睡眠时间均 服从正态分布，且方差相等，取显著水平解 设 ， ，检验假设 ， ， 拒绝域为其中，今计算 ，故因此应拒绝 ，即认为甲药的疗效显著高于乙药。13 灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、 黑色、肉桂色和棕色等四种颜色 的后代，其数量比例由遗传学理论是 9:3:3:1，为了验证这个理论， 作了一些观测， 得到如下数据：实测数理论数灰色149144（）黑色5448（）肉桂色4248（）7 / 18棕色1116（）总计256256问：关于兔子的遗传理论是否可信（）.解 检验假设 ， ， ， . 统计量的值为：临界值 ， 因此不能

13、拒绝 ，即遗传学理论是可信的。未知，其极大似然估计为解 检 验 假 设 ，先求期望数14 某电话交换台在一小时（ 60min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有 如下记录：呼唤次数01234567实际频数81617106210问：统计资料可否说明：每分钟电话呼唤次数服从泊松分布 ？，再计算 值：临界值 ，因此不能拒绝 ，即认为每分钟呼唤次数 服从泊松分布。课外练习1 设总体 ， 已知，对于检验 ， ， 写出拒绝域 ；对于给定数据 ，若在水平 下不能拒绝 ，问 在水平 下能否拒绝 ？8 / 182 设 为 来自 总体 的样本， 和 均未知，记 ， ，试写出对于假设的检验统计量 （用表示）。3 设有

14、 6 台计算机， 为受到病毒侵袭的台数，是未知参数。为检验假设 ，从 6 台中随机选取 2 台作检查， 为 2 台中有病毒的台数， 如检验 的拒绝域为 ，求 时的第一类错误概率以及 时的第二类错误 概率。4 设样本 （容量为 1）来自具概率密度的总体，今有关于总体的假设：检验的拒绝域为 ，试求该检验的两类错误概率 及 .5 设某次考试考生的成绩服从分布 ，从中随机抽取 36 位考生的成 绩，算出（分），（分），问在显著水平 下可否认为考生的平均成绩 ？6 某化工厂为了提高化工产品的得率， 提出甲乙两种方案， 为比较它们的好 坏，分别用两种方案各进行了 10 次试验，得到如下数据：甲方案得率 （

15、%）68.1 62.4 64.3 64.7 68.4 66.0 65.5 66.7 67.3 66.2乙方案得率 （%）69.1 71.0 69.1 70.0 69.1 69.1 67.3 70.2 72.1 67.3假设得率服从正态分布，问：方案乙是否比甲有显著提高（显著水平 ）？答案和提示12.1 （1）（2） 不能拒绝12.212.3 ，12.4 ，（提示：）9 / 1812.5 可以认为平均成绩为 70 分。12.6 可以认为乙方案比甲方案提高得率。上次课复习：总体参数既可以用一个数来估计 （点估计），又可以用一个区间来估计（区间估计） 矩 估计和最大似然估计是两个基本的点估计方法 点

16、估计是区间估计的基础 我们使用枢轴变 量法进行区间估计教材章节题目： 第八章 假设检验第一节 假设检验的基本概念（ 8.1 8.4） 第二节 正态总体均值的假设 检验第三节 正态总体方差的假设检验教学要求： 理解假设检验的基本思想， 掌握假设检验的主要步骤 掌握单个正态总体参数的 假设检验及两个独立正态总体参数的假设检验， 了解成对数据均值差的检验 了 解置信区间与假设检验的关系重 点：正态总体参数的假设检验难 点：假设检验的基本思想，置信区间与假设检验的关系教学手段及教具：板书，多媒体讲授内容及时间分配：假设检验的提法及基本思想20分钟假设检验的基本概念25分钟假设检验的主要步骤15分钟置信

17、区间与假设检验的关系15分钟单个正态总体均值的假设检验30 分钟两个正态总体均值差的假设检验25 分钟成对数据均值差的检验 10 分钟 单个正态总体方差的假设检验 20 分钟 两个正态总体方差比的假设检验 20 分钟课后作业习题八 16参考资料概率论与数理统计 盛骤等编著 高等教育出版社 概率论与数理统计 陈希孺编著 科学出版社 A First Course in Probability Ross S M 著 Pearson Education, Inc.10 / 18第八章 假设检验第一节 假设检验的基本概念总体参数既可以用一个数来估计 （点估计），又可以用一个区间来估计（区间估计） 然 而

