第一章 单自由度系统自由振动定性分析

1、第一章 单自由度系统自由振动定性分析方法几何法或相平面法一、单自由度非线性振动例子 一般形式 0)(),(xfxxx 非线性阻尼力=0时，称为非线性保守系统非线性恢复力1、几何非线性 单摆的大摆动 方程）DuffingLgLg(0! 7! 5! 3sin0sin3207530 2、物理非线性 非线性弹簧f(x)x线弹簧硬弹簧软弹簧分段线性弹簧3、因惯性引起的非线性Nranraeamgsin22RaRaRaenrr 柯氏加速度垂直于该平面利用牛顿第二定律有：0sincossinsin)cossin(22RgmgRRm 4、非线性阻尼（1）干摩擦（2）流体阻尼 （3）滞后阻尼（材料阻尼） （4）负

2、阻尼 )()(xNsignx)()(xNsignxxxgx)()(Vx二、位形空间、相空间、相平面位形空间：用 为坐标轴的N维正交坐标系。轨迹相空间： 令 原二阶微分方程组变为一阶微分方程组 以状态变量作为坐标轴，建立正交坐标系，称为相空间。在单自度自治系统中退化为相平面。 自治系统在相空间的曲线称为相轨线。iqiq), 2 , 1(NiqxqxiNiiiiniixNitxxxfx)2, 2 , 1(),(21称为状态变量三、单自由度保守系统的定性分析 0)(0)(0 xfxxfx 或化为状态方程：) 1 ()(xfyyx状态空间为（x,y), 于是)3()(21)()2()(2HxUydxx

3、fydyyxfdxdy1、相轨线的某些普遍性质（1）在平面上，（3）式代表等能量线，也是方程（1）的积分曲线，只有当总能量大于势能时，速度 才有实数解，而且y关于X轴对称。（2） （2）式决定了相平面上的一个方向场: f(x)=0 处有水平切线，y=0时，有竖直切线；当f(x),y同时为零时，相轨线的斜率不定，称这一点为奇点， 奇点的速度、加速度都为零，代表了平衡点，其它各点的斜率都是确定 的，称为正常点，所以保定系统的相轨线在正常点是互不相交的。Hxyyxdxdyxyxx202202021210 xy奇点是稳定的，自由振动是周期的，称为中心2、相轨线的局部性质根据势能函数U(x)的各处形态，

4、讨论相轨线在奇点附近的局性质（1）U(x)为单调函数(2)势能函数有孤立的极大值 （鞍点）（3）势能有孤立的极小值 （中心）21)(222)(22xxxUHdxTydxdtdtdxyxUHy周期T是总能量的函数（4）势能函数有拐点 （尖点）如果已知势能函数，还可通过U(x)对x的二阶导数来确定奇点的性质3、在整个相平面上相轨线的性质四、相轨线的两种作图方法（1）等倾线法xmkyormykxmdxdyykxdxdykxyyxkxx,0 (2)李纳尔特作图法首先在相平面上作曲线yxxdxdyxxyyxxxx)()(0)( )(yxPA的斜率与相轨线在P点的斜率相同五、耗散系统相平面上的相轨线（1）奇点的分布与对应保守系统的奇点分布完全相同，但奇点的类型可 能不同。（2）相轨线必穿过对应保守系统的相轨线，且从高能量向低能量线前进。（3）耗散系统没有封闭的相轨迹，所以不存在周期运动