中考数学状元笔记及知识点集

1、中考状元数学笔记知识点汇总一、实数（一）有理数1、有理数分类：整数正整数/0/负整数分数正分数 /负分数2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴3、相反数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。4、倒数如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数5、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他本身/ 负数的绝对值是它的相反数/0 的绝对值是 0。（二）实数1、实数分类：有理数整数/分数无理数 (无限不循环小数 )2、平方根：如果一个数

2、x 的平方等于 a，那么这个数x 就叫做 a 的平方根。一个正数有2 个平方根 /0 的平方根为 0/负数没有平方。求一个数 a 的平方根运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。3、算术平方根如果一个正数x 的平方等于 a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根4、立方根：如果一个数x 的立方等于 a，那么这个数x 就叫做 a 的立方根。正数的立方根是正数/0 的立方根是 0/负数的立方根是负数。求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数。5、乘方性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。6、实数的运算： 加法 ：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

3、异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0 相加不变。减法 ： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法 ：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0 相乘得 0。乘积为 1 的两个有理数互为倒数。除法 ：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0 不能作除数。 乘方 ：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a 叫底数， n 叫次数。 混合顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减同级运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，先小再中后大运算律 ： a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba

4、 (ab)c=a(bc)(a+b)c=ac+bc7、科学记数法 : 把一个整数或有限小数表示成a 10n 的形式，其中n 是整数。8、近似数 四舍五入法进一法去尾法9、有效数字从左边第一个不是 0 的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。如： 28.70 万有 4 个有效数字； 0.30120 有 5 个有效数字。10、非负数a 0a 0a 20p111、零指数次幂、负指数次幂a01(其中 a 0)aa p ( p为正整数 ,a 0)二、代数式1、分类：代数式有理式与无理式；有理式整式分式；整式单项式多项式。2、整式概念数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，

5、单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。3、整式运算：（1）整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。整式的乘法：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。乘法公式 ：（ a+b）（a-b） =a2-b2 (a b) 2=a2 2ab+b2整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别

6、相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。an a n幂的运算公式： a m a n = a m n ; am a n = a m n ; (a m )n= a mn ; (ab) n= anb n ; ( b )b n4、分解因式：（ 1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式（ 2）方法：提公因式法/运用公式法 /分组分解法 /十字相乘法（一提二套三分组）5、分式概念及性质：整式A 除以整式b B ，如果除式 B 中含有分母，那么这个就是

7、分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）性质 10 基本性质：am( m0)20 符号法则：bbb6、分式的运算：a bmaaa加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。7、二次根式aa(a )2a(a0)2性质abab (a 0,b0)0, b0)aab( a运算加减：化成同类二次根式，再合并。b乘 法abab (a0,b0)aa0,b 0)除法：b(ab最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。同类二次

8、根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化因式。如：a与 a,ab与 a m b, a xb y与a x mby1分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式）三、方程（一）一次方程1、概念 等式：用等号连接的两个式子叫等式方程：含有未知量的等式叫做方程。方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的整式方程叫一元一次方程。二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1 的整式方程叫二元一次方程。

9、二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。2、等式性质 等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。3、一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母最小公倍数；移项变号）4、二元一次方程组的解法：代入消元法加减消元法。5、列方程解应用题： （ 1）步骤：审、设、找、列、解、答（2）类型：和差倍分问题等积变形问题行程问题相遇问题/追及问题/顺逆流问题劳力调配问题工程问题利润率问题数字问题储蓄问题比例分配问题日历中的问题（二）二次方程1、概

10、念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程2、一元二次方程的解法：直接开平方方法因式分解法配方法公式法b , x1 x2c3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0( a 0)的两个实数根为 x 1,x2 则有 x1x2如： x12+x 22 =（x 1+x2） 2 2 x1x 2x1x2( x1x2 )24x1 x2aa2 0 时，方程有两个不相等的实数根=0 时，方程有两个相等的实数根0 时，方程没有实数根。4、根的判别式=b -4ac（三）分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程2、分式方程的解法： （ 1）思路：将分式方

11、程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。 （ 2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意）四、不等式及不等式组（一）一元一次不等式1、不等式的定义：用“ ”、“”、“”、“”等不等号连接的式子。2、不等式的基本性质：如ab，c 为实数 则 a+cb+c；如 ab，c 为实数 则 a-cb-c 如 ab，c0 则 acbc；ab如 ab，c0 则 acb，cb， c0 则 cccc3、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式。4

12、、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解。5、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1（二）一元一次不等式组1、定义：同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分。3、解一元一次不等式组（1）步骤：先分别求出不等式组中各个不等式的解集、在数轴上分别表示、找公共部分（ 2）确定法则：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小是无解。4、应用：审、设、列、解、择、答。（择：从解集中根据实际情况选择符合题意的解或解集）五、函数及其图象（一）平面直角坐标系1、有序实数对：有