18、实际中经常遇到的问题是面对关于参数的两个矛盾的命题， 如何抉择？如， 某一天要检查 一个工厂的产品次品率是否低于5%，某药品的疗效是否在 90%以上等等 这些问题就需要我们首先给出一个假设， 然后根据已知的数据进行推证， 从而做出没有充分理由拒绝原来的假 设或有充分证据拒绝原来的假设的决定这是另一类重要的统计推断问题 假设检验 （Test of hypothesis）一 假设检验的提法及基本思想引例 根据长期的经验和资料的分析，某砖瓦厂所生产的砖的“抗断强度”服从正态分 布，方差 2=1.21 今从该厂生产的一批砖中，随机抽取6 块，测得抗断强度（ /cm2）如下：32.56 29.66 31

19、.64 30.00 31.87 31.03 问这一批砖的平均抗断强度可否认为是32.50 /cm2？我们关心砖的平均抗断强度是否为32.50 /cm2回答有两种可能：不能拒绝砖的平均抗断强度 =32.5, 或拒绝 =32.5 为此，我们提出这样的假设 H0：可以认为砖的平均 抗断强度是 32.50 /cm2（ =32.5）与之对立的假设 H1：不能认为砖的平均抗断强度是 32.50 /cm2（32.5）我们的任务是利用所获得的样本 x1, ,x6, 去判断命题 H0 是否成立上面的例子是要根据实际问题，提出一个假设，然后以观测数据（即样本）为依据，采 取一定的方法，去推证提出的假设是否成立用统

20、计学的语言描述如下：有一个总体 X即所考察的那一大批砖的抗断强度, 并 X N（ , 1.21）根据需要 , 提出一个命题 （假设）H0H0：砖的平均抗断强度可以认为 32.50 /cm2 （ =32.5 ）这个命题的正确与否完全取决于总体的未知参数 的值 从总体中抽取样本即抽出的那 6 块砖所测得的抗断强度 x1,x2, , x6 利用样本去判断（检验）命题 H0 是否成立这就是假设检验问题 假设检验 （ Hypothesis testing）指的是依据样本信息判断或检验 关于总体的某个假设是否正确我们的做法是，先假设 H0 是正确的，在此假设下，构造一个小概率事件经过一次试 验（样本）后，

21、若此小概率事件发生了，则拒绝（Reject）H 0，否则不拒绝（ Fail to reject ）或“接受” H0理论依据是小概率事件原理 （或实际推断原理 ）二 假设检验的基本概念1 原假设和备择假设原假设（Null hypothesis ）：根据需要而设立的假设原假设是作为检验前提的假设 备择假设（ Alternative hypothesis ）：当原假设被拒绝后而接受的假设在假设检验问题中， 不仅要明确原假设是什么， 而且要明确备选假设是什么 给定 H0 和11 / 18H1就等于给定一个检验问题： （H0, H1） 注 1 原假设通常应该是受到保护的， 没有充足的证据是不能被拒绝的

22、（维持原样！ ）备 择假设可能是我们真正感兴趣的，作为做检验的人，你的关心 （信念或所希望的结局） 被表 达在备择假设中（故又称研究性假设） 一旦建立了原假设和备择假设，我们将在原假设正确的前提下进行工作，直到有充分 的证据拒绝它 这正像审判， 被告被假定是无罪的， 直至充分的证据来证明无罪是完全不可 信的（无罪推定） 统计学家 Fisher 是这样解释的：有一个命题，称之为“原假设” ，其含义 是所关心的效应不存在设计试验的唯一目的是寻求否定原假设的证据Fisher 强调原假设不能被证明，只能被否定2 单、双边检验问题H0:0, H1 :0双边检验H0:0, H1 :0 左边检验等号永远出现

23、在 H0 中H0:0, H1 :0 右边检验3 检验（法） 、检验的拒绝域与检验统计量对于给定的检验问题， 作出判断的依据只能是样本 关键的问题是你不能等到试验结果 已经得知后再来制定接受或拒绝的准则，而是应该事先规定好这种准则检验法（或检 验）所谓检验（法）就是对样本空间的一个划分，并规定当观察值落入其中一部分时，就 拒绝原假设；当观察值落入另一部分时，就不拒绝原假设两部分分别称为检验的 拒绝域 （Rejection rejoin ）与 接受域 （ Acceptance rejoin ）检验法对应拒绝域给出了拒绝域就定 出了检验法构造合理的检验法的通常思路找到适当的、 从实际背景或理论上有说

24、服力的统计量， 使 得在原假设成立时和在备择假设成立时， 该统计量的值有差异 从而使得我们能够根据这个 统计量的值的大小来决定是否拒绝原假设 称这个统计量为 检验统计量 （Test statistic） 如引 例，由于要检验的假设涉及总体均值 , 而 X 是 的无偏估计 , 可以用 X 出发来考虑问 x0题如果 H0为真, 那么 x与 0的偏差 x 0 或 n 就不应太大 （差异不显著） 反过来 ,X0 若 x 与 0的偏差 x 0 很大 , 自然就怀疑 H 0的正确性而拒绝 H0（差异显著） n 就可以作为检验统计量这样 , 从定性的角度去分析 , 就得到了一个在直观上合理的检验：当k时 ,

25、 就没有充分理由拒绝原假设而当k时就拒绝原假设k 临界点( Critical point )之所以说是定性的， 是因为这里 k 值究竟取多大尚未明确 这要看你的要求如何 “小概率”到底有小到什么程度4 两类错误及其发生的概率假设检验中，无论你作出拒绝原假设或接受原假设的判断，都有可能犯错误这个结论可能把你吓一跳：无论采取什么样的决策都可能是正确的， 同时也都可能是错误的 既然如此，那还要假设检验干什么 请注意， 概率论本身就是研究随机现象的， 因此它的结论无12 / 18不带有随机性正如我们说“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生” ，这“几乎”就带 有随机性 我们对原假设作出否定还是接受的判

26、断都是根据小概率事件原理， 因此犯错误和 不犯错误的可能性都是存在的 若两者的可能性各占一半，那么“假设检验” 确实没有任何 价值事实上，犯错误的概率是很小的这样， “假设检验”才成为检验某种猜想可靠程度 的一种优良方法第一类错误 （Type I error ）“弃真”：当 H0为真时，拒绝 H 0 犯第一类错误的 概率P拒绝 H0 H0为真 第二类错误 （ Type II error ）“取伪”：当 H0 为假时，不拒绝 H0 犯第二类错误的 概率P不拒绝 H 0 H 0为假 我们当然希望犯两类错误的概率越小越好 遗憾的是， 对给定的样本量 n 来讲， 一般而 论，犯第一类错误的概率小时，犯

27、第二类错误的概率就大，反之亦然（画图解释） 因而不 能做到犯两类错误的概率都任意小只控制犯第一类错误的概率 （称为 显著性水平 （Significance level ），而不限制第二类错误的概率的检验称为显著性检验（或水平 检验（level test）显著性水平是事先选定的通常 0.1, 0.05, 0.01 根据以往的经验，非常相信原假 设是真的，而犯第二类错误又不会造成大的影响或后果，此时 就可以取得小一些如果 第二类错误带来的影响较大，需要严格控制犯第二类错误的概率，此时 可以选得适当大 一些三 假设检验的主要步骤2问题： X N（ , ）（ 2已知） X1, X2, ,Xn 为样本，

28、 x1,x2, , xn样本观察值判断是否 0 第一步：提出假设（原假设和备择假设） （H0：0 ，H1：0）第二步：选取检验统计量X0ZnH0 N (0,1)Z 检验（法） ）第三步：对于给定的显著性水平 （0.05 ），依 P拒绝 H0 H0成立 确定拒绝域（ k z 2 ，第四步：计算检验统计量的值，并作出判断31.96z0.025不能认为砖的平均抗断强度是 32.50 /cm2 ）四 假设检验与置信区间的关系检验统计量与枢轴变量一致，置信区间 接受域13 / 18例如，正态总体 N（ , 2）（ 2已知），检验问题 H0 : 0, H1: 0x 0 z 我们知道，上述问题的水平 检验的

29、接受域为 n ，此不等式可记为nz2x z 2 n，对应区间而 的 1 C.I. 为两个区间相同可以看出，若0 在 CI 外，则拒绝 H 0 ；而落在 CI 内时则接受 H0 或者说没有被拒绝的 0 的全体构成此参数的 CI 结论具有普遍性 当然从实际应用看，区间估计与假设检验是不同的：目的不同态度不同作区间估计时，应该有相当大的把握，即较大的概率 1 ；而假设检 验是要在已经给出的关于未知参数的某个说法（假设） 条件下， 确定不能接受这个说法的容忍界限，从而制造一个小概率事件第二节 正态总体均值的假设检验单个正态总体均值 的检验2情形 1 2已知时关于 的检验 （Z检验法 ）（表 8.1 ）

30、（叙述检验过程 ） 情形 2 2未知时关于 的检验 （t 检验法 ）（表 8.2 ）（叙述检验过程 ）表 8.1 正态总体方差已知时均值的水平 检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域00Z X 0 N(0,1)z z 200zz00zz表 8.2 正态总体方差未知时均值的水平 检验原假设备择假 设统计量及其分布拒绝域00X0t XS n0 t(n 1)t t 2(n 1)00t t (n 1)00t t (n 1)例 1 一种元件 , 要求其使用寿命不得低于 1000 h现从一批这种元件中随机抽取 25件, 测得其寿命平均值为 950 h已知该种元件寿命服从标准差100h 的正态分布 N（ ,