13、顺序的两个实数a 和 b 组成的实数对。（利用它可以准确表示平面内一个点的位置）2、平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、零点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴x 轴，取向右为正；竖直的数轴叫y 轴，取向上为正；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。3、象限：坐标平面被 x 轴、 y 轴分割成四个象限，分别称为第一、二、三、四象限。（ x 轴、 y 轴与坐标原点不属于任何象限）4、坐标： P(a，b) 表示由点 P 向 x 轴作垂线，垂足对应着x 轴上的一个实数a；由点 P 向 y 轴作垂线，垂足对应着 y 轴上的一个实数b；a 为横坐标， b 为纵坐标。5、平面内点的坐标特征：可从各象

14、限内的点、坐标轴上的点、角平分线上的点、平行线上的点来归纳。6、关于坐标轴对称的点的坐标：P(a,b) ( 关于 x 轴) Px(a,-b)；P(a,b) ( 关于 y 轴) Py(-a, b)；P(a,b) ( 关于原点 ) Po(-a,-b)；P(a,b) ( 关于直线 y=x) P 1 (-a, b)x2 )2( y1 y2 ) 27、两点间的距离公式： A(x 1,y1 )、 B(x 2,y 2)的距离为AB( x1（二）函数概念1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常量。2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x

15、 的每一个值， y 都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。3、函数中自变量的取值范围4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此对应值为函数值。25、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线(有等号画实心，无等号画空心)（三）一次函数1、正比例函数：如果y=kx （ k 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的正比例函数；其图象是过点(0,0)与 (1,k)的一条直线。2、一次函数：如果y=kx+b （k 、b 是常数， k 0）那么 y 叫做 x 的一次函数。其图象是过点(0,

16、b)b、( ,0)的一条直线。3、正比例函数、一次函数的图象与性质：k解析式y=kx( k0)y=kx+b( k 0)kk0k0k0k0k0b0b0 则直线的倾斜角为锐角 k0 直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方 b0k0 或 x0 或 x0 则开口向上，且图象向上无限伸展；a0 则交于 y 轴的正半轴上； c0 则交于 y 轴的负半轴上； c=0 则必过原点。与 x 轴交点的位置由方程2时，有两个交点；=0 时，有一个交点；0对称轴的位置由 a 和 b 联合决定 ( 左同右异 ) ： a、b 同号则对称轴在y 轴的左侧； a、b 异号则对称轴在y 轴的右侧。6、二次函数的性质：y=ax2

17、+bx+c(a、 b、c 为常数， a 0)函数图象a0a0),向左 (h0),向下 (kBC ），如果 AC 是线段 AB 和 BC 的比例中项，则点C 叫作线段 AB的黄金分割点，且ACBC5 1ABAC0.61822、相似多边线 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）（ 2）性质：相似多边形的周长比等于相似比相似多边形对应的对角线比等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比相似多边形的面积比等于相似比的平方。3、相似三角形（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（2）相似

18、三角形所对应的基本图形6（3）性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应中线、角平分线、高的比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）判定：常见：两角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似。特别：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。4、位似图形 （ 1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，可见位似是特殊的相似，其相似比又叫

19、做位似比。（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小。（ 3）位似图形与相似图形的区别：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换，位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法可以把一个多边形放大或缩小。 （ 4）位似图形的画法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连接各点，即可得到放大或缩小的图形。（注意“放大”与“放大到”的区别）十、解直角三角形1、锐角三角函数（ 1）定义：A的对边锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作sin A斜边锐角

20、A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cos AA的邻边斜边锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作tan AA的对边锐角 A 的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数。邻边（2）三角函数的函数值及其变化规律当 A 为锐角时， 0sinA1,0cosA0 一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦随着角度的增大而减小。2、特殊角的三角函数acbcab304560sin123222cos321222tan31333、三角函数的关系sin(90A) cos Acos(90 A) sin A（1）互为余角的三角函数：A 为锐角，则有：、（2） 同角三角函数的关系：平方关系：

21、sin 2 Acos2 A1商数关系： tan Asin A不等关系：当 A 为锐角时， tanAsinAcos A4、解直角三角形：直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角（1）解直角三角形的概念：由直角三角形中的两个已知元素（直角除外且其中至少有一个是边） ，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。（2）解直角三角形的依据：勾股定理两锐角之间的互余关系边角关系：锐角三角函数的定义（ 3）解直角三角形中的四类基本问题已知斜边和一直角边已知斜边和一锐角已知一直角边和一锐角已知两直角边5、解直角三角形的应用（ 1）内涵：解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到直角

22、三角形中，用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解。（ 2）仰角、俯角、坡角、坡度仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角坡度与坡角：通常把坡面的铅垂高度h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即h 坡度一般写成 1:m 的形成，坡面与水平面的夹角叫hi做坡角，记作 ，则有il 方位角：略tan al十一、四边形梯形 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形两条腰相等的梯形叫等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（ 2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等、对角线相等（3）等腰梯形的判定：

23、两腰相等的梯形同一底上的两个角相等的梯形对角线相等的梯形平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（ 2）性质：平行四边形两组对边分别平行 平行四边形的两组对边分别相等平行四边形的两组对角分别相等平行四边形的对角线互相平分。平行四边形关于对角线的交点成中心对称图形（ 3）判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形矩形 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（ 2）性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有两条对称轴（ 3）判定：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形7（四）菱形（ 1）定义：邻