31、 2）试14 / 18在显著性水平 0.05 下确定这批元件是否合格 ?解 提出假设 H 0 :1000, H1 : 1000 检验统计量X 1000 n N (0,1)X 1000 z 拒绝域为 z n 代入观测值得 z 2.5 1.645 z0.05 拒绝 H0 , 认为这批元件不合格例2 某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/cm 2）的正态分布现从一批产品中抽取 10 根，测得其抗拉强度为 （kg/cm2）10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670问这批产品的抗拉强度有无显著变化？（0.

32、05 ）解 提出假设 H 0 : 10560 , H1 :10560 检验统计量t X 10560 t S n t(n 1)拒绝域为 tx 10560snt /2(n 1)注品的抗拉课堂别抽取 5甲：1 若取0.01, 查表得 t0.005 （9） 3.25, 于是 t 2.788 3.25, 接受 H0, 认为这批产强度没有显著变化 （解释）练习 甲、乙两厂生产同一种产品， 其质量指标都服从正态分布， 标准规格为 120分 件产品，结果如下：119 120 119.2 119.7 119.6； 乙： 110.5 106.3 122.2 113.8 117.2因为 t 2.788 2.262t

33、 = 2.788 t 0.025 (9) ，所以拒绝 H0代入观测值：产品的抗拉强度有显著变化认为这批问两厂产品是否符合标准？（0.05 ）甲：x 119.5, s 0.4 ， t 2.795 2.776 t 0.025 (4) ，拒绝 H0乙：x 114,s 6.105 ， t 2.198 2.776 t0.025(4) ，不拒绝 H0注 2 如何决策？统计上的显著性（明察秋毫， s 0.4 稳定， s 6.105 不稳定）不同于 应用上的显著性。 “统计是科学和艺术” “理解注释比事物更重要”两个独立正态总体均值差的假设检验（Z检验法 ）（表 8.3）（t 检验法 ） （表 8.4 ）情形

34、 1 两个正态总体方差已知时两个均值差的检验 情形 2 两个正态总体方差未知但相等时均值差的检验表 8.3 方差已知时两正态总体的均值的水平 检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域1212XYZ 2 2 N(0,1)12z z 21212zzn1 n215 / 181 2 1 2 z z表 8.4 方差未知但相等时两正态总体均值的水平 检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域1212XYt t(n n 2)t t 2(n1 n2 2)121212Sw 1 1n1 n2t t (n1 n2 2)1212t t (n1 n2 2)例 3 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率

35、试验是 在同一只平炉上进行的每炼一炉钢时除操作方法外 , 其它条件都尽可能做到相同先用标 准方法炼一炉 , 然后用建议的新方法炼一炉 , 以后交替进行 , 各炼了 10 炉, 其得率分别为(1) 标准方法： 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.5 77.3(2) 新方法： 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1222 设这两个样本相互独立 , 且分别来自正态总体 N( 1, )和 N( 2, ), 1, 2, 均未知 问 建议的新操作方法是否能提高钢的得率 ? (取 0.05)解 提出

36、假设 H0 : 1 2 , H 1: 1 2 t X YSw 1 1w n1 n2 t(n1 n2 2)xysw n1 n1拒绝域为tn1 n2 t (n1 n2 2) 检验统计量代入观测值： t 4.295 1.7341 t0.05 (18) 拒绝 H0, 认为建议的新操作方法使钢的 得率较原来的方法有显著提高正态成对数据的均值检验例 4 某减肥训练班声称参加此班的肥胖者，体重平均可减少 17斤以上现抽取 10 名 学员，数据如下：训练前： 189 202 220 207 233训练后： 170 179 203 192 204差： 19 23 17 1529)问在 0.05 水平下，调查结果是否支持其广告宣传？分析：差 D N( D, D2) ( 2D未知)，属单个正态总体均值的检验此类问题的特点： 数据来自非独立的两个总体(或同一总体) ；数据是成对的；要检验的是均值差解 提出假设 H 0 : D 17, H 1: D 17 检验统计量t D 17 Sn t(n 1).16 / 18t d 17 拒绝域 s n t (n 1) 代入观察值得 t 1.94 1.833 t0.05 (9) 现有数据不足以拒绝 H0 ，可以认为调查结果支 持其结果第三节 正态总体方差